1.向量的内积、长度、夹角。 五.内积、正交化、正交矩阵， 2.Schmidt]正交化、单位化法。 3.正交矩阵。 1.向量的内积、长度、夹角 a a2 b2 定义1：n维实向量0= B= 称(a,B)=a,b+a2b2+.+unbn b =(41,42,.,0n) =a"B 为向量与B的内积。 若a,B为行向量，则(@，B)=B
1 五. 内积、正交化、正交矩阵. 1.向量的内积、长度、夹角。 2.Schmidt正交化、单位化法。 3.正交矩阵。 1. 向量的内积、长度、夹角 定义1：n维实向量 1 2 n a a a = 1 2 n b b b = 称 1 1 2 2 ( , ) n n = + + + a b a b a b 1 2 1 2 ( , , , ) T n n b b a a a b = = 为向量 与 的内积。 若 , 为行向量，则 ( , ) T =
向量内积的性质： (1)(a,B)=(B,a) 对称性 (2)(a+B,Y)=(a,Y)+(B,Y) 线性性 3)(ka,B)=k(a,B) (4)(a,a)≥0 正定性 等号成立当且仅当=0 定义2：实数la=V(a,a)=√a+a+.+a 称为向量的长度（或模，或范数） 若a=1,称a为单位向量。 2
2 向量内积的性质： (1)( , ) ( , ) = (2)( , ) ( , ) ( , ) + = + (3)( , ) ( , ) k k = 线性性 对称性 (4)( , ) 0 等号成立当且仅当 = 0 正定性 定义2：实数 2 2 2 1 2 ( , ) n = = + + + a a a 称为向量的长度（或模，或范数） 若 = 1, 称 为单位向量
把向量单位化：若a≠0，则≠0 考电( r2aa中-1 即 a 的模为1，为单位向量，称为把Q单位化。 向量长度的性质： (1)非负性： 当a≠0时，a>0 当a=0时，a=0 (2)齐次性： kal=ka (3)柯西-一施瓦兹不等式：(a,B)≤aB (4)三角不等式：a+B≤a+B 3
3 把向量单位化： 若 0, 则 0 考虑 2 2 2 1 1 ( , ) ( , ) 1 = = = 即 的模为1，为单位向量，称为把 单位化。 向量长度的性质： （1）非负性： 当 0 时， 0 当 = 0 时， = 0 （2）齐次性： k k = （3）柯西—施瓦兹不等式： ( , ) （4）三角不等式： + +
非零向盘和B的夹角余弦：c0s(a,p)=aB】 aB 定义3：非零向量a,B的夹角是 (a,B〉=arccos a,B) alB 定义4：当向量，B的内积为零时，即(@，B)=0时， 即C⊥B时，称向量a,B正交。 注： (1)零向量与任何向量都正交。 (2)定义了内积的向量空间称为欧氏空间。 4
4 非零向量 和 的夹角余弦: ( , ) cos , = 定义3：非零向量 , 的夹角是 ( , ) , arccos = 注： （1）零向量与任何向量都正交。 （2）定义了内积的向量空间称为欧氏空间。 当向量 , 的内积为零时，即 ( , ) 0 = 时， 即 ⊥ 时，称向量 , 正交。 定义4：
2.Schmidt.正交化、单位化法。 定义5： 正交向两组：非零实向量41,02，.，0c,两两正交。 正交单位向量组： 非零实向量c1,必2，.，心，两两正交， (标准正交向量组)且每个向量长度全为1。 1(i=j) 即 (a,a,）={0i≠j) 定理：正交向量组是线性无关的。 schmidt正交化、单位化法： 例：书p100例3.5.1 5
5 2. Schmidt正交化、单位化法。 定义5： 正交向两组：非零实向量 1 2 , , , s 两两正交。 正交单位向量组： （标准正交向量组） 非零实向量 1 2 , , , s 两两正交， 且每个向量长度全为1。 1( ) ( , ) 0( ) i j i j i j = = 即 定理：正交向量组是线性无关的。 schmidt正交化、单位化法： 例：书p100例3.5.1