四.实对称矩阵的对角化 实对称矩阵是一类特殊的矩阵，它们一定可以对角化。 即存在可逆矩阵P,使得P-1AP=人 更可找到正交矩阵T,使得T-AT=人 定理1：实对称矩阵的特征值为实数 证：设九是A的任一特征值，（往证入=九) a是对应于入的特征向量， 则Aa=2a,(a≠0) 设C= X2 Xn 用入表示入的共轭复数，α表示0的共轭复向量
四. 实对称矩阵的对角化 实对称矩阵是一类特殊的矩阵，它们一定可以对角化。 即存在可逆矩阵 P , 使得 1 P AP − = 更可找到正交矩阵 ，使得 1 T AT − T = 定理1：实对称矩阵的特征值为实数. 证：设 是 A 的任一特征值，（往证 = ） 是对应于 的特征向量， 则 A = , ( 0) 设 1 2 n x x x = 用 表示 的共轭复数， 表示 的共轭复向量
则Aa=a=元.a (1) 又A是实对称矩阵，.A=A且AT=A. ∴.A=Aa=Aa (2) 由(1)2)有入·a=A·a，等号两边同时左乘a1 左边=a.(几·a)=元a.a 右边=ax.(A)=aT·AI.a=(A)T.a =(2a)T.a=2·ar.a 元a.au=1.a 即（元-2）T·a=0
则 A = = (1) 又 A 是实对称矩阵， = A A 且 . T A A = = A A A = (2) 由(1)(2)有 = , A 等号两边同时左乘 T 左边 ( ) T T = = 右边 ( ) ( ) ( ) T T T T T T A A A = = = = = T T = 即 ( ) 0 T − =
考虑 a=(X13X2,.,xn) 3 =X1X1+X2·X2+.+Xn·Xm =x2+,2+xn2>0 :.元-λ=0.见=见 (.a≠0) 即兄为实数。 定理1的意义： 因为对称矩阵A的特征值入，为实数，所以齐次线性方程组 (A-2,E)x=0是实系数方程组。 又因为A一几，E=0,可知该齐次线性方程组一定有实的 基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量
考虑 1 2 1 2 ( , , , ) T n n x x x x x x = 1 1 2 2 n n = + + + x x x x x x 2 2 2 1 2 0 n = + + x x x( 0) − = 0 = 即 为实数。 定理1的意义： 因为对称矩阵 的特征值 为实数，所以齐次线性方程组 又因为 ，可知该齐次线性方程组一定有实的 基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量。 A i ( ) 0 A E x − = i 0 A E − = i 是实系数方程组
定理2：实对称矩阵A的对应于不同特征值的特征向量正交。 证：设人，入，是对称矩阵A的两个特征值，且入≠入2， P1,P2是依次与之对应的特征向量。 则Ap1=元P1,Ap2=九2P2,(21≠2) A为实对称矩阵，.AI=A 考虑p,T=(P)'=(Ap,)=pA=pA, 于是pP2=pAP2=p·(p)=·pp2, ∴.(2-2)pP2=0. 1≠2，.pP2=0.(,P2)=p1p2=0 即P1,P2正交
定理2：实对称矩阵 A 的对应于不同特征值的特征向量正交。 1 2 p p, 是依次与之对应的特征向量。 证：设 1 2 , 是对称矩阵 A 的两个特征值，且 1 2 , 则 1 1 1 2 2 2 1 2 Ap p Ap p = = , , ( ) 1 1 , T T T = = p A p A 于是 1 1 2 1 2 1 2 2 ( ) T T T p p p A p p p = = 2 1 2 , T = p p ( 1 2 1 2 ) 0. T − = p p , 1 2 1 2 0. T = p p A 为实对称矩阵， T = A A 1 1 1 1 1 ( ) ( ) T T T 考虑 p p Ap = = 1 2 1 2 ( , ) 0 T = = p p p p 即 p p 1 2 , 正交
定理3：A为n阶实对称矩阵，2。是A的k重特征值， 则对应于孔的特征向量中，线性无关的向量的个数为k, 结论即 即(A-2,E)X=0的基础解系所含向量个数为k. (则k=n-r(A-2E),∴.r(A-,E)=n-k.) 定理4：（实对称矩阵必可对角化） 对于任一n阶实对称矩阵A, 一定存在n阶正交矩阵T,使得T-AT=人. 其中人是以A的n个特征值为对角元素的对角阵
定理3： A 为 n 阶实对称矩阵， 0 是 A 的 k 重特征值， 即 的基础解系所含向量个数为 k. 0 ( ) 0 A E X − = 则对应于 0 的特征向量中，线性无关的向量的个数为 k, 0 （则 k n r A E = − − ( ), − = − r A E n k ( ) . 0 ） 知 道 结 论 即 可 定理4：(实对称矩阵必可对角化) 对于任一 n 阶实对称矩阵 A ， 一定存在 n 阶正交矩阵 T, 使得 1 T AT . − = 其中 是以 A 的 n 个特征值为对角元素的对角阵