目录 习题 (320) 第十八章格林函数方法 (322） 内容提要.(322) 典型例题分析 . .(324到 习题. .(331) 第十九章变分法初步 .(333) 内容提要. (333) 典型例题分析 .(336) 习题. .(343) 附录 .(345) 附录一 拉普拉斯变换简表 .(345) 附录二 傅里叶变换简表 (349) 附录三外国人名译名对照表.(350) 习题答案 .(351)
第一章复数和复变函数 内容提要 一、复数及其运算 1.定义：若一对有序实数(@，b),遵从下列基本运算规则： 加法(a1,b1)+(a2,b2)=(a1+a2,b1+b2, 数乘c(a,b)=(ca,cb),c为任一实数， 乘法(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc), 则称这一对有序实数(a,b)构成一个复数. 设有复数a=(a,b),有时也记作a=a+ib,其中，a称为 a的实部，记作a=Rea,b称为a的虚部，记作b=ma, i=(0,1),称为虚单位.有结果2=-1. 2.复数的三种表示 (1)代数表示：a=(a,b)=a+ib (2)几何表示： a.在一平面上取直角坐标系Oxy,将平面上的点(a,b)与复 数α相对应，点的横坐标对应复数的实部，点的纵坐标对应复数的 虚部，称此平面为复（数）平面 b.在复平面上取极坐标系，代表复数a的点(a,b)到原点的距离 =√a2+b=al称为复数的模.该点的极角0=arctan b/a=arga 称为复数的辐角.显然有关系 a=r(cos0+i sin0), 此式又称为复数的极坐标表示或三角函数表示. 由三角函数的周期性，可知，复数的辐角是多值的.辐角改变 2π的整数倍，所代表的复数不变，即 a r(cos0+i sin0)=r[cos(0+2nn)+i sin(0+2nm)]
2 数学物理方法习题指导 其中n=0,±1，士2，. c.在复平面上作一自由向量，其长度为lal,方向为arga, 起点任意.它就代表了复数α·称之为复数的向量表示. (3)指数表示：利用欧拉公式e9=cos0+isin0,可得复数的 指数表示为 a=reio. 3.零点和无穷远点 这是两个特殊的复数，在复平面上也是两个特殊的点.0点表 示模为零，辐角任意的一个点，即坐标系的原点。心“点”表示模 为无穷大，辐角任意的“一个点”. 4.复数的运算（略） 二、复数的区域 1.内点：在一个复数的点集中，以某一点为圆心作圆，只要半 径足够小，使得圆内的所有点都属于该点集，则称此点为该点集的 内点 2.区域：是一个点集，它全部由内点组成，且具有连通性，即 点集中的任意两点都可以用一条折线连接起来，折线上的点都属于 此点集. 3.边界点和边界：边界点不属于区域，但以它为圆心作圆，不 论半径多小，圆内总含有区域内的点。边界点的全体构成边界. 4.开区域与闭区域：区域又称为开区域，区域与边界一起构成 闭区域.设有区域G,其边界为C,则G+C构成闭区域，记做 G=G+C. 三、复数序列 1.复数序列：按一定顺序排列的复数n=xn十iyn,n=1,2, 3,.,称为复数序列，记为{zn}. 2.聚点（极限点）：给定序列{}，若存在复数之，对于任意 给定的e>0,恒有无穷多个m满足{2n-<e,则称z为{n} 的一个聚点（或极限点）· 3.波尔查诺-外尔斯特拉斯定理：一个有界的无穷序列至少有
第一章复数和复变函数 3 个聚点 4.极限：给定序列{n},若存在复数2，对于任意给定的e>0, 总能找到一个N(e)>0,使当n>N(e)时，有lan-z<e,则称 z为{a}的极限.或称{n}收敛于z,记为 nn=2. 极限是序列的唯一聚点.反之亦然，若序列存在唯一聚点，则 此聚点就是序列的极限. 5.序列收敛的柯西充要条件：任意给定e>0,存在正整数 N(e)>0,使对于任意的正整数P,都有 |2N+P-2N|<e 四、复变函数 1.复变函数的定义：设有复数区域G,如果对于G内的每一 ·个z值，都有一个或多个复数值w与之对应，则称w为z的函数 这就是复变函数，记为 w=f(z),z∈G 因为之=x+iy,所以 w=fz)=u(x,y）+i(x,y, 一个复变函数只不过是两个二元实变函数的有序组合. 2.复变函数的连续性：设函数f(z)在0点的邻域内有定义， 且1imf(a)=f(2o),即e>0,36e)>0,使当0<z-20l<6 时，恒有f(2)-f(o川<e,则称f(z)在0点连续. 若函数f(2)在区域G内的每一点都连续，则称函数f(z)在区 域G内连续. 典型例题分析 例11复数运算 )化简复数+)2②)求的实部、虚部、模及辐角
数学物理方法习题指导 解(1)方法一： ”-(-a” (1+i) 方法二： 石-a不ww9=enn1 (1+i)n (V2eπ/An 2 (2)因i=eπ/2+2k网，k=0,士1，士2，.，辐角是多值的，所以 wvid(mm 显然，对应于不同的k它有两个不同的值，取k=0,1. 当k=0时，m=ea=1+),有 w=号aw=号 ml=1,g=牙+2n元n=0,士1，士2 当k=1时，m=e5mA=-号1+)，有 2 Rew=v2 9 m=-Y马 2 al=1,g=5+2n元n=0士1，士2 例1.2证明复数的下列不等式： (1)la1-l2l≤1±22l≤a+|2； (②2+≤a≤+l,其中z=x+iy. 证(1)证法一：直接从复数相加减的平行四边形法则来证明 如图11，AB为，BC为2，则AC为1+2，BD为 -2,则AD为-2·