材料力学 第六章弯曲变形 Deformations in Bending 研究梁的变形有二个主要目的: ①对梁进行刚度计算和校核; ②用于求解超静定梁
材 料 力 学 第六章 弯曲变形 Deformations in Bending 研究梁的变形有二个主要目的: ①对梁进行刚度计算和校核; ②用于求解超静定梁
§6-1概述 Introduction ,基本概念( Basic Concepts) 在本章,我们只限于研究平面弯曲梁的变形和位移 在平面弯曲条件下,梁的直轴线受载变形后,成为载荷作用平面 内的一条平面曲线-挠度曲线(挠曲线 Deflection Curve),它又 叫弹性曲线( Elastic curve) 由图可见,弯曲使梁上任一横截面如截面)产生移动和绕中性 轴的转动。梁横截面形心的垂直位移(如CC’=f)称为挠度 eflection), 用y表示因变形前梁轴在x规定挠度y向下为正向上为负。 梁横截面相对于原来 转角0顺时针为正逆时针为负。 的位置转动的角度(如C→ C点的0)称为转角( Angle C B 上上 of rotat 由图易见 ∴0<<5°∴≈1g=(0以弧度计) dx 注:梁横截面形心的水平匚 位移为二阶微量(6x<y);y 通常忽略不计。 e
q A C B y x P C’ fB fC q x §6-1 概述 Introduction 一,基本概念(Basic Concepts): 在本章,我们只限于研究平面弯曲梁的变形和位移。 在平面弯曲条件下,梁的直轴线受载变形后,成为载荷作用平面 内的一条平面曲线-----挠度曲线(挠曲线Deflection Curve),它又 叫弹性曲线(Elastic Curve)。 由图可见,弯曲使梁上任一横截面(如C截面)产生移动和绕中性 轴的转动。梁横截面形心的垂直位移(如CC’=fC)称为挠度(Deflection), 用y表示(因变形前梁轴在x轴上规定)。 :挠度y向下为正,向上为负。 转角q顺时针为正,逆时针为负。 梁横截面相对于原来 的位置转动的角度(如C→ C’点的q)称为转角(Angle of Rotation),常用q表示。 由图易见: q 5 q q (q 以弧度计) dx dy t g o = 注:梁横截面形心的水平 位移为二阶微量(dx<<y); 通常忽略不计
§6-2(1)梁的挠曲线近似微分方程 Differe 推广到 ction Curve 由(51)式知1M 1M(x) 由高数得 (5-1)→ EI EI 注意到 横力弯曲(x) 0=<<1(如O=5时:1g 规定:x轴向右 为正挠度y向下为 dx 如6=y注:正,则y应与M异号平坦的曲线。 因此d2 2,剪力Q(x)对梁变形的影响在(L>10h)时,相 E对于弯矩Mx)对梁变形的影响为高阶微量。故可 故得: 忽略不计剪力Qx)引起的位移yo M(x)(6-2a) El M M or: Ely=-M(x)(6-2b)M M>0 (6-2)式即梁的挠曲线近似微分方程。 ”<0
§6-2(1) 梁的挠曲线近似微分方程 Differential Equation of Beam Deflection Curve − = = ( ) ( ) 1 ....(5 1) 1 推广到 M x x M 横力弯曲 由(5-1)式知: 2 3 2 2 2 1 1 + = dx dy dx d y 由高数得: 1 : 0.017 ) 1 ( 5 : 0.0875 ; = = = = = = = dx dy t g dx dy t g dx dy o o q q q q q 如 时 如 时 注意到: 2 2 1 dx d y = 易得: EI M x dx d y ( ) 2 2 = 因此: 注意:1,小变形时,挠曲线一般为平坦的曲线。 2,剪力Q(x)对梁变形的影响在(L>10h)时,相 对于弯矩M(x)对梁变形的影响为高阶微量。故可 忽略不计剪力Q(x)引起的位移yQ 。 规定:x轴向右 为正,挠度y向下为 正,则y’’应与M异号。 : ' ' ( ) (6 2 ) (6 2 ) ( ) 2 2 or EIy M x b a EI M x dx d y = − − = − − 故得: (6-2)式即梁的挠曲线近似微分方程
§6-2(2)梁挠曲线近似微分方程的积分 Integration Method of Elastic Curve 般M的正负与坐标轴的方向选取无关。而y的正负与坐标 轴y的方向选取有关。故易得:y轴(↑)选取时y=M(E) y轴()选取时y”=-M(EI 本讲义的y轴为向下(↓)选取! 当梁的弯矩函数确定后,即可积分(6-2)式,求得任意x坐标处横 截面的转角 E1= El 「Mx)bx+C(6-3a)(0以弧度计) ax 及其挠度 Ely= ∫ M(xdx dx+ Cx+d(6-36 其中的积分常数( Integral Constant)C1和C2可由梁对变形的约束 来确定(其相应的条件叫边界条件( Boundary Conditions)。此法通常 叫二次积分法( Double Integration Method) 式(6-3a)通常叫转角方程( Rotative Angle Equation) 式(6-3b)通常叫挠度方程( Deflectional Equation)
§6-2(2) 梁挠曲线近似微分方程的积分 Integration Method of Elastic Curve q M (x)dx C (6 3a) (q 以弧度计) dx dy EI = EI = − + − 一般M的正负与坐标轴的方向选取无关。而y’’的正负与坐标 轴y的方向选取有关。故易得: y轴(↑)选取时y’’=M/(EI); y轴(↓)选取时y’’=－M/(EI)。 本讲义的y轴为向下(↓)选取! 当梁的弯矩函数确定后,即可积分(6-2)式,求得任意x坐标处横 截面的转角: EIy = − ( M(x)dx)dx +Cx + D (6 − 3b) 及其挠度: 其中的积分常数(Integral Constant)C1和C2可由梁对变形的约束 来确定(其相应的条件叫边界条件(Boundary Conditions)。此法通常 叫二次积分法(Double Integration Method)。 式(6-3a)通常叫转角方程(Rotative Angle Equation) 式(6-3b)通常叫挠度方程(Deflectional Equation)
§6-2(2)梁挠曲线近似微分方程的积分 Integration Method of Elastic Curve 常见的边界条件:A B A B 有2n (b) 件 A BTA B 连续 的曲线 在y轴(↓),x轴(→)时:y>0则y↓;y<0则y↑; 0>0则g;6<0则 显而易见,梁的位移不但与外载引起的梁的变形有关,而且与梁 的支座情况有关。如图(a,(b)的Q,M图相同但变形由于支座的不同 而不同
§6-2(2) 梁挠曲线近似微分方程的积分 Integration Method of Elastic Curve 常见的边界条件: A B A B yA=0 yB=0 qA=0, yA=0 当M(x)为分段表示的函数时,此法需分段积分。若分n段则 有2n个积分常数。但仍可由边界条件和相邻段分界处的连续条 件(Continuity Condition)来确定。 连续条件:弹性曲线应为连续(曲线上任一点y左 = y右 ,不断开,为 连续曲线)、光滑(曲线上任一点q左 = q右 ,无尖角,即dy/dx为连续函数) 的曲线。 Pl P A B A B l l (a) (b) 在y轴(↓),x轴(→)时: y＞0 则 y↓; y＜0 则 y↑; q＞0 则 q ; q＜0 则 q 显而易见,梁的位移不但与外载引起的梁的变形有关,而且与梁 的支座情况有关。如图(a),(b)的Q,M图相同,但变形由于支座的不同 而不同