材料力学 第二章轴向拉伸和压缩 (Ch2. Axial Tension and Compression)
材 料 力 学 第二章 轴向拉伸和压缩 (Ch2. Axial Tension and Compression)
§2-4拉(压杆的变形( Deformation of Axial forced bar ).阳古完 表32部分材料的E值和μ值 材料名称 弹性模量E(GPa) 泊松比μ 钢 190~210 0.25~0.33 灰铸铁 80~150 0.23~0.27 球墨铸铁 160 0.25~0.29 铜及其合金(黄铜、青铜) 74~130 0.31~0.42 锌及强铝 0.33 混凝土 14-35 0.16-0.18 橡胶 0.0078 0.47 木材:顺纹 9~12 木材:横纹 0.49 纵横向应变关系:E=H1(0≤0D 其中:横向变形系数(or:泊松比 Poisson, s Ratio)
§２－４拉(压)杆的变形(Deformation of Axial Forced Bar)·胡克定律(Hooke’s Law) 变形Deformation: Dl = l1- l 横向Lateral变形: Dd = d1- d 线应变Linear Strain:1,轴向应变Axial Strain:ε=Dl/l=const 2,横向应变Lateral Strain: e’= Dd / d 显然: e ·e’ <0 受力变形关系: Dl = Nl / EA (or:σ=Ee ; σ≤σp) 其中: E----弹性模量Elastic Modulus; EA---杆的轴向刚度Axial Rigidity of Bar σ p ---比例极限Proportional Limit 纵横向应变关系: e ’= -me (σ≤σp) 其中: m ---横向变形系数(or: 泊松比Poisson’s Ratio)
s2-4拉(压)杆的变形 De formation of Axial forced bar)胡克定律(loke'sLaw) 例题2-5求例题2-4中所示薄壁圆环在内压力 =2MPa作用下的径向应变和圆环直径的改变量。 已知材料的弹性模量E=210GPa。 解:在例题2-4中已经求出圆环在任一横截面 上的正应力G=40MPa,若正应力不超过材料的比 例极限,则可按公式(2-6)算出沿正应力G方向 (即沿圆周方向)的线应变为 40 =1.9×10-4 E210×10 圆环的周向应变c等于其径向应变E,因为 N esn(d+△d)-m)Ad (b) 例题2-4图 根据上式即可算出圆环在内压力p作用下的直径(d=222mm)增大量为 △=Ed=Ed=1.9×10×200=0.038m
§２－４拉（压）杆的变形(Deformation of Axial Forced Bar)·胡克定律(Hooke’s Law) 4 3 1.9 10 210 10 40 − = = = E e d d d d d d d e e = = + − = ( D ) ) D d d d d 1.9 10 200 0.038mm 4 = = = = − D e e 例题2-5 求例题2-4中所示薄壁圆环在内压力 p=2MPa作用下的径向应变和圆环直径的改变量。 已知材料的弹性模量E=210GPa。 解:在例题2-4中已经求出圆环在任一横截面 上的正应力=40MPa，若正应力不超过材料的比 例极限，则可按公式(2-6)算出沿正应力方向 (即沿圆周方向)的线应变e为 圆环的周向应变e等于其径向应变ed，因为 根据上式即可算出圆环在内压力p作用下的直径(d=222mm)增大量为
§2-4拉(压)杆的变形 (Deformation of Axial forced bar)胡克定律( Hooke'sLaw) 例:图示阶梯形钢杆,AB段 50kN 20kN 和CD段的横截面面积相等A1 40kN (a) A B CⅢD 500mm2,BC段横截面积A2 300mm2。已知材料的弹性模量 E=200GPa。 N(kN) 图3.12 试求:1,各杆段的应力 30 2,D端的位移 (b) 山再 解:1,绘轴力图如图(b)所示。 2,求各段应力 如mu山 30×10 N-20×103 40×103 80MPa A1 500 =60MPa oBC E A2 300 -66.7MPaOCD-A Ne=50 3,计算D端位移 (D端位移△p即为杆的总变形,应为各段变形的代数和)。即 △D=△=△1+△ln+△l1= M+N+Nnm=10×10°(30×120×240 EA1EA2EA200×103(500300500 0.767mml 计算结果为负,说明D端发生向左的位移
§２－４拉（压）杆的变形(Deformation of Axial Forced Bar)·胡克定律(Hooke’s Law) MPa A NAB AB 60 500 30 103 1 = = = MPa A NBC BC 66.7 300 20 103 2 = − − = = MPa A NCD CD 80 500 40 103 1 = − − = = mm EA N l EA N l EA N l l l l l D 0.767 500 40 1 300 20 2 500 30 1 200 10 10 10 3 3 3 1 2 1 = − − − = = + + = + + = D D D D D 例:图示阶梯形钢杆，AB段 和CD段的横截面面积相等A1＝ 500mm2 ，BC段横截面积A2＝ 300mm2 。已知材料的弹性模量 E=200GPa。 试求:1,各杆段的应力。 2,Ｄ端的位移。 解:1,绘轴力图如图(b)所示。 2,求各段应力: 3,计算Ｄ端位移: (Ｄ端位移DＤ即为杆的总变形，应为各段变形的代数和)。即: 计算结果为负，说明Ｄ端发生向左的位移
§2-4拉(压)杆的变形 De formation of axial Forced bar)胡克定律( Hooke'sLaw) 例:某矿井升降机如图(a)所示,因 吊索很长,其自重引起的应力和变形应 P+yAl 予以考虑。设钢索长为,横截面面积为 A,材料容重为?,弹性模量为。试求:z度z 钢索在自重和起吊载荷P作用下产生的 应力和变形(设起吊是匀速的)。 RP+A用截面法求得截面ta。 解:1,计算应力:(索上端支反力 的内力为N=R0Ax=A(1x)+P故:Nm=7AH+P)。索为等截面的,其 x截面上的应力为σx=N3/A=(1x)+P/A。最大应力发生在索的最上 端横截面上,其值为 Omax=Nmax/A-Yl+P/A 2,计算变形M=(△= (y·(-x)+-kx 十 E EA 2EA EA 式中W=A为杆的总重量。 上式表明:杆的重量引起的伸长部分,担当于不考虑自重,而 在杆的下端作用一半重量的集中荷载引起的伸长
§２－４拉（压）杆的变形(Deformation of Axial Forced Bar)·胡克定律(Hooke’s Law) EA Pl EA Wl EA Pl E l dx A P l x EA E N x dx l d l l l l + = + = = = − + = 0 2 0 2 2 ( ( ) ) ( ) 1 D D 例:某矿井升降机如图(a)所示，因 吊索很长，其自重引起的应力和变形应 予以考虑。设钢索长为l,横截面面积为 Ａ,材料容重为，弹性模量为E。试求: 钢索在自重和起吊载荷P作用下产生的 应力和变形(设起吊是匀速的)。 的内力为Nx=R0-Ax=A(l-x)+P 故:Ｎmax ＝Al+P)。索为等截面的,其 x截面上的应力为 x=Nx /A=(l-x)+P/A。最大应力发生在索的最上 端横截面上,其值为 max=Nmax/A=l+P/A 解:1,计算应力:(索上端支反力 R0=P+A l 。用截面法求得x截面 2,计算变形: 式中Ｗ=Ａl为杆的总重量。 上式表明: 杆的重量引起的伸长部分，相当于不考虑自重，而 在杆的下端作用一半重量的集中荷载引起的伸长