6-2(2)梁挠曲线近似微分方程的积分 方程和转角方程并确定其最大挠度 max Fu A e stic Curve Integration Method of Elas 例题6-1图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁,在 自由端受一集中力P作用。试求梁的挠曲线 B 最大转角0mx 解:为了应用公式(6-2b)求解,首先写出此 梁的弯矩方程。为此,可取x处横截面右侧 梁段,由荷载P直接写出:M(x)=-P(1x)(1)y 例题6-【图 将式(1)中的M(x)代入公式(6-2b),即得挠曲线近似微分方程 EIy=-M(x)=Pl-PX(2) 在以上结果中:挠度为正值,说明梁变形时B点问下移 面动转角为正值说明梁变形时横截面B沿顺时针转向转动。 在x=0处:y=0;在x=0处:y=0根据这两个边界条件,可得:C=0及D=0 将已确定的这两个积分常数代入(3)、(4)两式,即得梁的转角方程和挠曲线 方程分别为:0y′=Px/(Ep)-Px2/(OE)(5)和y=Px2(2ED=Px3/6E(6) 根据梁的受力情况及 P12 P13 的最大转角0m和最大挠度O max 和fn 2EⅠ max 分别求得0mx及fmx值为 BEl
§6-2(2) 梁挠曲线近似微分方程的积分 Integration Method of Elastic Curve 例题6－1图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁,在 自由端受一集中力P作用。试求梁的挠曲线 方程和转角方程,并确定其最大挠度fmax和 最大转角qmax。 解:为了应用公式(6－2b)求解,首先写出此 梁的弯矩方程。为此,可取x处横截面右侧 梁段,由荷载P直接写出:M(x)= -P(l-x) (l) 将式(1)中的M(x)代入公式(6－2b),即得挠曲线近似微分方程: EIy”=-M(x)=Pl-Px (2) 然后通过两次积分，即得: EIy'=Plx-Px2 /2+C (3) EIy = Plx 2 /2－Px3 /6+Cx+D (4) 在悬臂梁中,边界条件是固定端处的挠度和转角都等于零。 即在x=0处:y’=0 ;在x=0处:y=0 根据这两个边界条件,可得: C=0 及 D=0 将已确定的这两个积分常数代入(3)、(4)两式,即得梁的转角方程和挠曲线 方程分别为:q= y’= Plx/(EI) - Px2/(2EI) (5) 和 y = Plx 2 /(2EI)－Px3 /(6EI) (6) 在以上结果中:挠度为正值,说明梁变形时B点问下移 动;转角为正值,说明梁变形时横截面B沿顺时针转向转动。 根据梁的受力情况及边界条件,画出梁的挠曲线的示意图(见图)后可知,此梁 的最大转角qmax和最大挠度fmax都发生在x=l 的自由端截面处。由(5)、(6)两式可 分别求得qmax 及fmax 值为: EI Pl f y EI Pl x l x l 3 | 2 | 3 max 2 q max = q = = 和 = = =
§6-2(2)梁挠曲线近似微分方程的积分 Integration Method of Elastic Curve 例题6-2图示一抗弯刚度为E的简支梁,在RAx k 全梁上受集度为q的均布荷载作用。试求此 q 梁的挠曲线方程和转方程并确定其最AB 挠度fm和最大转角0mx 6 解:首先,由对称关系可知梁的两个支反力 然后,写出此梁的弯矩方程1(x)91 (见图)为: RA=RB=ql/4 2x-2qx()例题6-2图 将式(1)中的M(x)代入公式(6-2b),再通过两次积分,可得: El x2+x3+C(2)E x+x+x+d 3) 4 24 在简支梁中,边界条件是左 根据这两个边界条件,由式(3)可得 铰支座处的挠度都等于零,即: 在x=0处,y=0;在x=l处,y=0 D=0及E ++C=0 x=l 1224 于是,得梁的转角方程和挠曲线方程分别为 从而解出 2-6k2+4x2)(4)和y=4,(-22+x)(5上= 24El 24EⅠ 24
§6-2(2) 梁挠曲线近似微分方程的积分 Integration Method of Elastic Curve (3) 12 24 (2) 4 6 ' 2 3 3 4 x C x D q x ql x C EIy q x ql EIy = − + + = − + + + 例题6－2 图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在 全梁上受集度为q的均布荷载作用。试求此 梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大 挠度fmax和最大转角qmax 。 解:首先,由对称关系可知梁的两个支反力 (见图)为: RA = RB = ql/2 然后, 写出此梁的弯矩方程 (1) 2 1 2 ( ) 2 x qx ql M x = − 将式(1)中的M(x)代入公式(6－2b),再通过两次积分,可得: 在简支梁中,边界条件是左、右两 铰支座处的挠度都等于零,即: 在x= 0处，y = 0 ; 在x= l处，y = 0 。 0 12 24 0 4 4 = = − + + = = Cl ql ql D EIy 及 x l 根据这两个边界条件,由式(3)可得: 24 3 ql C = 于是,得梁的转角方程和挠曲线方程分别为: 从而解出: ( 2 ) (5) 24 ( 6 4 ) (4) 24 ' 3 2 3 3 2 3 l lx x EI qx l lx x y EI q q = y = − + 和 = − +