这就时尺缩效应。 说明 在不同惯性系中测得的长度不一定相同。 棒静止时测得的长度最长,称为固有长度 §4洛仑兹变换 从狭义相对论的基本原理出发可得到两惯性系对同一事件测 量的时空坐标间的变换关系 洛仑兹变换式的导出 设S,S"两个惯性系,S以速度u相对与S运动,二者原点在t=t =0时重合。在空间P点发生一个事件。 在S'系中测量:事件发生的时刻为t,发生的位置为x 在S系中测量:事件发生的时刻为t,发生的位置为x,y,z 如图根据长度收缩有x=m+x√-n2/c2或x= P(x,, 2, t) x√1-u2/c2 下面求时间的变换公式: x表示为:x=x1-n21c2-m 得到:t'= √-n2/c2 垂直于运动方向的长度与参考系的运动无关。 最后导出洛仑兹变换式为: x=r(x-ut) x=r(tut) 和 y-y (t-ux/c t=r(t'+ux/c2) 其中y=m2 左侧一组公式为正变换,右侧一组的为逆变换两者的差异除变换 量互换外,还需将u-l
这就时尺缩效应。 说明： 在不同惯性系中测得的长度不一定相同。 棒静止时测得的长度最长，称为固有长度。 §4.洛仑兹变换 从狭义相对论的基本原理出发可得到两惯性系对同一事件测 量的时空坐标间的变换关系。 一. 洛仑兹变换式的导出 设 S，S'两个惯性系，S'以速度 u 相对与 S 运动，二者原点在 t＝t' ＝0 时重合。在空间 P 点发生一个事件。 在 S'系中测量：事件发生的时刻为 t'，发生的位置为 x'，y'，z'。 在 S 系中测量：事件发生的时刻为 t，发生的位置为 x，y，z。 如图:根据长度收缩,有 2 2 x = ut + x 1−u / c 或 2 2 1 u / c x ut x − − = . ut u 2 2 x 1−u / c x S S' ut' u 2 2 x 1−u / c x' S S' P(x',y',z',t') 下面求时间的变换公式： x'表示为： x = x −u c −ut 2 2 1 / 得到： 2 2 2 1 u / c x c u t t − − = 。 垂直于运动方向的长度与参考系的运动无关。 最后导出洛仑兹变换式为： x’=γ(x-ut) x =γ(x’+ut’) y’=y 和 y=y’ z’=z z=z’ t’ =γ(t-u x/c2 ) t =γ(t’+u x’/c2 ) 其中 2 2 1 1 c u − = 左侧一组公式为正变换，右侧一组的为逆变换,两者的差异除变换 量互换外，还需将 u→-u
说明: 1)公式满足对应原理,即当u<<c时,y→1,洛仑兹变换→伽里 略变换。故伽里略变换是洛仑兹变换在低速情况下的近似。 2)变换式体现了时空和运动有关,时间、空间紧密相连,两者构 成统一的四维时空 3)只有当u<c时,变换才有意义。即存在极限速率c,一切实物 的运动速率均小于c。 例题1:S系相对S系以u=0.6c运动。有两个事件,在S系中测 量:x1=0,t1=0;x2=3000m,t=4×106s,求S系中测量的相 应时空坐标。 解:由已知y 人=1.25,代入洛仑兹变换式,得x= y(x-ut1)=0 ti=y(tr-UxI/C)=0 x2=y(x2-ut2)=2.85×10m t2=y(t-x2c2)=-2.5×10s *S系中测量t2(负值)(t1(零),表明其中事件的时间顺 序与S系中的相比发生了颠倒。 例题2:前 Einstein思想实验中,设火车参考系中两固定点的间 距AB'=2L,火车速率u=0.6c,求在火车参考系和地面参考系中测 量,中点M发出的闪光到达A’,B所需的时间 解:设发闪光为事件0,闪光到达A为事件1,到达B为事件2, 由题设, S系中:x-1’,x'-=-L,而向B传播的光速为c,向A传播 的光速为-c,故t2'-to t1'-to'=L/,由洛仑兹变换,在S系中 t2-to=y(t2+ux2,/2)-r(to+uxo,/cA) =y(△tx2+u△xo3/c) 1.25(L(+0.6Lc)=2Lc 同理,t-t=y(△t0+u△xo°/c) 1.25[L/+0.6(-D/c] =0.5L/C 时序和因果律 般情况下,两事件的时间间隔在不同参考系测量不相同, 甚至可能发生时序颠倒(如前节例1)。但是,如果两事件间有因
说明： 1）公式满足对应原理，即当 u<<c 时，γ→1，洛仑兹变换→伽里 略变换。故伽里略变换是洛仑兹变换在低速情况下的近似。 2）变换式体现了时空和运动有关，时间、空间紧密相连，两者构 成统一的四维时空。 3）只有当 u<c 时，变换才有意义。即存在极限速率 c，一切实物 的运动速率均小于 c 。 例题 1：S ‘系相对 S 系以 u = 0.6c 运动。有两个事件，在 S 系中测 量：x1=0 ，t1=0 ；x2=3000m，t2=4╳10-6 s ，求 S ’系中测量的相 应时空坐标。 解：由已知 1.25 1 1 2 2 = − = c u ，代入洛仑兹变换式，得 x1 ’= γ（x 1-ut1）= 0 t1 ’=γ（t1-ux1/c 2）= 0 x 2 ’=γ（x 2-ut2）= 2.85 ╳ 103 m t2 ’= γ（t2-u x 2/c 2）= -2.5╳10-6 s *S‘系中测量 t2 ‘（负值）〈 t1 ’（零），表明其中事件的时间顺 序与 S 系中的相比发生了颠倒。 例题 2:前 Eeinstein 思想实验中,设火车参考系中两固定点的间 距 A’B’=2L,火车速率 u=0.6c,求在火车参考系和地面参考系中测 量,中点 M’发出的闪光到达 A’,B’所需的时间. 解：设发闪光为事件 0，闪光到达 A’为事件 1，到达 B’为事件 2， 由题设， S’系中：x2’-x0’=L,x1’-x0’= -L,而向 B’传播的光速为 c，向 A’传播 的光速为-c, 故 t2’-t0’= t1’-t0’=L/c，由洛仑兹变换，在 S 系中， t2-t0=γ(t2’+ux2’/c 2 )-γ(t0’+ux0’/c 2 ) =γ(Δt20’+uΔx20’/c 2 ) =1.25(L/c+0.6L/c)=2L/c 同理，t1-t0=γ(Δt10’+uΔx10’/c 2 ) =1.25[L/c+0.6(-L)/c] =0.5L/c 二.时序和因果律 一般情况下，两事件的时间间隔在不同参考系测量不相同， 甚至可能发生时序颠倒（如前节例 1）。但是，如果两事件间有因