厦门大学：《群论及其在化学中的应用》课程教学资源（课件讲稿）Chapter 11 酉空间（Unitary Space）Chapter 12 表示的约化及其判据 Chapter 13 正交定理 The Orthogonality Relations Chapter 14 直积群的表示 Chapter 15 表示的分解 Chapter 16 投影算符（Projection Operator）

a-ou- 即aa=1单位矩阵 0 a"a= a"=a 酉矩阵Unitary matrix 3.线性算符表示的性质 线性算符T的伴随算符(adjoint operator) T+定义为：(Txy)=(x,Ty) (对所有xy) 在正交归一化基{4，}下

* ( )ij ik kj jk ik ij k k a a a a a a                      a a 1  即  单位矩阵 1 0 0 0 1 0 1 a a                  1 a a    酉矩阵Unitary matrix 3. 线性算符表示的性质 线性算符T的伴随算符（adjoint operator） T  定义为： Tx y x T y , ( , )    （对所有x, y) 在正交归一化基 ui  下

(x,月=（∑47x∑44）=∑了.4,4，)=∑Ty x,T列=（∑4∑7）=∑7aw,)=E74=∑7 上述两式有：T=T→T+=产 其中T+为伴随算符，了为转置共轭 在正交归一化基下，伴随算符的表示就是算符T,表示矩阵 的共轭转置。 如果T+=T,即(Tx,y)=(x,Ty),则称T为自伴随的(self一adjoint) 或厄米的(Hermitian)。U算符(Unitary operator：小对任意的x,y有： (Ux,Uy)=(x,y) 在正交归一化坐标下，U的表示矩阵是酉矩阵，即U+U=UU+=1

  * * * * , , , , , ( , ) ( , ) i ij j k k ij j k i k ij j i i j k i j k i j Tx y u T x u y T x y u u T x y        * * * , , , , , ( , ) ( , ) ( , ) i i j jk k i jk k i j i jk k j ji i i j k i j k i k i j x T y x u u T y x T y u u x T y x T y               上述两式有： * * T T T T ji ij      其中 T  为伴随算符， T * 为转置共轭 在正交归一化基下，伴随算符的表示就是算符 ，表示矩阵 的共轭转置。 T 如果 ，即 ，则称T为自伴随的（self—adjoint） 或厄米的(Hermitian)。 U算符(Unitary operator)：对任意的x, y有： T T   Tx y x Ty , ( , )   ( , ) ( , ) Ux Uy x y  在正交归一化坐标下，U 的表示矩阵是酉矩阵，即 U U UU 1    

4.表示的酉化(Unitary representations). 对任意一对矢量{x,y},定义 {x,y=1∑(D(Rx,D(R) RCG 显然，{x,y}满足内积的定义，对群G中元素S有： (D(S),D(S)(D(R)D(S),D(R)D(S))=(D(RS),D(RS)y) RCG RCG 因为RScG,当R遍及群G所有元素时，RS也遍及群G,即求和不变 (D(S)x.D(S)=(D(RS)x.D(RS)y) RCG (D(R)x,D(R)y)={x,y} REG 即表示算符{D(R)}是酉算符（其表示矩阵是U矩阵）

4. 表示的酉化（Unitary representations） 对任意一对矢量 { , } x y ，定义 1 { , } ( ( ) , ( ) ) R G x y D R x D R y g    显然， { , } x y 满足内积的定义，对群 中元素 有： 1 1 { ( ) , ( ) }= ( ( ) ( ) , ( ) ( ) )= ( ( ) , ( ) ) R G R G D S x D S y D R D S x D R D S y D RS x D RS y g g     因为 RS G  , 当 R遍及群G所有元素时, RS也遍及群G, 即求和不变 G S 1 { ( ) , ( ) } ( ( ) , ( ) ) 1 ( ( ) , ( ) )={ , } R G R G D S x D S y D RS x D RS y g D R x D R y x y g       即表示算符 { ( )} D R 是酉算符（其表示矩阵是 U 矩阵）

令 {4,u}=δ={y,Vj} 列=∑4524y 相对于内积(x,y)相对于内积{x,} 定义算符T将{4}交换为{y} =∑∑w (y,V2,…vn)=T(4,42,…n） =∑y}=∑ =(4,h2,…4n)Tg)nx =X+Y=(x,y) 因为{Tx,Ty}=(x,y) 对于等价表示D(S)=T-D(S)T (T-D(S)Tx,T-D(S)Ty=D(S)Tx,D(S)Ty)-Tx,Ty-(x,y) 如果定义D(S)=T-D(S)T (D(S)x,D(S)y)=(x,y) D(S)满足U表示

{ , } { , } i j ij i j 令 u u v v    相对于内积(x, y) 相对于内积{x, y} 定义算符 T 将 { } u1 交换为 1 { } v 1 2 1 2 1 2 ( , , ) ( , , ) ( , , )( ) n n n ij n n v v v T u u u u u u T    因为 { , } ( , ) Tx Ty x y  对于等价表示 ' 1 D S T D S T ( ) ( )   1 1 ( ( ) , ( ) )={ ( ) , ( ) }={ , }=( , ) T D S Tx T D S Ty D S Tx D S Ty Tx Ty x y   如果定义 ' 1 D S T D S T ( ) ( )   ' ' ( ( ) , ( ) ) ( , ) D S x D S y x y  ' D S( ) 满足 U 表示。   , , * * , { , } , , , ( , ) i ij j k kl l i j k l j j l l j l j l j l j j j l j Tx Ty u T x u T y v x v y x y v v x y X Y x y                         

Chapter 12表示的约化及其判据 V群的表示 V e a b C e e a b 0 a e b b b e a b a e 1 00 0 0 100 0 010 0 00 0 10 0 1 0 0 0 0 001 0 01 0 (e,a,b,c) 0 010 0 001 100 0 01 00 0 00 1 0 010 0100 1000 (e,a,b,c) (a,e,c,b) (b,c,e,a) (c,b,a,e)

Chapter 12 表示的约化及其判据 V 群的表示 V e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e ( , , , ) e a b c 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1             0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0             0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0             0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0             ( , , , ) e a b c ( , , , ) a e c b ( , , , ) b c e a ( , , , ) c b a e