X2变量具有下列性质： (1)设随机变量X~X品则有E(X)=m,Var(X)= 2m. (2)设Z1~X品1，Z2~X品2，且Z和Z2独立，则 Z1+Z2~X21+2 我们从X2分布的定义出发给出一个简单证明：由定义Z1= X院+…+X异，此处 Xi,X2,·,Xn1i.i.d.~N(0,1) 同理Z2=X,+1+…+X分1+n2,此处 Xn1+1,Xm1+2,…,Xn1+n2ii.d.~N(0,1), Previous Next First Last Back Forward 5
χ 2 变量具有下列性质: (1) 设随机变量 X ∼ χ 2 n 则有 E(X) = n, V ar(X) = 2n. (2) 设 Z1 ∼ χ 2 n1 , Z2 ∼ χ 2 n2 , 且 Z1 和 Z2 独立, 则 Z1 + Z2 ∼ χ 2 n1+n2 . 我们从 X 2 分布的定义出发给出一个简单证明: 由定义 Z1 = X 2 1 + · · · + X 2 n1 , 此处 X1, X2, · · · , Xn1 i.i.d. ∼ N(0, 1), 同理 Z2 = X 2 n1+1 + · · · + X 2 n1+n2 , 此处 Xn1+1, Xn1+2, · · · , Xn1+n2 i.i.d. ∼ N(0, 1), Previous Next First Last Back Forward 5
再由Z1和Z2的独立性可知 X1,X2,·,Xn1Xn1+1,…,Xn1+n2ii.d.~N(0,1) 因此 Z+Z2=X好+…+X元+X品+1+…+X品+m2 按定义即有Z1+Z2~X品1+n2 Previous Next First Last Back Forward 6
再由 Z1 和 Z2 的独立性可知 X1, X2, · · · , Xn1 Xn1+1, · · · , Xn1+n2 i.i.d. ∼ N(0, 1). 因此 Z1 + Z2 = X 2 1 + · · · + X 2 n1 + X 2 n1+1 + · · · + X 2 n1+n2 . 按定义即有 Z1 + Z2 ∼ χ 2 n1+n2 . Previous Next First Last Back Forward 6
4.1.2t分布 设随机变量XN(O,1),Y~X品，且X和Y独立，则称 T= X VYI元 Definition 为自由为n的t变量，其分布称为由为n的t分布，记为 T心tn. 设随机变量T~tn,则其密度函数为 1 tn(x)= () T(货)vm示 -00<x<00 (4.2) 该密度函数的图形如下 Previous Next First Last Back Forward
4.1.2 t 分布 设随机变量 X ∼ N(0, 1), Y ∼ χ 2 n, 且 X 和 Y 独立, 则称 T = X √ Y /n 为自由为 n 的 t 变量, 其分布称为由为 n 的t 分布, 记为 T ∼ tn. Definition 设随机变量 T ∼ tn, 则其密度函数为 tn(x) = Γ( n+1 2 ) Γ( n 2 ) √ nπ ( 1 + x 2 n )− n+1 2 , − ∞ < x < ∞ (4.2) 该密度函数的图形如下 Previous Next First Last Back Forward 7
小n(x) N(0,1)(t-(x) tho(x) ts(x) 启 t(x) 5 -4-3-2 -1 0 12 3 4 Previous Next First Last Back Forward 8
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 0.1 0.2 0.3 0.4 x tn(x) N(0, 1)(t∞(x)) t10(x) t5(x) t1(x) Previous Next First Last Back Forward 8