全程设计 数学探究 用向量法研究三确形的性质
数学探究 用向量法研究三角形的性质
导航 课堂·重难突破 向量在判断三角形的形状中的应用 典例剖析 1.已知△ABC满足AB2=AB·AC+BA·BC+CA·CB,则 △ABC是(C) A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形
导航 课堂·重难突破 一 向量在判断三角形的形状中的应用 典例剖析 1.已知△ABC满足 则 △ABC是( ) A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 𝑨 𝑩 𝟐 = 𝑨 𝑩 ·𝑨 𝑪 + 𝑩 𝑨 ·𝑩 𝑪 + 𝑪 𝑨 ·𝑪 𝑩 , C
导航 解析:因为在△ABC中,AB2=AB·AC+BA·BC+CACB, 所以AB2=AB·AC-AB·BC+CA·CB =AB·(AC-BC+CA·CB=AB·AB+CA·CB, 即AB2=AB2+CACB,得CA·AB=O,所以CA⊥CB, 即CA⊥CB,可得△ABC是直角三角形
导航 解析:因为在△ABC 中, 𝑨 𝑩 𝟐 = 𝑨 𝑩 ·𝑨 𝑪 + 𝑩 𝑨 ·𝑩 𝑪 + 𝑪 𝑨 ·𝑪 𝑩 , 所以𝑨 𝑩 𝟐 = 𝑨 𝑩 ·𝑨 𝑪 -𝑨 𝑩 ·𝑩 𝑪 + 𝑪 𝑨 ·𝑪 𝑩 = 𝑨 𝑩 ·(𝑨 𝑪 -𝑩 𝑪 )+𝑪 𝑨 ·𝑪 𝑩 = 𝑨 𝑩 ·𝑨 𝑩 + 𝑪 𝑨 ·𝑪 𝑩 , 即𝑨 𝑩 𝟐 = 𝑨 𝑩 𝟐 + 𝑪 𝑨 ·𝑪 𝑩 ,得𝑪 𝑨 ·𝑨 𝑩 =0,所以𝑪 𝑨 ⊥𝑪 𝑩 , 即 CA⊥CB,可得△ABC 是直角三角形
导航 规律总结 通过向量运算,可以得到三角形的边、角的值或 关系,进而判断出三角形的形状,注意一些向量式子的含义.如 本题中, 表示与AB同向的单位向量. AB
导航 规律总结 通过向量运算,可以得到三角形的边、角的值或 关系,进而判断出三角形的形状,注意一些向量式子的含义.如 本题中, 表示与 同向的单位向量. 𝑨 𝑩 |𝑨 𝑩 | 𝑨 𝑩
二向量法证明三角形的性质 导期 典例剖析 2.我们知道“三角形的三条高线相交于一点,这个交点叫做 三角形的垂心”,试证明三角形的三条高线相交于一点. 解:如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E,设 AD,BE相交于一点I,连接CI并延长交AB于一点F,试用向量法 证明CF⊥AB. F B C D
二 向量法证明三角形的性质 导航 典例剖析 2.我们知道“三角形的三条高线相交于一点,这个交点叫做 三角形的垂心”,试证明三角形的三条高线相交于一点. 解:如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E,设 AD,BE相交于一点I,连接CI并延长交AB于一点F,试用向量法 证明CF⊥AB