同济大学：《数字信号处理（DSP）》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 z变换（6/6）

例:已知离散LSI系统的差分方程 y(n) 34 y(n-1)+y(n-2)=x(n)+x(n-1) 其中:x(m)为输入,y(n)为输出。 1)求系统函数,指出系统的零极点; 2)若该系统是因果稳定的,指出系统的收敛域; 3)求该因果稳定系统的单位抽样响应

LSI 3 1 1 ( ) ( 1) ( 2) ( ) ( 1) 4 8 3 ( ) ( ) 1 2 3 y n y n y n x n x n x n y n        例：已知离散 系统的差分方程： 其中： 为输入， 为输出。 ）求系统函数，指出系统的零极点； ）若该系统是因果稳定的，指出系统的收敛域； ）求该因果稳定系统的单位抽样响应

解:1)对差分方程两边取z变换: Y(二) 3Y(z)+azY(=)=X(x)+2X(z) 8 系统函数: ()=1(=)1k 1+ X(z 1--z-1+-z 零点 0极点 3 24 jIm[z 2)由于系统为因果稳定系统, 1/3 Rely 故收敛域: 0.2 2

解：1）对差分方程两边取z变换： 3 1 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 8 3 Y z z Y z z Y z X z z X z        1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ( ) 3 3 ( ) ( ) 3 1 1 1 1 1 1 4 8 2 4 z z Y z H z X z z z z z                         1 1 1 , 0 , 3 2 4 零点：z   极点：z  系统函数： 2 1 2 z  ）由于系统为因果稳定系统， 故收敛域： Re[z] jIm[z] 0 0.5 0.25 1 1/ 3

3)对H(z)求z反变换即得单位抽样响应h(m) 用部分分式法 1+ H(=)= 4 2 4 H 4 H 10 A= Res

  1 1 1 1 3 1 1 3 1 1 1 1 2 4 1 1 2 4 z z H z z z z z z                                      1 2 1 3 1 1 1 1 2 4 2 4 z H z A A z z z z z                          1 1 2 1 2 1 1 10 3 2 1 1 3 2 4 z z z H z A Res z z  z z                             3) 对H(z)求z反变换即得单位抽样响应h(n)， 用部分分式法