平面 1、平面含义 师:以上实物都给我们以平面的印象,几何里所说的平面,就是从这样的一些物体中抽象出 来的,但是,几何里的平面是无限延展的 2、平面的画法及表示 师:在平面几何中,怎样画直线? 之后教师加以肯定,解说、类比,将知识迁移,得出平面的画法:水平放置的平面通常画成 个平行四边形,锐角画成45,且横边画成邻边的2倍长(如图) 平面通常用希腊字母a、β、Y等表示,如平面a、平面β等,也可以用表示平面的平行四 边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC、平面ABCD等 如果几个平面画在一起,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应画成虚线或不画(打 出投影片) 课本P41图2.1-4说明 平面内有无数个点,平面可以看成点的集合 点A在平面a内,记作:A∈a 点B在平面a外,记作:Bga 3、平面的基本性质 教师引导学生思考教材P41的思考题,让学生充分发表自己的见解。 师:把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边,可以看到,直尺的整个边缘就落在了桌面上 用事实引导学生归纳出以下公理 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 (教师引导学生阅读教材P42前几行相关内容,并加以解析 符号表示为 A∈L B∈L A∈a
平面 1、平面含义 师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出 来的，但是，几何里的平面是无限延展的。 2、平面的画法及表示 师：在平面几何中，怎样画直线？ 之后教师加以肯定，解说、类比，将知识迁移，得出平面的画法：水平放置的平面通常画成 一个平行四边形，锐角画成 450，且横边画成邻边的 2 倍长（如图） 平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四 边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面 AC、平面 ABCD 等。 如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打 出投影片） 课本 P41 图 2.1-4 说明 平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。 点 A 在平面α内，记作：A∈α 点 B 在平面α外，记作：B α 2.1-4 3、平面的基本性质 教师引导学生思考教材 P41 的思考题，让学生充分发表自己的见解。 师：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上， 用事实引导学生归纳出以下公理 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 （教师引导学生阅读教材 P42 前几行相关内容，并加以解析） 符号表示为 A∈L B∈L => L α A∈α D C A B α α β α β ·B ·A α L A α · ·B
B∈a 公理1作用:判断直线是否在平面内 师:生活中,我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等… 引导学生归纳出公理 公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为:A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面a C 使A∈a、B∈a、C∈a 公理2作用:确定一个平面的依据 教师用正(长)方形模型,让学生理解两个平面的交线的含义。 引导学生阅读P42的思考题,从而归纳出公理3 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为:P∈a∩B=>a∩B=,且P∈L 公理3作用:判定两个平面是否相交的依据 空间中直线与直线之间的位置关系 2、师:那么,空间两条直线有多少种位置关系?(板书课题 (二)讲授新课 1、教师给出长方体模型,引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系 共面直线了相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点: 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点。 教师再次强调异面直线不共面的特点,作图时通常用一个或两个平面衬托,如下图 2、(1)师:在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行。 在空间中,是否有类似的规律? 组织学生思考: 长方体 ABCDA'B'CD中, BB'∥AA,DD∥AA, BB’与DD’平行吗? 生:平行 再联系其他相应实例归纳出公理4 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设a、b、c是三条直线 c∥b 强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用:判断空间两条直线平行的依据
B∈α 公理 1 作用：判断直线是否在平面内 师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等…… 引导学生归纳出公理 2 公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使 A∈α、B∈α、C∈α。 公理 2 作用：确定一个平面的依据。 教师用正（长）方形模型，让学生理解两个平面的交线的含义。 引导学生阅读 P42 的思考题，从而归纳出公理 3 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且 P∈L 公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据 空间中直线与直线之间的位置关系 2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题） （二）讲授新课 1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图： 2、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。 在空间中，是否有类似的规律？ 组织学生思考： 长方体 ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与 DD'平行吗？ 生：平行 再联系其他相应实例归纳出公理 4 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设 a、b、c 是三条直线 a∥b c∥b 强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。 C · B · A α · =>a∥c P · α L β 共面直线
(投影) C 让学生观察、思考 ∠ADC与A'D’C、∠ADC与∠A'B'C的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何? 生:∠ADC=A'D'C’,∠ADC+∠A'B'C=180° 教师画出更具一般性的图形,师生共同归纳出如下定理 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 教师强调:并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。 4、以教师讲授为主,师生共同交流,导出异面直线所成的角的概念 (1)师:如图,已知异面直线a、b,经过空间中任一点0作直线a'∥a、b’∥b,我们把 a'与b’所成的锐角(或直角)叫异面直线a与b所成的角(夹角) b (2)强调 ①a’与b’所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定,与O的选择无关,为了简便,点 O一般取在两直线中的一条上; ②两条异面直线所成的角0∈(0,2): ③当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b; ④两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 1、判断题: (1)a/∥bc⊥a=>c⊥b() (1)a⊥cb⊥c=>a⊥b() 2、填空题: 在正方体 ABCD-A'B’CD中,与BD成异面直线的有 条 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 (二)研探新知 1、引导学生观察、思考身边的实物,从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 有无数个公共点
（投影） 让学生观察、思考： ∠ADC 与 A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？ 生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800 教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 教师强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。 4、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。 （1）师：如图，已知异面直线 a、b，经过空间中任一点 O 作直线 a'∥a、b'∥b，我们把 a'与 b'所成的锐角（或直角）叫异面直线 a 与 b 所成的角（夹角）。 （2）强调： ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定，与 O 的选择无关，为了简便，点 O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 a⊥b； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 1、判断题： （1）a∥b c⊥a => c⊥b （ ） （1）a⊥c b⊥c => a⊥b （ ） 2、填空题： 在正方体 ABCD-A'B'C'D'中，与 BD'成异面直线的有 ________ 条。 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 （二）研探新知 1、引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 2
(2)直线与平面相交 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a￠a来表示 A a∩a=A ∥ 2、引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考,准确归纳出两个平面之间有两种 位置关系 (1)两个平面平行一一没有公共点 (2)两个平面相交 有且只有一条公共直线 用类比的方法,学生很快地理解与掌握了新内容,这两种位置关系用图形表示为 ∥B a∩B=L 教师指出:画两个相互平行的平面时,要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行 空间点、直线平面之间的位置关系单元测试 选择题 1.a,b是两条异面直线 A.若P为不在a、b上的一点,则过P点有且只有一个平面与a,b都平行 B.过直线a且垂直于直线b的平面有且只有一个 C.若P为不在a、b上的一点,则过P点有且只有一条直线与a,b都平行 D.若P为不在a、b上的一点,则过P点有且只有一条直线与a,b都垂直 2.a、b是异面直线,下面四个命题 ①过a至少有一个平面平行于b;②过a至少有一个平面垂直于b:③至少有一条直线与a
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a α来表示 a α a∩α=A a∥α 2、引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考，准确归纳出两个平面之间有两种 位置关系： （1）两个平面平行 —— 没有公共点 （2）两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线 用类比的方法，学生很快地理解与掌握了新内容，这两种位置关系用图形表示为 α∥β α∩β= L 教师指出：画两个相互平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。 空间点、直线平面之间的位置关系 单元测试 一、选择题 1. a,b 是两条异面直线， （ ） A．若 P 为不在 a、b 上的一点，则过 P 点有且只有一个平面与 a，b 都平行 B．过直线 a 且垂直于直线 b 的平面有且只有一个 C．若 P 为不在 a、b 上的一点，则过 P 点有且只有一条直线与 a，b 都平行 D．若 P 为不在 a、b 上的一点，则过 P 点有且只有一条直线与 a，b 都垂直 2. a、b 是异面直线，下面四个命题： ①过 a 至少有一个平面平行于 b；②过 a 至少有一个平面垂直于 b；③至少有一条直线与 a、 α β α β L
b都垂直:④至少有一个平面分别与a、b都平行,其中正确命题的个数是 3.把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的正棱锥体积最大时,直 线BD和平面ABC所成的角的大小为 A.90° 4、下面四个命题 ①空间中如果有两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等 ②一个平面内两条直线与另外一个平面平行,则这两个面平行 ③一条直线与一个平面的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直 ④两个平面垂直于交线的直线与另一个平面垂直 其中,正确命题的个数是( 二、填空题 1.已知直线m,n,平面a,B,给出下列命题: ①若m⊥a,m⊥B,则a⊥B;②若m∥a,m∥B,则a∥B ③若m⊥a,m∥B,则a⊥B;④若异面直线m,n互相垂直,则存在过m的平面与n垂直.其 中正确的命题的题号为 2.设厶、m、n是三条不同的直线,a、B、y是三个不同的平面,下面有四个命题 ①若∥B,a∥B,则∥a ②若∥n,m∥n,则∥m ③若a⊥B,1∥a,则⊥B ④若1⊥a,m⊥B,a⊥B,则⊥m 其中假命题的题号为 3.在右图所示的是一个正方体的展开图,在原来的正方体中,有下列命题 ①AB与EF所在的直线平行:②AB与CD所在的直线异面:③M与BF所在的直线成60°角 ④MN与CD所在的直线互相垂直.其中正确的命题是 三、解答题 D 1.下列五个正方体图形中,是正方体的一条对角线,点 B M,M,P分别为其所在棱的中点,求能得出l⊥面MP的图 形的序号(写出所有符合要求的图形序号) A ①
b 都垂直；④至少有一个平面分别与 a、b 都平行，其中正确命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 3. 把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A、B、C、D 四点为顶点的正棱锥体积最大时，直 线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为 ( ) A. 90° B .60° C. 45° D.30° 4、下面四个命题： ①空间中如果有两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等 ②一个平面内两条直线与另外一个平面平行，则这两个面平行 ③一条直线与一个平面的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ④两个平面垂直于交线的直线与另一个平面垂直 其中，正确命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 1. 已知直线 m，n，平面 , ，给出下列命题： ①若 m ⊥,m ⊥ ,则 ⊥ ；②若 m//,m// ,则 // ； ③若 m ⊥,m// ,则 ⊥ ；④若异面直线 m，n 互相垂直，则存在过 m 的平面与 n 垂直. 其 中正确的命题的题号为 _______ 2. 设 l m n 、 、 是三条不同的直线， 、 、 是三个不同的平面，下面有四个命题： ① 若l l ∥ , ∥ ,则 ∥ ； ② 若l n m n l m ∥ , ∥ ,则 ∥ ； ③ 若 ⊥ ⊥ ,l l ∥ ,则 ； ④ 若l m ⊥ ⊥ , , ⊥ ⊥ , . 则l m 其中假命题的题号为__________ 3. 在右图所示的是一个正方体的展开图，在原来的正方体中，有下列命题： ①AB 与 EF 所在的直线平行；②AB 与 CD 所在的直线异面；③MN 与 BF 所在的直线成 60°角； ④MN 与 CD 所在的直线互相垂直.其中正确的命题是_____________ 三、解答题 1. 下列五个正方体图形中， l 是正方体的一条对角线，点 M，N，P 分别为其所在棱的中点，求能得出 l ⊥面 MNP 的图 形的序号(写出所有符合要求的图形序号) E N A F C B D M