第三节空间点、直线、平面之间的位置关系 考纲传真]1理解空间直线、平面位置关系的定义2了解可以作为推理依据的公理和定 理、3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题 课前知识全通关 夯实基础·扫除盲点 KEQIAN 1.平面的基本性质 (1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内 (2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面 (3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直 线 (4)公理2的三个推论 推论1:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面 2.空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类 共面直线行直线 相交直线 异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点 (2)异面直线所成的角 ①定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与 b′所成的锐角(國或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). ②范围:0 (3)平行公理(公理4)和等角定理 平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 3.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)空间中直线与平面的位置关系
1 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系 [考纲传真] 1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定 理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题． 1．平面的基本性质 (1)公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． (2)公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． (3)公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直 线． (4)公理 2 的三个推论 推论 1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类 共面直线 平行直线 相交直线 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 (2)异面直线所成的角 ①定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)． ②范围： 0， π 2 . (3)平行公理(公理 4)和等角定理 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)空间中直线与平面的位置关系
位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线a在平面a内 aca 有无数个公共点 直线a平面a平 ∥ 没有公共点 直线 直线a与平面a 在平 a∩a=A 斜交 面外 有且只有一个公共点 直线a与平面a ⊥a 垂直 (2)空间中两个平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 没有 两平面平行 ∥B 公共点 两平面/斜交 有一条 公共 相交 ⊥B且 垂直 直线 anB=a [常用结论] 1.异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线 2.等角定理的引申 (1)在等角定理中,若两角的两边平行且方向相同或相反,则这两个角相等 (2在等角定理中,若两角的两边平行且方向一个边相同,一个边相反,则这两个角互补 [基础自测] 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个平面a,B有一个公共点A,就说a,B相交于过A点的任意一条直线 (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.() (3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.(
2 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线 a 在平面 α 内 a⊂α 有无数个公共点 直线 在平 面外 直线 a 平面 α 平 行 a∥α 没有公共点 直线 a 与平面 α 斜交 a∩α＝A 有且只有一个公共点 直线 a 与平面 α 垂直 a⊥α (2)空间中两个平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两平面平行 α∥β 没有 公共点 两平面 相交 斜交 α∩β＝l 有一条 公共 直线 垂直 α⊥β 且 α∩β＝a [常用结论] 1．异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线． 2．等角定理的引申 (1)在等角定理中，若两角的两边平行且方向相同或相反，则这两个角相等． (2)在等角定理中，若两角的两边平行且方向一个边相同，一个边相反，则这两个角互补． [基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个平面 α，β 有一个公共点 A，就说 α，β 相交于过 A 点的任意一条直线． ( ) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面． ( ) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． ( )
(4)若直线a不平行于平面a,且aa,则a内的所有直线与a异面.() [答案](1)×(2)√(3)×(4) 2.(教材改编)如图所示,在正方体 ABCD-A1B1CD1中,E,F分别是AB,AD的中点,则 异面直线B1C与EF所成的角的大小为 C.60° D.90° C连接BD,DC(图略),则B1D1∥EF,故∠DBC为所求的角,又B1D1=BC=DC ∴∠D1B1C=609] 3.(教材改编)下列命题正确的是() A.经过三点确定一个平面 B.经过一条直线和一个点确定一个平面 C.四边形确定一个平面 D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 D根据确定平面的公理和推论知选项D正确.] 4.已知空间四边形的两条对角线相互垂直,顺次连接四边中点的四边形一定是() A.空间四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 B[四边形的相邻两边分别平行于空间四边形的两角对角线,故选B 5.已知直线a,b分别在两个不同的平面a,B内,则“直线a和直线b相交”是“平面 a和平面B相交”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A[由题意知a∈a,b∈B,若a,b相交,则a,b有公共点,从而a,B有公共点,可得 出a,B相交;反之,若α,B相交,则a,b的位置关系可能为平行、相交或异面.因此“直 线a和直线b相交”是“平面a和平面β相交”的充分不必要条件.故选A
3 (4)若直线 a 不平行于平面 α，且 a⊄α，则 α 内的所有直线与 a 异面．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)× 2．(教材改编)如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，则 异面直线 B1C 与 EF 所成的角的大小为( ) A．30° B．45° C．60° D．90° C [连接 B1D1，D1C(图略)，则 B1D1∥EF，故∠D1B1C 为所求的角，又 B1D1＝B1C＝D1C， ∴∠D1B1C＝60°.] 3．(教材改编)下列命题正确的是( ) A．经过三点确定一个平面 B．经过一条直线和一个点确定一个平面 C．四边形确定一个平面 D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 D [根据确定平面的公理和推论知选项 D 正确．] 4．已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形 一定是( ) A．空间四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 B [四边形的相邻两边分别平行于空间四边形的两角对角线，故选 B.] 5．已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 α，β 内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A [由题意知 a⊂α，b⊂β，若 a，b 相交，则 a，b 有公共点，从而 α，β 有公共点，可得 出 α，β 相交；反之，若 α，β 相交，则 a，b 的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直 线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的充分不必要条件．故选 A.]
课堂题型全突破 考点全面·方法简洁 KETANG 平面的基本性 题型1 质 【例1】(1)以下命题中,正确命题的个数是() ①不共面的四点中,其中任意三点不共线 ②若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面 ③若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面 ④依次首尾相接的四条线段必共面 B.1 C.2 D.3 B[①正确,可以用反证法证明,假设任意三点共线,则四个点必共面,与不共面的四点 矛盾;②中若点A,B,C在同一条直线上,则A,B,C,D,E不一定共面,故②错误;③中, 直线b,c可能是异面直线,故③错误;④中,当四条线段构成空间四边形时,四条线段不共 面,故④错误.] (2)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证 C ①E,C,D1,F四点共面 ②CE,D1F,DA三线共点 [解]①如图,连接EF,CD1,A1B ∵E,F分别是AB,AA1的中点, ∴EF∥BA1
4 平面的基本性 质 【例 1】 (1)以下命题中，正确命题的个数是( ) ①不共面的四点中，其中任意三点不共线； ②若点 A，B，C，D 共面，点 A，B，C，E 共面，则 A，B，C，D，E 共面； ③若直线 a，b 共面，直线 a，c 共面，则直线 b，c 共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． A．0 B．1 C．2 D．3 B [①正确，可以用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点 矛盾；②中若点 A，B，C 在同一条直线上，则 A，B，C，D，E 不一定共面，故②错误；③中， 直线 b，c 可能是异面直线，故③错误；④中，当四条线段构成空间四边形时，四条线段不共 面，故④错误．] (2)如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别是 AB 和 AA1的中点．求证： ①E，C，D1，F 四点共面； ②CE，D1F，DA 三线共点． [解] ①如图，连接 EF，CD1，A1B. ∵E，F 分别是 AB，AA1 的中点， ∴EF∥BA1
又∵A1B∥D1C,∴EF∥CD ∴E,C,D1,F四点共面 ②∵∴EF∥CD1,EFCD1, ∴CE与D1F必相交,设交点为P, 则由P∈直线CE,CEC平面ABCD, 得P∈平面ABCD 同理P∈平面ADDA1 又平面ABCD∩平面ADDA1=DA, ∴P∈直线DA,∴CE,D1F,DA三线共点 [规律方法]共点、共线、共面问题的证明方法 (1)证明点共线问题:①公理法:先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公 共点,再根据基本公理3证明这些点都在交线上;②同一法:选择其中两点确定一条直线,然 后证明其余点也在该直线上 (2)证明线共点问题:先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过该点 (3)证明点、直线共面问题:①纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平 面内;②辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面a,再证明其余元素确定平面β,最后证 明平面a,B重合 [跟踪练习(1)如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则这四个点不 共面的一个图是 2-8- B D根据异面直线的判定定理,选项D中PS与QR是异面直线,则四点P,Q,R,S不 共面.故选D]
5 又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1， ∴E，C，D1，F 四点共面． ②∵EF∥CD1，EF<CD1， ∴CE 与 D1F 必相交，设交点为 P， 则由 P∈直线 CE，CE⊂平面 ABCD， 得 P∈平面 ABCD. 同理 P∈平面 ADD1A1. 又平面 ABCD∩平面 ADD1A1＝DA， ∴P∈直线 DA，∴CE，D1F，DA 三线共点． [规律方法] 共点、共线、共面问题的证明方法 (1)证明点共线问题：①公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公 共点，再根据基本公理 3 证明这些点都在交线上；②同一法：选择其中两点确定一条直线，然 后证明其余点也在该直线上. (2)证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点. (3)证明点、直线共面问题：①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平 面内；②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面 α，再证明其余元素确定平面 β，最后证 明平面 α，β 重合. (1)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S 分别是所在棱的中点，则这四个点不 共面的一个图是 ( ) A B C D D [根据异面直线的判定定理，选项 D 中 PS 与 QR 是异面直线，则四点 P，Q，R，S 不 共面．故选 D.]