人教版新课标普通高中◎数学2必修(A版) 3.3直线的交点坐标与距离公式 教案A 第1课时 教学内容:3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离 教学目标 知识与技能 1.掌握两条相交直线的交点求法 2.掌握直角坐标系两点间距离,用坐标法证明简单的几何问题. 二、过程与方法 1.学习两直线交点坐标的求法,以及判断两直线相交的方法,形成数形结合的学 习习惯 2.学习用代数方法研究几何问题的方法,归纳过定点的直线系方程 3.通过两点间距离公式的推导,能更充分体会数形结合的优越性. 、情感、态度与价值观 通过两直线交点和二元一次方程组的联系,从而认识事物之间的内在联系,能够用 辩证的观点看问题. 教学重点、难点 教学重点:判断两直线是否相交,求交点坐标;两点间距离公式的推导 教学难点:两直线相交与二元一次方程的关系;应用两点间距离公式证明几何问题 教学关键:教师通过引导学生利用二元一次方程组的解法求两直线的交点,并会利 用这种方法来判断两直线的位置关系.对于两点间距离公式,教师要向学生阐明其结构 特点及应用,并以适量习题对此进行巩固 教学突破方法:首先创设问题情境,提出问题,引起学生思考,对学生进行分组讨 论,在探究的基础上,得出结论,及时进行练习巩固 教法与学法导航 教学方法:启发引导式 在学生认识直线方程的基础上,启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的相互 关系.引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组 解的问题.由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决 学习方法:在老师的启发下,自主思考讨论、探究,得出结论.利用结论实践,升 华提高 教学准备 教师准备:多媒体课件. 学生准备:直线的一般式方程的相关知识,回顾两条直线位置关系的判定方法及二 元一次方程的解法
人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版） 1 3.3 直线的交点坐标与距离公式 教案 A 第 1 课时 教学内容：3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离 教学目标 一、知识与技能 1. 掌握两条相交直线的交点求法； 2. 掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题. 二、过程与方法 1. 学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线相交的方法，形成数形结合的学 习习惯； 2. 学习用代数方法研究几何问题的方法，归纳过定点的直线系方程； 3. 通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性. 三、情感、态度与价值观 通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内在联系，能够用 辩证的观点看问题. 教学重点、难点 教学重点：判断两直线是否相交，求交点坐标；两点间距离公式的推导. 教学难点：两直线相交与二元一次方程的关系；应用两点间距离公式证明几何问题. 教学关键：教师通过引导学生利用二元一次方程组的解法求两直线的交点，并会利 用这种方法来判断两直线的位置关系.对于两点间距离公式，教师要向学生阐明其结构 特点及应用，并以适量习题对此进行巩固. 教学突破方法：首先创设问题情境，提出问题，引起学生思考，对学生进行分组讨 论，在探究的基础上，得出结论，及时进行练习巩固. 教法与学法导航 教学方法：启发引导式． 在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的相互 关系.引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组 解的问题.由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决. 学习方法：在老师的启发下，自主思考讨论、探究，得出结论.利用结论实践，升 华提高. 教学准备 教师准备：多媒体课件. 学生准备：直线的一般式方程的相关知识，回顾两条直线位置关系的判定方法及二 元一次方程的解法
教师备课系统多媒体教案 教学过程 教学 设计 环节 教学内容 师生互动 意图 课堂设问一:由直线方 创设 情景 用大屏幕打出直角坐标系中两 程的概念,我们知道直线上激发学 的一点与二元一次方程的解|生兴 新课/线的位置关·让 直线,移动直线,让学生观察这两 导入 的关系,那如果两直线相交 引 点,这一点与这两条直/应学生 线的方程有何关系? 考 1.分析任务,分组讨论,判断 两直线的位置关系 已知两直线L1:A1x+B1y+C1= 0,L2:A2x+B2y+C2=0. 师:提出问题 通过学 如何判断这两条直线的关系? 生:思考讨论并形成结生分组 教师引导学生先从点与直线的论 讨论 位置关系入手,看表一,并填空 使学生 几何元素及关代数表示 理解掌 握判断 A (a, b) 两直线 概念 直线L L: Ax+ By+C 位置的 形成 方法 与 点A在直线上 深化|直线L1与L2的 交点A 课后探究:两直线是否相交与 课堂设问二:如果两条 其方程组成的方程组的系数有何关直线相交,怎样求交点坐 系?(1)若二元一次方程组有唯一标?交点坐标与二元一次方 解,L1与L2相交 程组有什么关系 (2)若二元一次方程组无解 学生进行分组讨论,教 则L1与L2平行 师引导学生归纳出两直线是 (3)若二元一次方程组有无数否相交与其方程所组成的方 解,则L1与L2重合 程组有何关系? 教师可以让学生自己动 手解方程组,看解题是否规训练学 应用 范,条理是否清楚,表达是否生解题 举例 简洁,然后讲解.同类练习」格式 书本110页第1,2题
教师备课系统──多媒体教案 2 教学过程 教学 环节 教学内容 师生互动 设计 意图 创设 情景 导入 新课 用大屏幕打出直角坐标系中两 直线，移动直线，让学生观察这两 直线的位置关系. 课堂设问一：由直线方 程的概念，我们知道直线上 的一点与二元一次方程的解 的关系，那如果两直线相交 于一点，这一点与这两条直 线的方程有何关系？ 激发学 生 兴 趣，引 起学生 思考. 概念 形成 与 深化 1．分析任务，分组讨论，判断 两直线的位置关系 已知两直线 L1：A1x + B1y + C1 = 0，L2：A2x + B2y + C2 = 0. 如何判断这两条直线的关系？ 教师引导学生先从点与直线的 位置关系入手，看表一，并填空. 几何元素及关 系 代数表示 点 A A （a，b） 直线 L L：Ax + By + C = 0 点 A 在直线上 直线 L1 与 L2 的 交点 A 师：提出问题. 生：思考讨论并形成结 论. 通过学 生分组 讨论， 使学生 理解掌 握判断 两直线 位置的 方法. 课后探究：两直线是否相交与 其方程组成的方程组的系数有何关 系？（1）若二元一次方程组有唯一 解，L1 与 L2 相交. （2）若二元一次方程组无解， 则 L1 与 L2 平行. （3）若二元一次方程组有无数 解，则 L1 与 L2 重合. 课堂设问二：如果两条 直线相交，怎样求交点坐 标？交点坐标与二元一次方 程组有什么关系？ 学生进行分组讨论，教 师引导学生归纳出两直线是 否相交与其方程所组成的方 程组有何关系？ 应用 举例 教师可以让学生自己动 手解方程组，看解题是否规 范，条理是否清楚，表达是否 简洁，然后讲解. 同类练习： 书本 110 页第 1，2 题. 训练学 生解题 格式
人教版新课标普通高中◎数学2必修(A版) 续上表 例1求下列两直线交点坐标: 例1【解析】解方程组 L1:3x+4y-2=0 L2:2x+y+2=0 2x+2y+2=0, 得x=-2,y=2. 所以L1与L2的交点坐标 为M(-2,2),如图 y 例2判断下列各对直线的位置 关系.如果相交,求出交点坐标 例2【解析】(1)解方程组 (1)L1:x-y=0 x-1=0, L2:3x+3y-10=0; (2)L1:3xy+4=0, 3x+3y-10=0, L2:6x-2y-1=0; 规范条 应用 (3)L1:3x+4y-5=0, 得 举例 L2:6x+8y-10=0. 楚,表 这道题可以作为练习以巩固判 断两直线位置关系 所以,h1与h2相交,交点洁 是M(55 (2)解方程组 6x-21=0, ①x②②得9=0,矛盾 方程组无解,所以两直 线无公共点,h1∥2 (3)解方程组 3x+4p 6x+8y1 ①×2得6x+8y-10=0. 因此,①和②可以化成 同一个方程,即①和②表示 同一条直线,h1与l2重合
人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版） 3 续上表 应用 举例 例 1 求下列两直线交点坐标： L1：3x + 4y –2 =0， L2：2x + y +2 =0． 例 2 判断下列各对直线的位置 关系.如果相交，求出交点坐标. （1）L1：x–y=0， L2：3x+3y–10=0； （2）L1：3x–y+4=0， L2：6x–2y–1=0； （3）L1：3x+4y–5=0， L2：6x+8y–10=0. 这道题可以作为练习以巩固判 断两直线位置关系. 例 1 【解析】解方程组 得 x = –2，y =2. 所以 L1 与 L2 的交点坐标 为 M（–2，2），如图： 例 2【解析】（1）解方程组 得 5 3 5 3 x y = = ， ． 所以，l1 与 l2 相交，交点 是 M （ 5 5 , 3 3 ）. （2）解方程组 ①×②–②得 9 = 0，矛盾， 方程组无解，所以两直 线无公共点，l1∥l2. （3）解方程组 ①×2 得 6x + 8y –10 = 0. 因此，①和②可以化成 同一个方程，即 ①和②表示 同一条直线，l1 与 l2 重合. 规范条 理 清 楚，表 达 简 洁. 3x+4y–5=0， 6x+8y–10=0， ① ② x–y=0， 3x+3y–10=0， 3x−y+=0， 6x–2y–1=0， 3x+4y−2=0， 2x+2y+2=0， ① ② x y 8 4 2 – 2 – 4 –5 5
教师备课系统多媒体教案 续上表 课堂设问一当λ变化 时,方程3x+4y2+λ(2x+ +2)=0表示何图形,图形有 何特点?求出图形的交点坐 标 (1)可以用信息技术,培养学 当取不同值时,通过各种图生由特 方法 形,经过观察,让学生从直观|殊到 探究 上得出结论,同时发现这些直般的思 线的共同特点是经过同一点.维方法 (2)找出或猜想这个点 的坐标,代入方程,得出结论. (3)结论,方程表示经 过这两直线L1与L2的交点的 直线的集合 例3已知a为实数,两直线l 例3【解析】解方程组若 ax+y+1=0,h2:x+y-a=0相交a2+1 >0,则a>1.当a> 一点 求证:交点不可能在第一象限及 a+1 <0,此时交点在 轴上 【分析】先通过联立方程组将交第二象限内 又因为a为任意实数时 引导学 应用|点坐标解出,再判断交点横纵坐标的 举例 范围 都有a2+121>0,故生将方 法拓展 与延伸 因为a1(否则两直线平 行,无交点),所以,交点不 可能在x轴上,得交 过平面上任意两点P(x2y1), 回忆数轴上两点间的距 概念的B(x23)分别向y轴和x轴作垂线,离公式,同学们能否用以前所 书形成与垂足分别N(0,x),M(x20),同学的知识来解决平面直角坐 深化直线PN与PM2相交于点Q 标系中任意两点间的距离问 题?
教师备课系统──多媒体教案 4 续上表 方法 探究 课堂设问一. 当 λ 变化 时，方程 3x + 4y–2+λ（2x + y +2） =0 表示何图形，图形有 何特点？求出图形的交点坐 标， （1）可以用信息技术， 当 取不同值时，通过各种图 形，经过观察，让学生从直观 上得出结论，同时发现这些直 线的共同特点是经过同一点. （2）找出或猜想这个点 的坐标，代入方程，得出结论. （3）结论，方程表示经 过这两直线 L1 与 L2 的交点的 直线的集合. 培养学 生由特 殊到一 般的思 维方法. 应用 举例 例 3 已知 a 为实数，两直线 l1： ax + y + 1= 0，l2：x + y – a = 0 相交 于一点. 求证：交点不可能在第一象限及 x 轴上. 【分析】先通过联立方程组将交 点坐标解出，再判断交点横纵坐标的 范围. 例 3【解析】解方程组若 2 1 0 1 a a + − ，则 a＞1. 当 a＞1 时， 1 1 a a + − − ，此时交点在 第二象限内. 又因为 a 为任意实数时， 都 有 a 2 +1≥1 ＞ 0 ， 故 2 1 0 1 a a + − . 因为 a≠1 （否则两直线平 行，无交点），所以，交点不 可能在 x 轴 上 ， 得 交 点 （ 2 1 1 , 1 1 a a a a + + − − − ）. 引导学 生将方 法拓展 与延伸. 概念的 形成与 深化 过平面上任意两点 1 1 1 P x y ( , )， 2 2 2 P x y ( , ) 分别向y轴和x轴作垂线， 垂足分别 N y M x 1 1 2 2 (0 0 ， )， ( ， ) ， 直线 PN P M 1 2 1 2 与 相交于点 Q. 回忆数轴上两点间的距 离公式，同学们能否用以前所 学的知识来解决平面直角坐 标系中任意两点间的距离问 题？
人教版新课标普通高中◎数学2必修(A版) 续上表 在直角△ABC中 1P=|PQ+B,为了计算其 长度,过点P向x轴作垂线,垂足 在教学 为M(x.0)过点P2向y轴作垂 以提出 线,垂足为N2(O,y2),于是有 问题让 学生自 IROP=M, M, 2=, -x, 2 己思 考,教 师提 RO=N N,=22-y 根 所以,|PP=|Pg+P 据勾股 定理 不难得 2-xF+|y2-y 由此得到两点间的距离公式 =y(x2-x2)+(y2-y) 例4:已知点A(-1,2),B(2,【解析】设所求点 √7),在x轴上求一点,使 于是有 +0-2y-21分 巩固学 PA=|PB,并求|P4的值 生对两 由|P4=PB得 点间距 离公式 应用 x2+2x+5=x2-4x+1,解的应用 举例 得x=1 提高学 所以,所求点P(1,0),且生细 运算,规 范表达 通过例题,使学生对两点间|的能力 距离公式理解和应用
人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版） 5 续上表 在直角ABC 中， 2 2 2 PP PQ QP 1 2 1 2 = + ，为了计算其 长度，过点 P1 向 x 轴作垂线，垂足 为 M x 1 1 ( ， 0) 过点 P2 向 y 轴作垂 线，垂足为 N y 2 2 (0， ) ，于是有 2 2 2 PQ M M x x 1 2 1 2 1 = = − ， 2 2 2 2 2 1 2 1 PQ N N y y = = − . 所以， 2 2 2 PP PQ QP 1 2 1 2 = + = 2 2 2 1 2 1 x x y y − + − . 由此得到两点间的距离公式 ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 2 1 PP x x y y = − + − . 在教学 过 程 中，可 以提出 问题让 学生自 己 思 考，教 师 提 示，根 据勾股 定理， 不难得 到. 应用 举例 例 4 ：已知点 A（-1，2），B（2， 7 ），在 x 轴上求一点，使 PA PB = ，并求 PA 的值. 【解析】设所求点 P（x，0）， 于是有 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x x + + − = − + − 1 0 2 2 0 7 由 PA PB = 得 2 2 x x x x + + = − + 2 5 4 11， 解 得 x=1. 所以，所求点 P（1，0），且 ( ) ( ) 2 2 PA = + + − = 1 1 0 2 2 2. 通过例题，使学生对两点间 距离公式理解和应用. 巩固学 生对两 点间距 离公式 的应用. 提高学 生细心 运算，规 范表达 的能力