第五章向量与矩阵的范数 定义:设是实数域R(或复数域C)上 的n维线性空间,对于V中的任意一个向量 c按照某一确定法则对应着一个实数,这个 实数称为的范数,记为c,并且要求 范数满足下列运算条件: (1)非负性:当a≠0,|d>0只 有且仅有当a=0,|l=0 (2)齐次性:ka=kl,k为任 意数
第五章 向量与矩阵的范数 定义： 设 是实数域 （或复数域 ）上 的 维线性空间，对于 中的任意一个向量 按照某一确定法则对应着一个实数，这个 实数称为 的范数，记为 ，并且要求 范数满足下列运算条件： （1）非负性：当 只 有且仅有当 （2） 齐次性： 为任 意数。 V R n V C 0, 0 = = 0, 0 k k k =
(3)三角不等式:对于V中的任意两个 向量,B都有 la+B<a+B 例:在n维线性空间C"中,对于任意的 向量a=(a1,a2,…,an)∈C"定义 )|l=∑ (2)‖ (3)all=max, 1≤i<n
（3） 三角不等式：对于 中的任意两个 向量 都有 例 ： 在 维线性空间 中，对于任意的 向量 定义 V , + + n n C 1 2 ( , , , ) n = a a a C n 1 1 1 2 2 2 1 1 (1) (2) ( ) (3) max n i i n i i i i n a a a = = = = =
证明 2 都是Cn上的范数,并且还有 (1) .≤nlo 2)‖ 2 2 B3)walsall sna 2 引理( Holder不等式):设 C 152 ],B=[h,…,b]∈C
证明： 都是 上的范数，并且还有 引理（Hoider不等式）：设 n C 1 2 , , ' 1 ' 2 1 2 ' 2 (1) (2) (3) n n n 1 2 1 2 , , , , , , , T T n = = a a a b b b C n n
则 ∑≤a)P) 其中P>1,q>1且 p,g 引理( Minkowski不等式):设 a=la 152 ],B=[b,b2…,b2]∈C C∑|a+b)"≤(∑)+C∑|)
则 其中 且 。 引理（Minkowski不等式）：设 则 1 1 1 1 1 ( ) ( ) n n n p q p q i i i i i i i a b a b = = = p q 1, 1 1 1 1 p q + = 1 2 1 2 , , , , , , , T T n = = a a a b b b C n n 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) n n n p p p p p p i i i i i i i a b a b = = = + +
其中实数p≥1。 几种常用的范数 定义:设向量a=[a1,a2,…,an],对任 意的数p≥1,称 为向量O的p-范数。 常用的P-范数: (1)1范数|l1=∑a
其中实数 。 几种常用的范数 定义：设向量 ，对任 意的数 ，称 为向量 的 范数。 常用的 范数： （1）1－范数p − 1 2 , , , T = a a an p 1 1 1 ( ) n p p p i i a = = p − 1 1 n i i a = = p 1