第五章 大数定理与中心极限定理 开课系:数学学院 主讲教师:刘亚平 Email:yapingliu66@tom.com
第五章 大数定理与中心极限定理 大数定理与中心极限定理 开课系：数学学院 主讲教师：刘亚平 Email:yapingliu66@tom.com
§51切比雪夫不等式 定理5.1.1:P(143)若随机变量X的期望E(X)和方差D(X 存在,则对任意ε>0,有 P{X-E(X)8}≤ D(X 等价形式为 PX-E(X)KE21-DC)
§5.1 切比雪夫不等式 定理5.1.1:P(143)若随机变量X的期望E(X)和方差D(X) 存在，则对任意ε>0，有 ; D(X) P{| X E(X) | } 2 ε − ≥ ε ≤ 等价形式为 . D(X) P{| X E(X) | } 1 2 ε − < ε ≥ −
例:一机床制造长度为50cm的工件,由于随机扰动,工件 长度总有一定误差。统计表明,长度的均方差为2.5mm。 若工件实际长度在4925~5075cm之间算合格,请估计该机 床制造工件的合格率。 解:设X表示工件长度,则由题意有 EX=50,D(X)=0.25*0.25 由切比雪夫不等式,有合格率为 0.2528 P{X-E(x)k075}21 0.7529
例：一机床制造长度为50cm的工件，由于随机扰动，工件 长度总有一定误差。统计表明，长度的均方差为2.5mm。 若工件实际长度在49.25~50.75cm之间算合格，请估计该机 床制造工件的合格率。 解：设X表示工件长度，则由题意有 EX=50，D(X)=0.25*0.25 由切比雪夫不等式，有合格率为 2 2 0.25 8 {| ( ) | 0.75} 1 . 0.75 9 P X EX − < ≥− =
§52大数定律 定义5.2.P(144设X1X2…,X是随机变 量序列,a是一个常数;若对任意>0,有 limP(X -)=1, n00 则X,X2,…,X依概率收敛于a,记为x>a 定理51(切比雪夫大数定律)设互相独立的随机变量 序列Ⅹ,X2,,Xn数学期望与方差都存在,且存在 常数c,使每个D(Xi)≤c(=1,2,,,则必有 im(∑x-∑E(X)k8)=1
§5.2 大数定律 定义5.2.1P(144): 设 X1, X2, …, Xn是随机变 量序列，a是一个常数；若对任意ε>0, 有: lim (| | ) 1, n n PX a ε →∞ −< = 则X1, X2, …, Xn依概率收敛于a，记为 . P X a n → 定理5.2.1(切比雪夫大数定律）设互相独立的随机变量 序列X1, X2, …, Xn,…数学期望与方差都存在，且存在 常数c，使每个D(Xi) ≤c(i=1,2,…)，则必有 1 1 1 1 lim (| ( ) | ) 1 n n i i n i i p X EX n n ε →∞ = = ∑ ∑ − <=
推论:(独立同分布大数定律) 设随机变量X1,X2,…,X相互独立,且服从相同 分布,记E(X)=,D(Ⅹ)(=1,2,),记 X=∑X则有X n1k=1 即对任意的8>0,有 limPllX-ukE)=lim P(l-X-ukE)= 或imP-∑x4-u≥e}=0 n n k=1
推论：（独立同分布大数定律） 设随机变量X1, X2, …, Xn相互独立，且服从相同 分布，记E(Xi)=μ，D (Xi)=σ2(i=1,2,…), 记 1 1 n k k X X n = = ∑ 则有 . P X →µ 即对任意的ε>0，有: 1 1 lim {| | } lim {| | } 1 n k n n k PX P X n µε µε −>∞ −>∞ = −< = −< = ∑ | } 0 1 lim {| 1 ∑ − ≥ = = −>∞ µ ε n k k n X n 或 P