第六章矩阵函数 矩阵的多项式表示与矩阵的极小多项式 定义:已知A∈Cm和关于变量x的多项 式 f( x)三ax+a.1x+∴+C1x+ 0 那么我们称 f(a=aA"+aA"++aA+al 为A的矩阵多项式
第六章 矩阵函数 矩阵的多项式表示与矩阵的极小多项式 定义： 已知 和关于变量 的多项 式 那么我们称 为 A 的矩阵多项式。 x 1 1 1 0 ( ) n n n n f x a x a x a x a − = + + + + − 1 1 1 0 ( ) n n n n f A a A a A a A a I − = + + + + − n n A C
设A为一个n阶矩阵,J为其 Jordan标准 形,则 A=PP=Pdiag(,5,,,,,JP = Diag(J1(λ),2(42),…,J(4)P 于是有
设 为一个 阶矩阵， 为其Jordan标准 形，则 于是有 A n J 1 1 1 2 1 1 1 2 2 diag( , , , ) diag( ( ), ( ), , ( )) r r r A PJP P J J J P P J J J P − − − = = =
f(a)=anA+am-A"+.+a,A+aol a, (Pp-1+an-(PJP-l)m-1 +a1(PP)+a01 P(a Jn+an1J-1+…+a1+cnDP =P/()P Pdiag(f(o, f(,),,(D)P 我们称上面的表达式为矩阵多项式f(A)的 Jordan表示。其中
1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ), ( ), , ( )) n n n n n n n n n n n n r f A a A a A a A a I a PJP a PJP a PJP a I P a J a J a J a I P Pf J P Pdiag f J f J f J P − − − − − − − − − − − − = + + + + = + + + + = + + + + = = 我们称上面的表达式为矩阵多项式 的 Jordan表示。其中 f A( )
J(4)= (i=1,2,…,r) k 2k-1 47-1k-1+1 k k k-1 k d.×d
1 ( ) ( 1, 2, , ) 1 i i i i i i i d d J i r = = 1 1 1 1 1 1 ( ) i i i i k k d k d i k i k i k k i i i k k i k i d d c c J c − − − + − =
f()f(2)… 八4(4 (a1-1) f(J)= f(1) f(4,) f(1 例已知多项式 f(x)=x4-2x3+x-1 与矩阵
' ( 1) ' 1 ( ) ( ) ( ) ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( ) i i i d i i i i i i i i d d f f f d f J f f f − − = 例 已知多项式 与矩阵 4 3 f x x x x ( ) 2 1 = − + −