第七节 第三章 两个随机变量的函数的分布 z=X+Y的分布 二、Mmx(X,及N=min(X,的分布 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束
一、 Z = X + Y 的分布 第七节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、 M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布 两个随机变量的函数的分布 第三章
Z=XY的分布 1、离散型 例1:设X,Y是相互独立的随机变量,其分布律分别为 P{X=R}=p(k),k=0,1,2,…,P{Y=r}=q(r)r=0,2, 证明随机变量Z=X+Y的分布律为 P∠z=l}=∑p(k(-k),=0 证:因为X和F相互独立,故 PX=k,y=r=p(k)q(r) 所以P1z=}=P{X+Y=}=∑P(X=k,Y=1-k} ∑P{X=k,P{Y=i-k}=∑m(k)q(-k),=0 k=0 学 HIGH EDUCATION PRESS
1、离散型 一、Z=X+Y的分布 证明随机变量Z=X+Y的分布律为 P{Y r} q(r),r 0,1,2, i k P Z i p k q i k i 0 { } ( ) ( ), 0,1,2, 证: 因为 X 和 Y 相互独立,故 P{X k ,Y r} p(k)q(r) 所以 P{Z i} P{X Y i} i k P X k Y i k 0 { , } i k P X k P Y i k 0 { }, { } i k p k q i k i 0 ( ) ( ) , 0,1, P{X k} p(k), k 0,1,2,, 费马 目录 上页 下页 返回 结束 例1: 设X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为
例2:设X,Y是相互独立的随机变量,X~(41),y~x(2) 证明:Z=X+Y~x(A1+2) 证:P(z=}=∑k)m(-k)=∑ e k=0 k (i-k) (1+22)2k k e k=0 k(i-k) k k=0 1+元2) (孔1+2)i=0,1, 即X+y~丌(+22) 学 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束
例2: 设X，Y是相互独立的随机变量， ~ ( ), ~ ( ) X 1 Y 2 证明: ~ ( ) Z X Y 1 2 证: i k P Z i p k q i k 0 { } ( ) ( ) ! ( )! 1 2 2 0 1 i k e k e i i k k k k i k i k e k i k i i 1 2 ( ) 0 1 2 !( )! ! ! 1 k i k i k k C i i e 1 2 0 ( ) ! 1 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( ) 0,1, ! 1 2 ( ) 1 2 i i e i ~ ( ) 即 X Y 1 2
2、连续型:设(X,Y)的概率密度为f(x,y),Z=X+Y的分布 函数为F2(z)=P{Z≤z} f(x, y)dxdy x+y≤z 这里积分区域G:x+ysz是直线x+y=z及其左下方的半平面 F()C(x圆定和x对积分(y 作变量代换,令x=u-y,得 f(x,y)dx=[f(u-y, ydu 是F()=10-y.yC(m=yom f2(=z) ∫。 f(z-y, y)dy 由X,的对称性又有f()=f(x,=x) 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下臾返回结束
2、连续型 ：设(X ,Y)的概率密度为 f(x,y)， Z=X+Y的分布 函数为 x y z Z F (z) P{Z z} f (x, y)dxdy 这里积分区域G : x + y ≤z 是直线 x + y = z 及其左下方的半平面 F z f x y dx dy z y Z ( ) ( , ) 固定 z 和 y 对积分 z y f (x , y)dx f x y dx f u y y du z y z ( , ) ( , ) 于是 z FZ (z) f (u y , y)dudy 作变量代换，令 x = u – y , 得 z f (u y , y)dy du . f z f z y y dy Z ( ) ( , ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 X Y f z f x z x dx Z 由 , 的对称性,又有 ( ) ( , )
特别,当X与Y相互独立时,设(X,Y)关于X, 的边缘概率密度分别为fx(x),f(y),则有 fz(z)=f(z-n)f(y)dy f2(2)=(x)(=x) 这两个公式称为卷积公式 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束
特别，当X与Y相互独立时， 设( X , Y )关于X , Y fZ (z) f z y f y dy X Y ( ) ( ) 这两个公式称为卷积公式 . fZ (z) f x f z x dx X Y ( ) ( ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的边缘概率密度分别为 fX (x) , fY ( y ) ,则有