§5总体参数的估计
§5 总体参数的估计
从本章起我们开始介绍统计推断,它是数理统计的一个重要组 成部分。所谓统计推断就是利用样本(子样)提供的信息对总体的 某些统计特性进行估计和判断,从而认识总体。统计推断分为两大 类,一类是参数估计,另一类是假设检验。本章介绍参数估计。 设总体X的分布函数的类型已知,但是其中有一个或多个参数未 知。设X1,X2,Xn为总体X的容量为n的样本。参数估计就是讨论如 何由样本X1,X2,Xn提供的信息对未知参数作出估计,以及讨论如 何建立一些准则对作出的估计进行评价。一般是建立适当的统计量 (X12xX2,…,Xn),当样本观察值为x1,x2“,x时,如果以 (x12x2,…,xn)作为总体分布中未知参数的估计值,这样的 估计方法叫做点估计。并称(X12X2…,Xn)为0的估计 量。如果总体分布函数中有个未知参数,则要建立个统计量作为t 个未知参数的估计量 点估计的方法很多,本章介绍最常见的矩法估计与极大似然估 计
从本章起,我们开始介绍统计推断,它是数理统计的一个重要组 成部分。所谓统计推断就是利用样本（子样）提供的信息对总体的 某些统计特性进行估计和判断，从而认识总体。统计推断分为两大 类，一类是参数估计，另一类是假设检验。本章介绍参数估计。 设总体X的分布函数的类型已知，但是其中有一个或多个参数未 知。设X1 ,X2 ,┄,Xn为总体X的容量为n的样本。参数估计就是讨论如 何由样本X1 ,X2 ,┄,Xn提供的信息对未知参数作出估计，以及讨论如 何建立一些准则对作出的估计进行评价。一般是建立适当的统计量 ，当样本观察值为x1 ,x2 ,┄,xn时，如果以 作为总体分布中未知参数θ 的估计值，这样的 估计方法叫做点估计。并称 为θ 的估计 量。如果总体分布函数中有t个未知参数，则要建立t个统计量作为t 个未知参数的估计量。 点估计的方法很多，本章介绍最常见的矩法估计与极大似然估 计。( , , , ) ˆ X1 X2 Xn ( , , , ) ˆ 1 2 n x x x ( , , , ) ˆ X1 X2 Xn
§5.1点估计 本节要求理解参数的点估计、估计量与估计值的概 念;掌握矩估计法(一阶、二阶)和极大似然估计法; 了解估计量的无偏性,有效性(最小方差性)和一致性 (相合性)的概念,并会验证估计量的无偏性。 设总体X的分布函数的形式为已知,但它的 个或多个参数为未知,借助于总体X的一个样 本来估计总体未知参数的值的问题称为参数的点 估计问题。 例1电话总机在某一段时间内接到的呼唤次 数服从泊松分布,参数λ为未知。现观察一分钟内 接到的呼唤次数,如果观察40次,获得数据如下 呼唤叫次数/分k01234567 观察次数 5101283200 求泊松分布中未知参数入的估计
§5.1 点估计 本节要求理解参数的点估计、估计量与估计值的概 念；掌握矩估计法（一阶、二阶）和极大似然估计法； 了解估计量的无偏性，有效性（最小方差性）和一致性 （相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性。 设总体X的分布函数的形式为已知，但它的 一个或多个参数为未知，借助于总体X的一个样 本来估计总体未知参数的值的问题称为参数的点 估计问题。 例1 电话总机在某一段时间内接到的呼唤次 数服从泊松分布,参数λ为未知。现观察一分钟内 接到的呼唤次数,如果观察40次,获得数据如下: 呼唤叫次数/分 k 0 1 2 3 4 5 6 7 观察次数 nk 5 10 12 8 3 2 0 0 求泊松分布中未知参数λ 的估计
点估计问题的一般提法如下:设总体X的分布 函数F(x,)的形式为已知,0是待估参数 X1,X2,Xn是X的一个样本,x1,x2,xn是相应 的一个样本值。点估计问题就是要构造一个适当 的统计量(X1X2…Xn)用它的观察值(x1,x2,…x) 作为未知参数的近似值。我们称O(X1,X2…Xn) 为θ的估计量,称θ(x1,x2…,xn)0的估计值。 由于估计量是样本的函数,因此对于不同的样本 值,0的估计值一般是不相同的。 如例1,我们用样本均值来估计总体均值。即有估计 量=A=n∑X,n=40估计值==n2x=2 下面介绍两种常用的构造估计量的方法:矩估计法和 最大似然估计法
点估计问题的一般提法如下:设总体X的分布 函数F(x,θ) 的形式为已知, θ 是待估参数。 X1 ,X2 ,┅,Xn 是X的一个样本，x1 ,x2 ,┅,xn 是相应 的一个样本值。点估计问题就是要构造一个适当 的统计量 ，用它的观察值 作为未知参数θ的近似值。我们称 为θ的估计量，称 为θ的估计值。 由于估计量是样本的函数，因此对于不同的样本 值， θ的估计值一般是不相同的。 如例1，我们用样本均值来估计总体均值。即有估计 量 估计值 下面介绍两种常用的构造估计量的方法：矩估计法和 最大似然 估计法。 ( , , , ) ˆ X1 X2 Xn ( , , , ) ˆ X1 X2 Xn ( , , , ) ˆ 1 2 n x x x ( , , , ) ˆ 1 2 n x x x , 40 1 ˆ ˆ 1 = = = = X n n n k k 2 1 ˆ ˆ 1 = = = = n k k x n
§5.1.1矩估计法 设X1X2,Xn是总体X的一个样本,假设总体X的 前k阶矩μ=E(X)存在。一般来说,它们是未知参数 01,02,0的函数。 X1+X+…X 基于样本矩A 依概率收敛于相 应的总体矩μ(i=1,2,,k),样本矩的连续函数依概率收 敛于相应的总体矩的连续函数,我们就用样本矩作为相 应的总体矩的估计量,而以样本矩的连续函数作为相应 的总体矩的连续函数的估计量。这种估计方法称为矩估 计法。由矩估计法得到的未知参数的估计量称为矩估计 量,矩估计量的观察值称为矩估计值。 例2设总体X服从泊松分布π(λ),λ是未知参数, X1,X2,Xn是总体X的一个样本,试求未知参数入的矩估 计量
§5.1.1 矩估计法 设X1 ,X2 ,┅,Xn 是总体X的一个样本，假设总体X的 前k阶矩μi=E(Xi ) 存在。一般来说，它们是未知参数 θ1 ,θ2 ,…,θk 的函数。 基于样本矩 依概率收敛于相 应的总体矩μi (i=1,2,…,k) ，样本矩的连续函数依概率收 敛于相应的总体矩的连续函数，我们就用样本矩作为相 应的总体矩的估计量，而以样本矩的连续函数作为相应 的总体矩的连续函数的估计量。这种估计方法称为矩估 计法。由矩估计法得到的未知参数的估计量称为矩估计 量，矩估计量的观察值称为矩估计值。 例2 设总体X服从泊松分布π(λ), λ是未知参数, X1 ,X2 ,┅,Xn 是总体X的一个样本,试求未知参数λ的矩估 计量。 n X X X A i n i i i + + = 1 2