第三章 多维随机变量 及其分布
第三章 多维随机变量 及其分布
第三章 第一节 二维随机变量 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束
第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二维随机变量 第三章
前面我们只限于讨论一个随机变量的情况,但在实际问题中, 对于某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量 来描述。例如,为了研究某一地区学龄前儿童的发育情况,对 这一地区的儿童进行抽样。对于每个儿童都能观察到他的身高H 和体重W。在这里,样本空间S={e}={某地区的全部学龄前儿童} 而H(e)和w(e)是定义在S上的两个随机变量。又如炮弹弹着点的 位置需要由它的横坐标和纵坐标来确定,而横坐标和纵坐标 是定义在同一个样本空间的两个随机变量。 一般地,设E是一个随机试验, 它的样本空间是S={e},设X=X(e) 和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量, 由它们构成的一个随机向量(X,Y), ●e 叫做二维随机向量(变量)。 HIGH EDUCATION PRESS
对于某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量 前面我们只限于讨论一个随机变量的情况，但在实际问题中， 和体重W。在这里，样本空间S={e}={某地区的全部学龄前儿童}， 一般地，设E是一个随机试验， 费马 目录 上页 下页 返回 结束 来描述。例如，为了研究某一地区学龄前儿童的发育情况， 对 这一地区的儿童进行抽样。对于每个儿童都能观察到他的身高H 而H(e)和W(e)是定义在S上的两个随机变量。又如炮弹弹着点的 位置需要由它的横坐标和纵坐标来确定，而横坐标和纵坐标 是定义在同一个样本空间的两个随机变量。 0 X (e) Y(e) X Y e 它的样本空间是S={e}，设X=X(e) 和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量， 由它们构成的一个随机向量(X,Y)， 叫做二维随机向量（变量）
二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X及Y有关,而且还依赖于 这两个随机变量的相互关系。因此,逐个地来研究X或Y的性质 是不够的,还需将(X,Y)作为一个整体来进行研究 定义:设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y, 二元函数:F(x,y)=P{(X≤x)n(YSy}=PX≤x,Ysy} 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X和Y 的联合分布函数 如果将二维随机变量(X,Y)看 是平菌上随机点的坐标,那么分 布函数F(xy)在(x2y)处的函数值 就是随机点X,Y)落在下图所示 以点(x,y为顶点而位于该点单下方的无穷矩形内的概率。 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下臾返回结束
二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X及Y有关，而且还依赖于 这两个随机变量的相互关系。因此，逐个地来研究X或Y的性质 是不够的，还需将(X,Y)作为一个整体来进行研究。 定义: 设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y， 二元函数： F(x,y)=P{(X≤x) ∩(Y≤y)}=P{X≤x,Y≤y} 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y 如果将二维随机变量(X,Y)看 是平成面上随机点的坐标，那么分 布函数F(x,y)在(x,y)处的函数值 就是随机点(X,Y)落在下图所示 以点(x,y)为顶点而位于该点左的下，方的无穷矩形内的概率。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的联合分布函数。 (x, y) x y o
依照上述解释,借助上图容易算出随机点(X,Y)落在矩形 域的概率为 P{x1<X<x2,y<Y<y2}=F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1y)-F(x12y 分布函数F(x,y)具有以下的基本性质: (1)F(x2y)是变量x和y的不减函数,即 对于任意固定的y,当x2>x时,F(x2,y)>F(x1,y); 对于任意固定的x,当y2>y1时,F(x,y2)>F(x,y1)。 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束
依照上述解释，借助上图容易算出随机点(X,Y)落在矩形 域的概率为 { , } ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y 分布函数F(x,y)具有以下的基本性质： （1） F(x,y)是变量x和y的不减函数， 即 对于任意固定的x ，当 y2 > y1 时， F( x , y2 ) > F( x , y1 ) 。 对于任意固定的y，当 x2 > x1时, F( x2 , y ) > F( x1 , y ) ； 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x y 1 x 2 x 1 y 2 y o