第二章 随机变量及其分布 离散型随机变量 随机变量连续型随机变量 混合型随机变量
第二章 离散型随机变量 连续型随机变量 混合型随机变量 随机变量及其分布 随机变量
第一节 第二章 随机变量 概率统计是从数量上来研究随机现象统计规律的,为了便于 数学上的推导和计算,必须把随机事件数量化,由于随机因素 的影响,使试验出现各种不同的结果,因而用来描述随机事件 量也随着以偶然的方式取不同的值,当把一个随机试验的不同 结果用一个变量来表示时,便得到随机变量。 引入随机变量之后,使我们有可能利用数学分析 的方法来研究随机试验。随机变量是研究随机试验 的有效工具。 HIGH EDUCATION PRESS 。③ 页下页返回结束
第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机变量 第二章 概率统计是从数量上来研究随机现象统计规律的，为了便于 数学上的推导和计算，必须把随机事件数量化，由于随机因素 的影响，使试验出现各种不同的结果，因而用来描述随机事件 量也随着以偶然的方式取不同的值，当把一个随机试验的不同 结果用一个变量来表示时，便得到随机变量。 引入随机变量之后，使我们有可能利用数学分析 的方法来研究随机试验。随机变量是研究随机试验 的有效工具
在随机试验完成时,人们常常不是关心试验结果本身,而是 对于试验结果联系着的某个数感兴趣。这个数我们称之为随机 变量。即随机变量就是“其值随机会而定”的变量,正如随机事 伟“其发生与否随机会而定”的事件。机会表现为试验结果 因此又可以说,随机变量就是试验结果的函数。 例1:在一袋中装有编号分别为1,2,3的3只球在袋中任取 球放回,再取一只球记录它们的编号 3 我们对抽出的两只球的号码之和感兴趣 456 而不关心各只球的号码试验的样本空间 345 S={e}=(i,m},i,j=,2,3这里i,分别表234 示第一、第二次取到的球的号码。以X 123i 记两球号码之和,对于每一样本点e,X都有一个值与之对应。 学 HIGH EDUCATION PRESS 目录上页下页 结束
在随机试验完成时，人们常常不是关心试验结果本身，而是 对于试验结果联系着的某个数感兴趣。这个数我们称之为随机 例1: 在一袋中装有编号分别为1,2,3的3只球.在袋中任取一 i 1 j 变量。即随机变量就是“其值随机会而定”的变量,正如随机事 件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 是“其发生与否随机会而定”的事件。机会表现为试验结果。 因此又可以说,随机变量就是试验结果的函数。 2 3 4 5 6 1 2 2 3 3 3 4 4 5 球,放回,再取一只球,记录它们的编号. 我们对抽出的两只球的号码之和感兴趣 而不关心各只球的号码.试验的样本空间 S={e}={(i , j)}, i , j = 1,2,3.这里 i , j 分别表 示第一、第二次取到的球的号码。以X 记两球号码之和，对于每一样本点e ， X 都有一个值与之对应
例2:将一枚硬币抛掷3次观察正面H、反面T出现的情况。 其样本空间S={HHH,HHT,HTH,THH,HT,THT,TTH,TT} 通常我们感兴趣的是三次投掷中,出现H的总次数,而对H,T 出现的顺序不关心。比如,我们仅关心出现H的总次数为2,而 不在乎出现的是“HHT”,”HTH还是“THH”。以X记三次投掷 串现H的总次数,那么,对于样本空间(中的每一个样本点, X都有一个值与之对应。即有 样本点 HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT X的值322 10 在例1、例2中X是一个实数,它的值依赖于样本点。因而 X是一个函数,它的定义域是样本空间S。我们有以下定义 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上贞下臾返回结束
例2 ：将一枚硬币抛掷3次观察正面H﹑反面T出现的情况。 其样本空间S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}。 通常我们感兴趣的是三次投掷中，出现H的总次数，而对H , T 在例1﹑例2中X是一个实数，它的值依赖于样本点。因而 X是一个函数，它的定义域是样本空间S。我们有以下定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 出现的顺序不关心。比如，我们仅关心出现H的总次数为2，而 不在乎出现的是“HHT” , ”HTH”还是“THH” 。以X记三次投掷 中出现H的总次数，那么，对于样本空间S={e}中的每一个样本点， X都有一个值与之对应。即有 样本点 HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT X的值 3 2 2 2 1 1 1 0
定义:设随机试验的样本空间为S={e},X=X(e)是定义在 样本空间S上的实值单值函数。称X=X(e)为随机变量。 由定义知,随机变量的取值既具有可变性,同时随机变量的 取值又依赖于试验结果,而试验结果的出现具有一定的概率, 因而随机变量的取值有一定的概率。 例如,在例2中X取值为2, 记成{X=2},对应于样本点的 集合A={HHT,HTH,THH}, 这是一个事件,当且仅当事件S A发生时有{X=2}。我们称概率P(A=P{HHT,HTH,THH 为{X=2}的概率,即P{X=2}=P(A)=3/8。 随机变量既有取值的可变性,又具有取值的随机性。 这种双重性正是随机变量与普通变量(函数的本质区别。 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上贞下臾返回结束
由定义知，随机变量的取值既具有可变性，同时随机变量的 定义 : 设随机试验的样本空间为S={e}，X=X(e)是定义在 样本空间S上的实值单值函数。称X=X(e)为随机变量。 取值又依赖于试验结果，而试验结果的出现具有一定的概率， 因而随机变量的取值有一定的概率。 例如，在例2中X取值为2， 集合A={HHT，HTH，THH}， A发生时有{X=2}。我们称概率P(A)=P{HHT,HTH,THH} 随机变量既有取值的可变性,又具有取值的随机性。 记成{X=2}，对应于样本点的 这是一个事件，当且仅当事件 为{X=2}的概率，即P{X=2}=P(A)=3/8。 这种双重性正是随机变量与普通变量(函数)的本质区别。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 e 2 e 3 e 4 e 1 x 2 x 3 x 4 x X S