第六章自由电子论和电子的输运性质 思考题 1.如何理解电子分布函数f(E)的物理意义是:能量为E的一个量子态被电子所占据的平均 几率? [解答] 金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布,温度为T时,分布在能级E上的电子数目 e(E-EF)/kg/+ g为简并度,即能级E包含的量子态数目.显然,电子分布函数 f(E)=(E-EF)/kgT +1 是温度7时,能级E的一个量子态上平均分布的电子数.因为一个量子态最多由一个电子所 占据,所以f(E)的物理意义又可表述为:能量为E的一个量子态被电子所占据的平均几 2.绝对零度时,价电子与晶格是否交换能量? [解答] 晶格的振动形成格波,价电子与晶格交换能量,实际是价电子与格波交换能量.格波的 能量子称为声子,价电子与格波交换能量可视为价电子与声子交换能量.频率为O的格波 的声子数 从上式可以看出,绝对零度时,任何频率的格波的声子全都消失.因此,绝对零度时,价电 子与晶格不再交换能量. 3.你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的 [解答] 自由电子论只考虑电子的动能.在绝对零度时,金属中的自由(价)电子,分布在费密 能级及其以下的能级上,即分布在一个费密球内.在常温下,费密球内部离费密面远的状 态全被电子占据,这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状 态上,能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变 也就是说,常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能一定十分相近 4.晶体膨胀时,费密能级如何变化? [解答] 费密能级 其中n是单位体积内的价电子数目.晶体膨胀时,体积变大,电子数目不变,n变小,费 密能级降低 5.为什么温度升高,费密能反而降低 解答]
第六章 自由电子论和电子的输运性质 思 考 题 1.如何理解电子分布函数 f (E) 的物理意义是: 能量为 E 的一个量子态被电子所占据的平均 几率? [解答] 金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布, 温度为 T 时, 分布在能级 E 上的电子数目 1 ( )/ + = E−EF kBT e g n , g 为简并度, 即能级 E 包含的量子态数目. 显然, 电子分布函数 1 1 ( ) ( ) / + = E−EF kBT e f E 是温度T时, 能级E的一个量子态上平均分布的电子数. 因为一个量子态最多由一个电子所 占据, 所以 f (E) 的物理意义又可表述为: 能量为 E 的一个量子态被电子所占据的平均几 率. 2.绝对零度时, 价电子与晶格是否交换能量? [解答] 晶格的振动形成格波，价电子与晶格交换能量，实际是价电子与格波交换能量. 格波的 能量子称为声子, 价电子与格波交换能量可视为价电子与声子交换能量. 频率为 i 的格波 的声子数 1 1 / − =i i kBT e n . 从上式可以看出, 绝对零度时, 任何频率的格波的声子全都消失. 因此, 绝对零度时, 价电 子与晶格不再交换能量. 3.你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的? [解答] 自由电子论只考虑电子的动能. 在绝对零度时, 金属中的自由(价)电子, 分布在费密 能级及其以下的能级上, 即分布在一个费密球内. 在常温下, 费密球内部离费密面远的状 态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状 态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的少数电子, 而绝大多数电子的能态不会改变. 也就是说, 常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能一定十分相近. 4.晶体膨胀时, 费密能级如何变化? [解答] 费密能级 2 2 / 3 2 0 (3 ) 2 n m EF = , 其中 n 是单位体积内的价电子数目. 晶体膨胀时, 体积变大, 电子数目不变, n 变小, 费 密能级降低. 5.为什么温度升高, 费密能反而降低? [解答]
当T≠0时,有一半量子态被电子所占据的能级即是费密能级.温度升高,费密面附 近的电子从格波获取的能量就越大,跃迁到费密面以外的电子就越多,原来有一半量子态 被电子所占据的能级上的电子就少于一半,有一半量子态被电子所占据的能级必定降低 也就是说,温度升高,费密能反而降低. 6.为什么价电子的浓度越大,价电子的平均动能就越大? [解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近,我们讨论绝对零度时电子的平均动 能与电子浓度的关系 价电子的浓度越大价电子的平均动能就越大,这是金属中的价电子遵从费密-狄拉克统 计分布的必然结果.在绝对零度时,电子不可能都处于最低能级上,而是在费密球中均匀 分布.由(6.4)式 kP=(3n2)3 可知,价电子的浓度越大费密球的半径就越大,高能量的电子就越多,价电子的平均动能就 越大,这一点从(6.5)和(6.3)式看得更清楚,电子的平均动能E正比与费密能EF,而费 密能又正比与电子浓度n213 17L 2 E=3E0 10m 所以价电子的浓度越大,价电子的平均动能就越大 7.对比热和电导有贡献的仅是费密面附近的电子,二者有何本质上的联系? [解答] 对比热有贡献的电子是其能态可以变化的电子.能态能够发生变化的电子仅是费密面 附近的电子.因为,在常温下,费密球内部离费密面远的状态全被电子占据,这些电子从 格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上,能够发生能态跃迁的仅 是费密面附近的电子,这些电子吸收声子后能跃迁到费密面附近或以外的空状态上 对电导有贡献的电子,即是对电流有贡献的电子,它们是能态能够发生变化的电子. 由(6.79)式 f=fo r(v·E) 可知,加电场后,电子分布发生了偏移.正是这偏移 06 er(v·E) 部分才对电流和电导有贡献.这偏移部分是能态发生变化的电子产生的.而能态 能够发生变化的电子仅是费密面附近的电子,这些电子能从外场中获取能量,跃迁到费密 面附近或以外的空状态上.而费密球内部离费密面远的状态全被电子占拒,这些电子从外 场中获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上.对电流和电导有贡献的 电子仅是费密面附近电子的结论从(6.83)式 rs n2 4 和立方结构金属的电导率 看得更清楚.以上两式的积分仅限于费密面,说明对电导有贡献的只能是费密面附近的电
当 T 0 时, 有一半量子态被电子所占据的能级即是费密能级. 温度升高, 费密面附 近的电子从格波获取的能量就越大, 跃迁到费密面以外的电子就越多, 原来有一半量子态 被电子所占据的能级上的电子就少于一半, 有一半量子态被电子所占据的能级必定降低. 也就是说, 温度升高, 费密能反而降低. 6.为什么价电子的浓度越大, 价电子的平均动能就越大? [解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动 能与电子浓度的关系. 价电子的浓度越大价电子的平均动能就越大, 这是金属中的价电子遵从费密-狄拉克统 计分布的必然结果. 在绝对零度时, 电子不可能都处于最低能级上, 而是在费密球中均匀 分布. 由(6.4)式 0 2 1/ 3 k (3n ) F = 可知, 价电子的浓度越大费密球的半径就越大,高能量的电子就越多, 价电子的平均动能就 越大. 这一点从(6.5)和(6.3)式看得更清楚. 电子的平均动能 E 正比与费密能 0 EF , 而费 密能又正比与电子浓度 2 / 3 n : ( ) 2 / 3 2 2 0 3 2 n m EF = , ( ) 2 / 3 2 2 0 3 10 3 5 3 n m E EF = = . 所以价电子的浓度越大, 价电子的平均动能就越大. 7.对比热和电导有贡献的仅是费密面附近的电子, 二者有何本质上的联系? [解答] 对比热有贡献的电子是其能态可以变化的电子. 能态能够发生变化的电子仅是费密面 附近的电子. 因为, 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从 格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅 是费密面附近的电子, 这些电子吸收声子后能跃迁到费密面附近或以外的空状态上. 对电导有贡献的电子, 即是对电流有贡献的电子, 它们是能态能够发生变化的电子. 由(6.79)式 ( ) 0 0 = + e v E f f f 可知, 加电场后,电子分布发生了偏移. 正是这偏移 ( ) 0 e v E f 部分才对电流和电导有贡献. 这偏移部分是能态发生变化的电子产生的. 而能态 能够发生变化的电子仅是费密面附近的电子, 这些电子能从外场中获取能量, 跃迁到费密 面附近或以外的空状态上. 而费密球内部离费密面远的状态全被电子占拒, 这些电子从外 场中获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上. 对电流和电导有贡献的 电子仅是费密面附近电子的结论从(6.83)式 x k S x x E S v e j F = d 4 2 2 2 和立方结构金属的电导率 E S v e k S x F = d 4 2 2 2 看得更清楚. 以上两式的积分仅限于费密面, 说明对电导有贡献的只能是费密面附近的电 子
总之,仅仅是费密面附近的电子对比热和电导有贡献,二者本质上的联系是:对比热 和电导有贡献的电子是其能态能够发生变化的电子,只有费密面附近的电子才能从外界获 取能量发生能态跃迁. 8.在常温下,两金属接触后,从一种金属跑到另一种金属的电子,其能量一定要达到或超 过费密能与脱出功之和吗? [解答] 电子的能量如果达到或超过费密能与脱出功之和,该电子将成为脱离金属的热发射电 子.在常温下,两金属接触后,从一种金属跑到另一种金属的电子,其能量通常远低于费 密能与脱出功之和.假设接触前金属1和2的价电子的费密能分别为EF和上F2,且 EF>EF2,接触平衡后电势分别为和2,.则两金属接触后,金属1中能量高于 EF1-eH1的电子将跑到金属2中.由于Ⅵ大于0,所以在常温下,两金属接触后,从金 属1跑到金属2的电子,其能量只小于等于金属1的费密能 9.两块同种金属,温度不同,接触后,温度未达到相等前,是否存在电势差?为什么? [解答] 两块同种金属,温度分别为T和2,且>12.在这种情况下,温度为f的金属高 于E的电子数目,多于温度为T2的金属高于EP的电子数目.两块金属接触后,系统的 能量要取最小值,温度为T的金属高于EP的部分电子将流向温度为T2的金属.温度未 达到相等前,这种流动一直持续.期间,温度为T的金属失去电子,带正电;温度为T2 的金属得到电子,带负电,二者出现电势差 10.如果不存在碰撞机制,在外电场下,金属中电子的分布函数如何变化? [解答] 如果不存在碰撞机制,当有外电场E后,电子波矢的时间变化率 dt h 上式说明,不论电子的波矢取何值,所有价电子在波矢空间的漂移速度都相同.如果没有 外电场E时,电子的分布是一个费密球,当有外电场E后,费密球将沿与电场相反的方向 匀速刚性漂移,电子分布函数永远达不到一个稳定分布 1.为什么价电子的浓度越高,电导率越高? [解答] 电导σ是金属通流能力的量度.通流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数(参 见思考题18).但并不是所有价电子对导电都有贡献,对导电有贡献的是费密面附近的电 子.费密球越大,对导电有贡献的电子数目就越多.费密球的大小取决于费密半径 可见电子浓度n越高,费密球越大,对导电有贡献的电子数目就越多,该金属的电导率就 越高 12.电子散射几率与声子浓度有何关系?电子的平均散射角与声子的平均动量有何关系? [解答] 设波矢为k的电子在单位时间内与声子的碰撞几率为k,R,),则OkK,O)即为电 子在单位时间内与声子的碰撞次数.如果把电子和声子分别看成单原子气体,按照经典统 计理论,单位时间内一个电子与声子的碰撞次数正比与声子的浓度 若只考虑正常散射过程,电子的平均散射角与声子的平均波矢q的关系为
总之, 仅仅是费密面附近的电子对比热和电导有贡献, 二者本质上的联系是: 对比热 和电导有贡献的电子是其能态能够发生变化的电子, 只有费密面附近的电子才能从外界获 取能量发生能态跃迁. 8.在常温下, 两金属接触后, 从一种金属跑到另一种金属的电子, 其能量一定要达到或超 过费密能与脱出功之和吗? [解答] 电子的能量如果达到或超过费密能与脱出功之和, 该电子将成为脱离金属的热发射电 子. 在常温下, 两金属接触后, 从一种金属跑到另一种金属的电子, 其能量通常远低于费 密能与脱出功之和. 假设接触前金属 1 和 2 的价电子的费密能分别为 EF1 和 EF 2 , 且 EF1 > EF 2 , 接触平衡后电势分别为 V1 和 V2 . 则两金属接触后, 金属 1 中能量高于 1 1 EF − eV 的电子将跑到金属 2 中. 由于 V1 大于 0, 所以在常温下, 两金属接触后, 从金 属 1 跑到金属 2 的电子, 其能量只小于等于金属 1 的费密能. 9.两块同种金属, 温度不同, 接触后, 温度未达到相等前, 是否存在电势差? 为什么? [解答] 两块同种金属, 温度分别为 T1 和 T2 , 且 T1 > T2 . 在这种情况下, 温度为 T1 的金属高 于 0 EF 的电子数目, 多于温度为 2 T 的金属高于 0 EF 的电子数目. 两块金属接触后, 系统的 能量要取最小值, 温度为 T1 的金属高于 0 EF 的部分电子将流向温度为 2 T 的金属. 温度未 达到相等前, 这种流动一直持续. 期间, 温度为 T1 的金属失去电子, 带正电; 温度为 2 T 的金属得到电子, 带负电, 二者出现电势差. 10.如果不存在碰撞机制, 在外电场下, 金属中电子的分布函数如何变化? [解答] 如果不存在碰撞机制, 当有外电场 后, 电子波矢的时间变化率 e t = − d dk . 上式说明, 不论电子的波矢取何值, 所有价电子在波矢空间的漂移速度都相同. 如果没有 外电场 时, 电子的分布是一个费密球, 当有外电场 后, 费密球将沿与电场相反的方向 匀速刚性漂移, 电子分布函数永远达不到一个稳定分布. 11.为什么价电子的浓度越高, 电导率越高? [解答] 电导 是金属通流能力的量度. 通流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数(参 见思考题 18). 但并不是所有价电子对导电都有贡献, 对导电有贡献的是费密面附近的电 子. 费密球越大, 对导电有贡献的电子数目就越多. 费密球的大小取决于费密半径 2 1/ 3 k (3n ) F = . 可见电子浓度 n 越高, 费密球越大, 对导电有贡献的电子数目就越多, 该金属的电导率就 越高. 12.电子散射几率与声子浓度有何关系? 电子的平均散射角与声子的平均动量有何关系? [解答] 设波矢为 k 的电子在单位时间内与声子的碰撞几率为 (k, k' ,) , 则 (k, k' ,) 即为电 子在单位时间内与声子的碰撞次数. 如果把电子和声子分别看成单原子气体, 按照经典统 计理论, 单位时间内一个电子与声子的碰撞次数正比与声子的浓度. 若只考虑正常散射过程, 电子的平均散射角 与声子的平均波矢 q 的关系为
k 由于k=k=kp,所以 2 在常温下,由于q<k,上式可化成 6=9 k krh 由上式可见,在常温下,电子的平均散射角与声子的平均动量成正比 13.低温下,固体比热与T3成正比,电阻率与T3成正比,T2之差是何原因? [解答] 按照德拜模型,由(3.133)式可知,在甚低温下,固体的比热 124Nk 而声子的浓度 odo ho/kgT 作变量变换 得到甚低温下 其中 A= 可见在甚低温下,固体的比热与声子的浓度成正比 按照§6.7纯金属电阻率的统计模型可知,纯金属的电阻率与声子的浓度和声子平均动 量的平方成正比.可见,固体比热与T3成正比,电阻率与T5成正比,T2之差是出自声子 平均动量的平方上.这一点可由(6.90)式得到证明.由(6.90)可得声子平均动量的平方 od Bk (hq) d e he/koT 其中
由于 F k = k' = k , 所以 F F k q k q 2 2 2 sin = = . 在常温下, 由于 q << k , 上式可化成 F F k q k q = = . 由上式可见, 在常温下, 电子的平均散射角与声子的平均动量 q 成正比. 13.低温下, 固体比热与 3 T 成正比, 电阻率与 5 T 成正比, 2 T 之差是何原因? [解答] 按照德拜模型, 由(3.133)式可知, 在甚低温下, 固体的比热 3 4 ( ) 5 12 D B V Nk T C = . 而声子的浓度 − = − = m B m B k T p k T c e v e D V n 0 / 2 0 / 2 3 1 d 2 3 1 1 ( )d , 作变量变换 k T x B = , 得到甚低温下 3 2 3 3 3 2 T v Ak n p B = , 其中 − = 0 2 1 d x e x x A . 可见在甚低温下, 固体的比热与声子的浓度成正比. 按照§6.7 纯金属电阻率的统计模型可知, 纯金属的电阻率与声子的浓度和声子平均动 量的平方成正比. 可见, 固体比热与 3 T 成正比, 电阻率与 5 T 成正比, 2 T 之差是出自声子 平均动量的平方上. 这一点可由(6.90)式得到证明. 由(6.90)可得声子平均动量的平方 2 8 2 6 2 0 / 2 4 0 / 3 3 2 1 d 1 d ( ) T v Bk v e v e v q s B p s k T p k T D B D B = − − = , 其中
14.霍耳电场与洛伦兹力有何关系? [解答] 霍耳电场是导电电子在洛伦兹力作用下产生的.设金属的长度方向为x轴,电场E沿x 方向,磁场B沿z轴方向,金属的宽度方向为y轴方向.在此情况下,运动的电子将受到洛 伦兹力 e(v×B) 的作用.该作用力指向负y方向,使电子在运动过程中向负y方向偏转,致使负y侧面的电 子浓度增大,正y侧面的电子浓度减小.其结果,如下图所示,使得导体的宽度方向产生 个附加电场,即霍耳电场 15.如何通过实验来测定载流子是电子还是空穴? [解答] 由(6.109)可以看出,电子导电材料的霍耳系数是一负值.通过实验测定出材料的霍耳 系数,若霍耳系数是负值,则可断定载流子是电子,若霍耳系数是正值,则可断定载流子 是空穴 16.磁场与电场,哪一种场对电子分布函数的影响大?为什么? [解答] 磁场与电场相比较,电场对电子分布函数的影响大.因为磁场对电子的作用是洛伦兹 力,洛伦兹力只改变电子运动方向,并不对电子做功.也就是说,当只有磁场情况下,非 磁性金属中价电子的分布函数不会改变.但在磁场与电场同时存在的情况下,由于产生了 附加霍耳电场,磁场对非磁性金属电子的分布函数的影响就显现出来.但与电场相比,磁 场对电子分布函数的影响要弱得多 17.为什么在开路状态下,传导电子能传输热流? 解答] 在开路状态下,温差引起的传导电流为0,说明单位时间内由温度高的区域穿过金属 横截面流向温度低的区域的电子数,等于由温度低的区域穿过该横截面流向温度高的区域 的电子数.但由温度高的区域穿过金属横截面流向温度低的区域的电子携带的热能,高 由温度低的区域穿过该横截面流向温度高的区域的电子所携带的热能.也就是说,尽管在 开路状态下,温差引起的传导电流为0,但仍有热能由温度高的区域传输到温度低的区域. 18.电导大的金属热导系数也大,其本质联系是什么? [解答] 以立方晶系金属为例,电导与电流的关系是 Jr =oEx
− − = 0 2 0 3 1 d 1 d x x e x x e x x B 。 14.霍耳电场与洛伦兹力有何关系? [解答] 霍耳电场是导电电子在洛伦兹力作用下产生的. 设金属的长度方向为 x 轴, 电场 沿 x 方向, 磁场B 沿z轴方向, 金属的宽度方向为 y轴方向. 在此情况下, 运动的电子将受到洛 伦兹力 F = −e(v B) 的作用. 该作用力指向负y方向, 使电子在运动过程中向负y方向偏转, 致使负y侧面的电 子浓度增大, 正 y 侧面的电子浓度减小. 其结果, 如下图所示, 使得导体的宽度方向产生 了一个附加电场 y , 即霍耳电场. 15.如何通过实验来测定载流子是电子还是空穴? [解答] 由(6.109)可以看出, 电子导电材料的霍耳系数是一负值. 通过实验测定出材料的霍耳 系数, 若霍耳系数是负值, 则可断定载流子是电子, 若霍耳系数是正值, 则可断定载流子 是空穴. 16.磁场与电场, 哪一种场对电子分布函数的影响大? 为什么? [解答] 磁场与电场相比较, 电场对电子分布函数的影响大. 因为磁场对电子的作用是洛伦兹 力, 洛伦兹力只改变电子运动方向, 并不对电子做功. 也就是说, 当只有磁场情况下, 非 磁性金属中价电子的分布函数不会改变. 但在磁场与电场同时存在的情况下, 由于产生了 附加霍耳电场, 磁场对非磁性金属电子的分布函数的影响就显现出来. 但与电场相比, 磁 场对电子分布函数的影响要弱得多. 17.为什么在开路状态下, 传导电子能传输热流? [解答] 在开路状态下, 温差引起的传导电流为 0, 说明单位时间内由温度高的区域穿过金属 横截面流向温度低的区域的电子数, 等于由温度低的区域穿过该横截面流向温度高的区域 的电子数. 但由温度高的区域穿过金属横截面流向温度低的区域的电子携带的热能, 高于 由温度低的区域穿过该横截面流向温度高的区域的电子所携带的热能. 也就是说, 尽管在 开路状态下, 温差引起的传导电流为 0, 但仍有热能由温度高的区域传输到温度低的区域. 18.电导大的金属热导系数也大, 其本质联系是什么? [解答] 以立方晶系金属为例，电导与电流的关系是 x x j =