第一章第一章晶体的结构 思考题 1.1.以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比. [解答] 设原子的半径为R体心立方晶胞的空间对角线为4R,晶胞的边长为4R/3,晶胞的 体积为R),一个晶胞包含两个原子,一个原子古的体积为R/√)/2,单位体积 品体中的原子数为2/R/√5):面心立方晶胞的边长为4R/√2,晶胞的体积为 R/√2 个晶胞包含四个原子,一个原子占的体积为R/√2)/4,单位体积晶体 中的原子数为4R/√2).因此,同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比为 /2 0.272. 2.2.解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面?为什么? [解答 晶体容易沿解理面劈裂,说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱,即平行解理面的 原子层的间距大.因为面间距大的晶面族的指数低,所以解理面是面指数低的晶面 3.3.基矢为a=a,a2=可,a3=5(+j+k) 的晶体为何种结构?若 a3=2+2,又为何种结构?为什么? [解答] 有已知条件,可计算出晶体的原胞的体积 xa= 2 由原胞的体积推断,晶体结构为体心立方.按照本章习题14,我们可以构造新的矢量 l=4-a 2(i+j+k) a3-a2=2(-j+k) =a1+a 2(i+j-k) ν’ν对应体心立方结构.根据14题可以验证,mvν满足选作基矢的充分条件.可见基 矢为a1=ai,a2=可,"=2+k) 的晶体为体心立方结构
第一章第一章 晶体的结构 思 考 题 1. 1. 以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比. [解答] 设原子的半径为 R, 体心立方晶胞的空间对角线为 4R, 晶胞的边长为 4R/ 3 , 晶胞的 体积为 ( ) 3 4R / 3 , 一个晶胞包含两个原子, 一个原子占的体积为 (4 / 3) / 2 3 R ,单位体积 晶体中的 原子数 为 ( ) 3 2 / 4R / 3 ; 面心立方 晶胞的 边长为 4R / 2 , 晶胞 的体积为 ( ) 3 4R / 2 , 一个晶胞包含四个原子, 一个原子占的体积为 (4 / 2) / 4 3 R , 单位体积晶体 中的原子数为 ( ) 3 4 / 4R / 2 . 因此, 同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比为 / 2 3 2 3 =0.272. 2. 2. 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ [解答] 晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的 原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面. 3. 3. 基矢为 a1 = ai , a2 = aj , a3 = (i + j + k) 2 a 的 晶 体 为 何 种 结 构 ? 若 a3 = (j + k) 2 a + i 2 3a , 又为何种结构? 为什么? [解答] 有已知条件, 可计算出晶体的原胞的体积 2 3 1 2 3 a = a a a = . 由原胞的体积推断, 晶体结构为体心立方. 按照本章习题 14, 我们可以构造新的矢量 u = a3 − a1 = 2 a (− i + j + k) , v = a3 − a2 = 2 a (i − j + k) , w = a1 + a2 − a3 = 2 a (i + j − k) . u, v,w 对应体心立方结构. 根据 14 题可以验证, u, v,w 满足选作基矢的充分条件.可见基 矢为 a1 = ai , a2 = aj , a3 = (i + j + k) 2 a 的晶体为体心立方结构. 若
则晶体的原胞的体积 该晶体仍为体心立方结构. 4.4.若R…4与RM平行,RM是否是A的整数倍?以体心立方和面心立方结构证 明之 [解答 R与RM平行,RM一定是的整数倍.对体心立方结构,由(.2)式可知 =a2+a3b=a3+a1C=a1+a2 RM=ha+kb+1c=(k+)a1+(1+1)a2+(b)a3=DR=p(na1+12a2+1a3),其中p是 (k+1)、(l+b)和(h+k)的公约(整)数 对于面心立方结构,由(1.3)式可知 a3 b=a1-a2 ta3 c=at RM=ha+kb+1c=(-bk+Da1+(h-k+Da2+(h+k-Da3=p2k4=p2(a1+2a2+3) 其中p是(-h+k+D、(k++D和(h-k+1的公约(整)数 5.晶面指数为(123)的晶面ABC是离原点O最近的晶面,OA、OB和OC分别与基矢41、a2 和43重合,除O点外,OA、OB和OC上是否有格点?若ABC面的指数为(234),情况又如何? [解答] 晶面族(123)截41、“2和3分别为1、2、3等份,ABC面是离原点O最近的晶面,OA 的长度等于a的长度,OB的长度等于“2的长度的1/2,OC的长度等于“3的长度的1/3,所 以只有A点是格点.若ABC面的指数为(234)的晶面族,则A、B和C都不是格点 6.6.验证晶面(210),(11)和(012)是否属于同一晶带.若是同一晶带,其带轴方 向的晶列指数是什么? [解答] 由习题12可知,若(210),(l)和(012)属于同一晶带,则由它们构成的行列式的 值必定为0.可以验证 说明(210),(l)和(012)属于同一晶带 晶带中任两晶面的交线的方向即是带轴的方向.由习题13可知,带轴方向晶列[l1l2l3] 的取值为 l1 =2,l3 7.带轴为[001]的晶带各晶面,其面指数有何特点? [解答]
a3 = (j + k) 2 a + i 2 3a , 则晶体的原胞的体积 2 3 1 2 3 a Ω = a a a = , 该晶体仍为体心立方结构. 4. 4. 若 1 2 3 Rl l l 与 Rhkl 平行, Rhkl 是否是 1 2 3 Rl l l 的整数倍? 以体心立方和面心立方结构证 明之. [解答] 若 1 2 3 Rl l l 与 Rhkl 平行, Rhkl 一定是 1 2 3 Rl l l 的整数倍. 对体心立方结构, 由(1.2)式可知 a = a2 + a3 , b = a3 + a1 , a1 a2 c = + , Rhkl =h a +k b +l c =(k+l) a1 + (l+h) a2 + (h+k) 3 a =p 1 2 3 Rl l l =p(l1 1 a +l2 2 a +l3 3 a ), 其中 p 是 (k+l)、(l+h)和(h+k)的公约(整)数. 对于面心立方结构, 由(1.3)式可知, a = −a1 + a2 + a3 , b = a1 − a2 + a3 , c = a1 + a2 − a3 , Rhkl =h a +k b +l c =(-h+k+l) 1 a +(h-k+l) 2 a +(h+k-l) 3 a =p’ 1 2 3 Rl l l = p’(l1 1 a +l2 2 a +l3 3 a ), 其中 p’是(-h+k+l)、(-k+h+l)和(h-k+l)的公约(整)数. 5. 晶面指数为（123）的晶面 ABC 是离原点 O 最近的晶面，OA、OB 和 OC 分别与基矢 1 a 、 2 a 和 3 a 重合，除 O 点外,OA、OB 和 OC 上是否有格点？ 若 ABC 面的指数为（234），情况又如何？ [解答] 晶面族（123）截 1 a 、 2 a 和 3 a 分别为 1、2、3 等份，ABC 面是离原点 O 最近的晶面，OA 的长度等于 1 a 的长度，OB 的长度等于 2 a 的长度的 1/2，OC 的长度等于 3 a 的长度的 1/3，所 以只有 A 点是格点. 若 ABC 面的指数为(234)的晶面族, 则 A、B 和 C 都不是格点. 6. 6. 验证晶面（ 210 ），（ 111 ）和（012）是否属于同一晶带. 若是同一晶带, 其带轴方 向的晶列指数是什么? [解答] 由习题 12 可知,若（ 210 ），（ 111 ）和（012）属于同一晶带, 则由它们构成的行列式的 值必定为 0.可以验证 0 1 2 1 1 1 2 1 0 =0, 说明( 210 ），（ 111 ）和（012）属于同一晶带. 晶带中任两晶面的交线的方向即是带轴的方向. 由习题13可知, 带轴方向晶列[l1l2l3] 的取值为 l1= 1 1 1 0 =1, l2= 1 1 0 2 =2, l3= 1 1 2 1 =1. 7．带轴为[001]的晶带各晶面，其面指数有何特点？ [解答]
带轴为[001]的晶带各晶面平行于[001]方向,即各晶面平行于晶胞坐标系的C轴或原胞 坐标系的a轴,各晶面的面指数形为(hkO)或(hhO),即第三个数字一定为0 8.8.与晶列[l1l2l3]垂直的倒格面的面指数是什么? 解答] 正格子与倒格子互为倒格子.正格子晶面(Ab)与倒格式五a=hb1+h2b2+bb垂直 则倒格晶面(12l)与正格矢R1=na1+a2+h3正交.即晶列[hll]与倒格面(12l) 垂直 9.9.在结晶学中,晶胞是按晶体的什么特性选取的? 解答] 在结晶学中,晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称 性 10.10.六角密积属何种晶系?一个晶胞包含几个原子 [解答] 六角密积属六角晶系,一个晶胞(平行六面体)包含两个原子 11.11.体心立方元素晶体,[11]方向上的结晶学周期为多大?实际周期为多大? [解答] 心立方元素晶体1向上的结品学周期为√a,但实际周期格点.因此,体 结晶学的晶胞,其基矢为ab,c,只考虑由格矢R=ha+kb+1构成的 12.12.面心立方元素晶体中最小的晶列周期为多大?该晶列在哪些晶面内? [解答] 周期最小的晶列一定在原子面密度最大的晶面内.若以密堆积模型,则原子面密度最 大的晶面就是密排面.由图1.9可知密勒指数(111[可以证明原胞坐标系中的面指数也为 (111]是一个密排面晶面族,最小的晶列周期为√2a/2.根据同族晶面族的性质,周期最 小的晶列处于{111面内 13.在晶体衍射中,为什么不能用可见光? [解答] 晶体中原子间距的数量级为10米,要使原子晶格成为光波的衍射光栅,光波的波长 应小于10-0米.但可见光的波长为7.61.0×10-7米,是晶体中原子间距的1000倍.因 此,在晶体衍射中,不能用可见光 14.高指数的晶面族与低指数的晶面族相比,对于同级衍射,哪一晶面族衍射光弱?为什 [解答] 对于同级衍射,高指数的晶面族衍射光弱,低指数的晶面族衍射光强.低指数的晶面 族面间距大,晶面上的原子密度大,这样的晶面对射线的反射(衍射)作用强.相反,高指 数的晶面族面间距小,晶面上的原子密度小,这样的晶面对射线的反射(衍射)作用弱.另 外,由布拉格反射公式 adhesin 8=na 可知,面间距dM大的晶面,对应一个小的光的掠射角O.面间距dM小的晶面,对应 个大的光的掠射角θ.θ越大,光的透射能力就越强,反射能力就越弱 15.温度升高时,衍射角如何变化?X光波长变化时,衍射角如何变化? 解答]
带轴为[001]的晶带各晶面平行于[001]方向，即各晶面平行于晶胞坐标系的 c 轴或原胞 坐标系的 3 a 轴，各晶面的面指数形为（hk0）或（h1h20）, 即第三个数字一定为 0. 8. 8. 与晶列[l1l2l3]垂直的倒格面的面指数是什么? [解答] 正格子与倒格子互为倒格子. 正格子晶面(h1h2h3)与倒格式 Kh = h1 1 b +h2 2 b +h3 3 b 垂直, 则倒格晶面(l1l2l3)与正格矢 Rl = l1 1 a + l2 2 a + l3 3 a 正交. 即晶列[l1l2l3]与倒格面(l1l2l3) 垂直. 9. 9. 在结晶学中, 晶胞是按晶体的什么特性选取的? [解答] 在结晶学中, 晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称 性. 10. 10.六角密积属何种晶系? 一个晶胞包含几个原子? [解答] 六角密积属六角晶系, 一个晶胞(平行六面体)包含两个原子. 11. 11.体心立方元素晶体, [111]方向上的结晶学周期为多大? 实际周期为多大? [解答] 结晶学的晶胞,其基矢为 a, b, c ,只考虑由格矢 R = h a +k b +l c 构成的格点. 因此, 体 心立方元素晶体[111]方向上的结晶学周期为 3a , 但实际周期为 3a /2. 12. 12.面心立方元素晶体中最小的晶列周期为多大? 该晶列在哪些晶面内? [解答] 周期最小的晶列一定在原子面密度最大的晶面内. 若以密堆积模型, 则原子面密度最 大的晶面就是密排面. 由图 1.9 可知密勒指数(111)[可以证明原胞坐标系中的面指数也为 (111)]是一个密排面晶面族, 最小的晶列周期为 2a / 2 . 根据同族晶面族的性质, 周期最 小的晶列处于{111}面内. 13. 在晶体衍射中，为什么不能用可见光？ [解答] 晶体中原子间距的数量级为 10 10 − 米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长 应小于 10 10 − 米. 但可见光的波长为 7.6⎯4.0 7 10 − 米, 是晶体中原子间距的 1000 倍. 因 此, 在晶体衍射中，不能用可见光. 14. 高指数的晶面族与低指数的晶面族相比, 对于同级衍射, 哪一晶面族衍射光弱? 为什 么? [解答] 对于同级衍射, 高指数的晶面族衍射光弱, 低指数的晶面族衍射光强. 低指数的晶面 族面间距大, 晶面上的原子密度大, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用强. 相反, 高指 数的晶面族面间距小, 晶面上的原子密度小, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用弱. 另 外, 由布拉格反射公式 2dhklsin = n 可知, 面间距 d hkl 大的晶面, 对应一个小的光的掠射角 . 面间距 d hkl 小的晶面, 对应一 个大的光的掠射角 . 越大, 光的透射能力就越强, 反射能力就越弱. 15. 温度升高时, 衍射角如何变化? X 光波长变化时, 衍射角如何变化? [解答]
温度升高时,由于热膨胀,面间距dM遂渐变大.由布拉格反射公式 2dwysine=na 可知,对应同一级衍射,当X光波长不变时,面间距dbM逐渐变大,衍射角O逐渐变小所 以温度升高,衍射角变小 当温度不变,X光波长变大时,对于同一晶面族,衍射角随之变大 16.面心立方元素晶体,密勒指数(100)和(110)面,原胞坐标系中的一级衍射,分别对应 晶胞坐标系中的几级衍射? [解答] 对于面心立方元素晶体,对应密勒指数(100)的原胞坐标系的面指数可由(1.34)式求得 为(l1),p=1.由(1.33式可知,Kh=2kM;由(1.16)和(1.18)两式可知, k;再由(1.26)和(1.27)两式可知,n=2n.即对于面心立方元素晶体,对应 密勒指数(100)晶面族的原胞坐标系中的一级衍射,对应晶胞坐标系中的二级衍射 对于面心立方元素晶体,对应密勒指数(110)的原胞坐标系的面指数可由(1.34)式求得 为00),p=2.由(1.3式可知,K,=KM;由(1.16)和(1.18)两式可知,“=da 再由(1.26)和(1.27)两式可知,n=n,即对于面心立方元素晶体,对应密勒指数(110)晶面 族的原胞坐标系中的一级衍射,对应晶胞坐标系中的一级衍射 17.由KCl的衍射强度与衍射面的关系,说明KCl的衍射条件与简立方元素晶体的衍射条件 等效 [解答] C1与K是原子序数相邻的两个元素,当C1原子俘获K原子最外层的一个电子结合成典 型的离子晶体后,C与K+的最外壳层都为满壳层,原子核外的电子数和壳层数都相 同,它们的离子散射因子都相同.因此,对X光衍射来说,可把C与K+看成同一种原子 KCⅠ与NaCl结构相同,因此,对X光衍射来说,KCl的衍射条件与简立方元素晶体等效 由KC1的衍射强度与衍射面的关系也能说明KCl的衍射条件与简立方元素晶体的衍射条 件等效.一个KCl晶胞包含4个K离子和4个C离子,它们的坐标 0 K+:(000)(22)(22)(22) 由(1.45)式可求得衍射强度l与衍射面(MkD的关系 JeK[I+cos nr(h+k)+cosn(k+)+cosnz(I+h)]+ far[cosnhT cosnkT cosnlT cosn(h+k+ DI) 由于等于Jx,所以由上式可得出衍射面指数mnm全为偶数时,衍射强度才极大 衍射面指数的平方和(nh)2+(nk)2+(mD2:4,8,12,16,20,24..以上诸式中的n由 V(nh)+ 决定.如果从X光衍射的角度把KCl看成简立方元素晶体,则其晶格常数为d=a/2,布拉 格反射公式化为 √nh)2+(nk)2+msn=L 显然n=2川,衍射面指数平方和(rh)2+(mk)+(m02:1,2,3,4,5,6..这正是简
温度升高时, 由于热膨胀, 面间距 d hkl 逐渐变大. 由布拉格反射公式 2dhklsin = n 可知, 对应同一级衍射, 当 X 光波长不变时, 面间距 d hkl 逐渐变大, 衍射角 逐渐变小.所 以温度升高, 衍射角变小. 当温度不变, X 光波长变大时, 对于同一晶面族, 衍射角 随之变大. 16. 面心立方元素晶体, 密勒指数(100)和(110)面, 原胞坐标系中的一级衍射, 分别对应 晶胞坐标系中的几级衍射? [解答] 对于面心立方元素晶体, 对应密勒指数(100)的原胞坐标系的面指数可由(1.34)式求得 为 ( 111 ), p’=1. 由 (1.33) 式可知 , Kh = 2Khkl ; 由 (1.16) 和 (1.18) 两 式 可 知 , / 2 dh1h2h3 = dhkl ; 再由(1.26)和(1.27)两式可知, n’=2n. 即对于面心立方元素晶体, 对应 密勒指数(100)晶面族的原胞坐标系中的一级衍射, 对应晶胞坐标系中的二级衍射. 对于面心立方元素晶体, 对应密勒指数(110)的原胞坐标系的面指数可由(1.34)式求得 为(001), p’=2. 由(1.33)式可知, Kh = Khkl ; 由(1.16)和(1.18)两式可知, d h h h = d hkl 1 2 3 ; 再由(1.26)和(1.27)两式可知, n’=n, 即对于面心立方元素晶体, 对应密勒指数(110)晶面 族的原胞坐标系中的一级衍射, 对应晶胞坐标系中的一级衍射. 17. 由KCl的衍射强度与衍射面的关系, 说明KCl的衍射条件与简立方元素晶体的衍射条件 等效. [解答] Cl 与K是原子序数相邻的两个元素, 当Cl原子俘获 K原子最外层的一个电子结合成典 型的离子晶体后, − Cl 与 + K 的最外壳层都为满壳层, 原子核外的电子数和壳层数都相 同, 它们的离子散射因子都相同. 因此, 对X光衍射来说, 可把 - Cl 与 + K 看成同一种原子. KCl 与 NaCl 结构相同, 因此, 对 X 光衍射来说, KCl 的衍射条件与简立方元素晶体等效. 由KCl的衍射强度与衍射面的关系也能说明KCl的衍射条件与简立方元素晶体的衍射条 件等效. 一个 KCl 晶胞包含 4 个 + K 离子和 4 个 - Cl 离子，它们的坐标 + K ：（000）（ 0 2 1 2 1 ）（ 2 1 0 2 1 ）（ 2 1 2 1 0 ） - Cl ：（ 00 2 1 ）（ 0 2 1 0 ）（ 2 1 00 ）（ 2 1 2 1 2 1 ） 由（1.45）式可求得衍射强度 Ihkl与衍射面(hkl)的关系 Ihkl={ + K f [ 1+cos n(h + k) + cosn(k + l) + cosn(l + h)] + - [cos cos cos cos ( )]} Cl f nh + nk + nl + n h + k + l 由于 + K f 等于 - Cl f , 所以由上式可得出衍射面指数 nh, nk, nl 全为偶数时, 衍射强度才极大. 衍射面指数的平方和 2 2 2 (nh) + (nk) + (nl) : 4, 8, 12, 16, 20, 24…. 以上诸式中的 n 由 = + + sin ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 nh nk nl a 决定. 如果从X光衍射的角度把KCl看成简立方元素晶体, 则其晶格常数为 a' = a / 2 , 布拉 格反射公式化为 = + + sin ( ' ) ( ' ) ( ' ) ' 2 2 2 2 n h n k n l a 显然 n = 2n', 衍射面指数平方和 2 2 2 (n'h) + (n'k) + (n'l) : 1, 2, 3, 4, 5, 6…. 这正是简
立方元素晶体的衍射规律 18.金刚石和硅、锗的几何结构因子有何异同? 解答] 取几何结构因子的(1.44)表达式 Fm=∑e2m++ 其中U,V,W是任一个晶胞内,第j个原子的位置矢量在abC轴上投影的系数.金刚石和 硅、锗具有相同的结构,尽管它们的ab,c大小不相同,但第j个原子的位置矢量在abc 轴上投影的系数相同如果认为晶胞内各个原子的散射因子/都一样,则几何结构因子化 为 在这种情况下金刚石和硅、锗的几何结构因子的求和部分相同.由于金刚石和硅、锗原子中 的电子数和分布不同,几何结构因子中的原子散射因子J不会相同 19.旋转单晶法中,将胶片卷成以转轴为轴的圆筒,胶片上的感光线是否等间距? [解答] 旋转单晶法中,将胶片卷成以转轴为轴的圆筒,衍射线构成了一个个圆锥面.如果胶 片上的感光线如图所示是等间距,则应有关系式 × R 其中R是圆筒半径,d是假设等间距的感光线间距,φ是各个圆锥面与垂直于转轴的平面的 夹角.由该关系式可得 d 即Sm与整数m不成正比,但可以证明 ah2+k2+1 即nφm与整数m成正比(参见本章习题23).也就是说,旋转单晶法中,将胶片卷成以转 轴为轴的圆筒,胶片上的感光线不是等间距的 20.如图1.33所示,哪一个衍射环感光最重?为什么?
立方元素晶体的衍射规律. 18. 金刚石和硅、锗的几何结构因子有何异同? [解答] 取几何结构因子的(1.44)表达式 2 ( ) 1 j j j i n hu kv lw t j hkl j F f e + + = = , 其中 uj,vj,wj是任一个晶胞内,第 j 个原子的位置矢量在 a, b, c 轴上投影的系数. 金刚石和 硅、锗具有相同的结构, 尽管它们的 a, b, c 大小不相同, 但第 j 个原子的位置矢量在 a, b, c 轴上投影的系数相同. 如果认为晶胞内各个原子的散射因子 j f 都一样, 则几何结构因子化 为 = + + = t j i n hu kv lw hkl j j j F f e 1 2 ( ) . 在这种情况下金刚石和硅、锗的几何结构因子的求和部分相同. 由于金刚石和硅、锗原子中 的电子数和分布不同, 几何结构因子中的原子散射因子 f 不会相同. 19. 旋转单晶法中, 将胶片卷成以转轴为轴的圆筒, 胶片上的感光线是否等间距? [解答] 旋转单晶法中, 将胶片卷成以转轴为轴的圆筒, 衍射线构成了一个个圆锥面. 如果胶 片上的感光线如图所示是等间距, 则应有关系式 tg R md m = . 其中 R 是圆筒半径, d 是假设等间距的感光线间距, 是各个圆锥面与垂直于转轴的平面的 夹角. 由该关系式可得 sin 2 2 2 1 R m d R md m + = , 即 m sin 与整数 m 不成正比. 但可以证明 2 2 2 sin a h k l mp m + + = . 即 m sin 与整数 m 成正比(参见本章习题 23). 也就是说, 旋转单晶法中, 将胶片卷成以转 轴为轴的圆筒, 胶片上的感光线不是等间距的. 20. 如图 1.33 所示, 哪一个衍射环感光最重? 为什么?