第三章第三章晶格振动与晶体热学性质 思考题 1.相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子,其最大振幅是否相同? 解答 以同种原子构成的一维双原子分子链为例,相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子 设一个原子的振幅A,另一个原子振幅B,由本教科书的(3.16)可得两原子振幅之比 B B1+B2-ma A BI+B, 其中m原子的质量.由本教科书的(320)和(321)两式可得声学波和光学波的频率分别为 (B1+B2) 4B,, (B1+B2)2 (2) n+B+1-4BB1如1 (月+B2)2 将(2)(3)两式分别代入(1)式,得声学波和光学波的振幅之比分别为 (月+y1-、4 B (月+B户S/9) BB, 2 A BI +B2e-9 -(B1+B2 4,B2 B (B1+B2)2 A B1+B2 由于 B1+B2e=V(B1+B2cosga)2+(B2singa2=V(B1+2)2-2月1B2(1-coga) (B1+B2)1 BB, (P1+Pi/sSn\2 则由(4)(5)两式可得 即对于同种原子构成的一维双原子分子链,相距为不是晶格常 数倍数的两个原子,不论是声学波还是光学波,其最大振幅是相同的 2.引入玻恩卡门条件的理由是什么? 解答 (1)(1)方便于求解原子运动方程 由本教科书的(34)式可知,除了原子链两端的两个原子外,其它任一个原子的运动都与 相邻的两个原子的运动相关.即除了原子链两端的两个原子外,其它原子的运动方程构成了 个联立方程组.但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子,其运动方程仅与一个相邻原子 的运动相关,运动方程与其它原子的运动方程迴然不同与其它原子的运动方程不同的这两 个方程,给整个联立方程组的求解带来了很大的困难
第三章第三章 晶格振动与晶体热学性质 思 考 题 1. 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 其最大振幅是否相同? [解答] 以同种原子构成的一维双原子分子链为例, 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 设一个原子的振幅 A, 另一个原子振幅 B, 由本教科书的(3.16)可得两原子振幅之比 iqa e m A B − + + − = 1 2 2 1 2 (1) 其中 m 原子的质量. 由本教科书的(3.20)和(3.21)两式可得声学波和光学波的频率分别为 + − − + = 1/ 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 sin ( ) 4 1 1 ( ) qa m A , (2) + + − + = 1/ 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 sin ( ) 4 1 1 ( ) qa m O . (3) 将(2)(3)两式分别代入(1)式, 得声学波和光学波的振幅之比分别为 iqa e qa A B − + + + − = 1 2 1/ 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 sin ( ) 4 ( ) 1 , (4) iqa e qa A B − + + − + − = 1 2 1/ 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 sin ( ) 4 ( ) 1 . (5) 由于 ( cos ) ( sin ) ( ) 2 (1- cos ) 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 e 1 2 qa qa qa iqa + = + + = + − − = 1/ 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 sin ( ) 4 ( ) 1 + + − qa ， 则由(4)(5)两式可得, =1 A B . 即对于同种原子构成的一维双原子分子链, 相距为不是晶格常 数倍数的两个原子, 不论是声学波还是光学波, 其最大振幅是相同的. 2. 引入玻恩卡门条件的理由是什么? [解答] (1) (1) 方便于求解原子运动方程. 由本教科书的(3.4)式可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与 相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了 个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子 的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两 个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难
(2)(2)与实验结果吻合得较好 对于原子的自由运动,边界上的原子与其它原子一样,无时无刻不在运动.对于有N个 原子构成的的原子链,硬性假定41=0,uN=0 的边界条件是不符合事实的.其实不论什么 边界条件都与事实不符.但为了求解近似解,必须选取一个边界条件.晶格振动谱的实验测 定是对晶格振动理论的最有力验证(参见本教科书§3.2与§3.4).玻恩卡门条件是晶格振动理 论的前提条件.实验测得的振动谱与理论相符的事实说明,玻恩卡门周期性边界条件是目前 较好的一个边界条件 3.什么叫简正振动模式?简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事? 解答 为了使问题既简化又能抓住主要矛盾,在分析讨论晶格振动时,将原子间互作用力的泰 勒级数中的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似.在简谐近似下,由N个原子构成的晶体的 晶格振动,可等效成3N个独立的谐振子的振动.每个谐振子的振动模式称为简正振动模式 它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动,它是晶格振动模式中最简单最基本的振动 方式。原子的振动,或者说格波振动通常是这3N个简正振动模式的线形迭加 简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事,这个数目等于晶体中所有原子 的自由度数之和,即等于3N 4.长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别? 解答 长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动,振动频率较高,它包含了晶 格振动频率最高的振动模式.长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移,原胞 做整体运动,振动频率较低,它包含了晶格振动频率最低的振动模式,波速是一常数.任何 晶体都存在声学支格波,但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波 5.晶体中声子数目是否守恒? 解答 频率为的格波的(平均)声子数为 n(O1)=h01k7 即每一个格波的声子数都与温度有关,因此,晶体中声子数目不守恒,它是温度的变量 按照德拜模型,晶体中的声子数目N为 N=L n(o)D(odo 作变量代换 3k7 其中O是德拜温度.高温时,e≈1+x 3k2e2 4丌2h3 即高温时,晶体中的声子数目与温度成正比 低温时,(O/7)→∞
(2) (2) 与实验结果吻合得较好. 对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有 N 个 原子构成的的原子链, 硬性假定 u1 = 0, uN = 0 的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么 边界条件都与事实不符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测 定是对晶格振动理论的最有力验证(参见本教科书§3.2 与§3.4). 玻恩卡门条件是晶格振动理 论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前 较好的一个边界条件. 3. 什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？ [解答] 为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰 勒级数中的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近似下, 由 N 个原子构成的晶体的 晶格振动, 可等效成 3N 个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式, 它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动 方式. 原子的振动, 或者说格波振动通常是这 3N 个简正振动模式的线形迭加. 简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事, 这个数目等于晶体中所有原子 的自由度数之和, 即等于 3N. 4. 长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别? [解答] 长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶 格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞 做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何 晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波. 5. 晶体中声子数目是否守恒? [解答] 频率为 i 的格波的(平均) 声子数为 1 1 ( ) / − = i i kBT e n , 即每一个格波的声子数都与温度有关, 因此, 晶体中声子数目不守恒, 它是温度的变量. 按照德拜模型, 晶体中的声子数目 N’为 d 2 3 1 1 ' ( ) ( )d 0 2 3 2 / 0 − = = D i B D p c k T V e N n D . 作变量代换 k T x B = ， − = T x p c B D e V k T x x N / 0 2 2 3 3 3 3 1 d 2 3 ' . 其中 ΘD 是德拜温度. 高温时, e x x 1+ T V k N p c B D 2 3 3 3 2 4 3 ' = , 即高温时, 晶体中的声子数目与温度成正比. 低温时, ( D /T) →
3v kBT rox2dx 3V kBT n' ∑G 即低温时,晶体中的声子数目与T3成正比 6.温度一定,一个光学波的声子数目多呢,还是声学波的声子数目多? 解答 频率为O的格波的(平均)声子数为 n(O)= to/kgT 因为光学波的频率Oo比声学波的频率O4高,(cb-1)大于(e,k-1),所以在温度 定情况下,一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目 7.对同一个振动模式,温度高时的声子数目多呢,还是温度低时的声子数目多? 解答 设温度m》,由于(e0101-1)小于(e01-1),所以温度高时的声子数目多于温 度低时的声子数目 8.高温时,频率为O的格波的声子数目与温度有何关系? 解答 温度很高时,e≈Aa-1,频率为O的格波的(平均)声子数为 kgT 可见高温时,格波的声子数目与温度近似成正比 9.从图36所示实验曲线,你能否判断哪一支格波的模式密度大?是光学纵波呢,还是声学 解答 从图3.6所示实验曲线可以看出,在波矢空间内,光学纵波振动谱线平缓,声学纵波振 动谱线较陡.单位频率区间内光学纵波对应的波矢空间大,声学纵波对应的波矢空间小、格 波数目与波矢空间成正比,所以单位频率区间内光学纵波的格波数目大.而模式密度是单位 频率区间内的格波数目,因此光学纵波的模式密度大于声学纵波的模式密度 10.喇曼散射方法中,光子会不会产生倒逆散射? 解答 晶格振动谱的测定中,光波的波长与格波的波长越接近,光波与声波的相互作用才越显 著.喇曼散射中所用的红外光,对晶格振动谱来说,该波长属于长波长范围因此,喇曼散射 是光子与长光学波声子的相互作用长光学波声子的波矢很小相应的动量nq不大.而能 产生倒逆散射的条件是光的入射波矢k与散射波矢k要大,散射角也要大k与k大要求 波长小,散射角6大要求q大(参见下图)但对喇曼散射来说这两点都不满足.即喇曼散
3 1 2 3 3 3 3 1 0 2 2 3 3 3 3 0 2 2 3 3 3 3 ) 2 ( 2 3 ( d ) 2 3 1 d 2 3 ' T n V k x e x V k T e V k T x x N n p c B n n x p c B x p c B = = − = = − = , 即低温时, 晶体中的声子数目与 T 3 成正比. 6. 温度一定，一个光学波的声子数目多呢, 还是声学波的声子数目多? [解答] 频率为 的格波的(平均) 声子数为 1 1 ( ) / − = kBT e n . 因为光学波的频率 O 比声学波的频率 A 高, ( 1 / − O kBT e )大于( 1 / − A kBT e ), 所以在温度 一定情况下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目. 7. 对同一个振动模式, 温度高时的声子数目多呢, 还是温度低时的声子数目多? [解答] 设温度 TH>TL, 由于( 1 / − kBTH e )小于( 1 / − BTL k e ), 所以温度高时的声子数目多于温 度低时的声子数目. 8. 高温时, 频率为 的格波的声子数目与温度有何关系? [解答] 温度很高时, 1 / − kBT e , 频率为 的格波的(平均) 声子数为 1 1 ( ) / − = kBT e n kBT . 可见高温时, 格波的声子数目与温度近似成正比. 9. 从图 3.6 所示实验曲线, 你能否判断哪一支格波的模式密度大? 是光学纵波呢, 还是声学 纵波? [解答] 从图 3.6 所示实验曲线可以看出, 在波矢空间内, 光学纵波振动谱线平缓, 声学纵波振 动谱线较陡. 单位频率区间内光学纵波对应的波矢空间大, 声学纵波对应的波矢空间小. 格 波数目与波矢空间成正比, 所以单位频率区间内光学纵波的格波数目大. 而模式密度是单位 频率区间内的格波数目, 因此光学纵波的模式密度大于声学纵波的模式密度. 10. 喇曼散射方法中，光子会不会产生倒逆散射？ [解答] 晶格振动谱的测定中, 光波的波长与格波的波长越接近, 光波与声波的相互作用才越显 著. 喇曼散射中所用的红外光，对晶格振动谱来说, 该波长属于长波长范围. 因此, 喇曼散射 是光子与长光学波声子的相互作用. 长光学波声子的波矢很小, 相应的动量 q 不大. 而能 产生倒逆散射的条件是光的入射波矢 k 与散射波矢 k ' 要大, 散射角 也要大. k 与 k ' 大要求 波长小, 散射角 大要求 q 大(参见下图), . 但对喇曼散射来说, 这两点都不满足. 即喇曼散
射中,光子不会产生倒逆散射 11.长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化? 解答 长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化,其根源是长光学格波使得原胞内不同的 原子(正负离子)产生了相对位移.长声学格波的特点是,原胞内所有的原子没有相对位移 因此,长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化 12.金刚石中的长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率是否相等?对KCl晶体,结论 又是什么? 解答 长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对位移,离子的相对位移产生出宏观极化电 场,电场的方向是阻滞离子的位移,使得有效恢复力系数变大,对应的格波的频率变高.长 光学格横波不引起离子的位移,不产生极化电场,格波的频率不变.金刚石不是离子晶体, 其长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率相等.而KCl晶体是离子晶体,它的长 光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率不相等,长光学纵波频率大于同波矢的长光学 格横波频率 13.何谓极化声子?何谓电磁声子? 解答 长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对位移,离子的相对位移产生出宏观极化电 场,称长光学纵波声子为极化声子 由本教科书的(3.103)式可知,长光学横波与电磁场相耦合,使得它具有电磁性质,人们 称长光学横波声子为电磁声子 14.你认为简单晶格存在强烈的红外吸收吗? 解答 实验已经证实,离子晶体能强烈吸收远红外光波.这种现象产生的根源是离子晶体中的 长光学横波能与远红外电磁场发生强烈耦合.简单晶格中不存在光学波,所以简单晶格不会 吸收远红外光波 15.对于光学横波,r→0对应什么物理图象? 解答 格波的频率O与VB成正比.r→0说明该光学横波对应的恢复力系数B→0 B=0时,恢复力消失,发生了位移的离子再也回不到原来的平衡位置,而到达另一平衡位 置,即离子晶体结构发生了改变(称为相变).在这一新的结构中,正负离子存在固定的位移 偶极矩,即产生了自发极化,产生了一个稳定的极化电场 16.爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么? 解答 按照爱因斯坦温度的定义,爱因斯坦模型的格波的频率大约为10,属于光学支频 率.但光学格波在低温时对热容的贡献非常小,低温下对热容贡献大的主要是长声学格波 也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的 根源 17.在甚低温下,不考虑光学波对热容的贡献合理吗? 解答 参考本教科书(3.119)式,可得到光学波对热容贡献的表达式
射中，光子不会产生倒逆散射. 11. 长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化? [解答] 长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化, 其根源是长光学格波使得原胞内不同的 原子(正负离子)产生了相对位移. 长声学格波的特点是, 原胞内所有的原子没有相对位移. 因此, 长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化. 12. 金刚石中的长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率是否相等? 对 KCl 晶体, 结论 又是什么? [解答] 长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对位移, 离子的相对位移产生出宏观极化电 场, 电场的方向是阻滞离子的位移, 使得有效恢复力系数变大, 对应的格波的频率变高. 长 光学格横波不引起离子的位移, 不产生极化电场, 格波的频率不变. 金刚石不是离子晶体, 其长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率相等. 而 KCl 晶体是离子晶体, 它的长 光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率不相等, 长光学纵波频率大于同波矢的长光学 格横波频率. 13. 何谓极化声子? 何谓电磁声子? [解答] 长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对位移, 离子的相对位移产生出宏观极化电 场, 称长光学纵波声子为极化声子. 由本教科书的(3.103)式可知, 长光学横波与电磁场相耦合, 使得它具有电磁性质, 人们 称长光学横波声子为电磁声子. 14. 你认为简单晶格存在强烈的红外吸收吗？ [解答] 实验已经证实, 离子晶体能强烈吸收远红外光波. 这种现象产生的根源是离子晶体中的 长光学横波能与远红外电磁场发生强烈耦合. 简单晶格中不存在光学波, 所以简单晶格不会 吸收远红外光波. 15. 对于光学横波, T → 0 对应什么物理图象? [解答] 格波的频率 与 成正比. T → 0 说明该光学横波对应的恢复力系数 → 0 . = 0 时, 恢复力消失, 发生了位移的离子再也回不到原来的平衡位置, 而到达另一平衡位 置, 即离子晶体结构发生了改变(称为相变). 在这一新的结构中, 正负离子存在固定的位移 偶极矩, 即产生了自发极化, 产生了一个稳定的极化电场. 16. 爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么? [解答] 按照爱因斯坦温度的定义, 爱因斯坦模型的格波的频率大约为 10 Hz 13 , 属于光学支频 率. 但光学格波在低温时对热容的贡献非常小, 低温下对热容贡献大的主要是长声学格波. 也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的 根源. 17. 在甚低温下, 不考虑光学波对热容的贡献合理吗? [解答] 参考本教科书（3.119）式, 可得到光学波对热容贡献的表达式
ho ehe/kg do(o )do vO ho/kgT 在甚低温下,对于光学波,eaka7>1.上式简化为 Co- (kher eton. Do o do 以上两式中Do()是光学波的模式密度,在简谐近似下,它与温度无关.在甚低温下, (e-1)→0,即光学波对热容的贡献可以忽略也就是说,在甚低温下,不考虑光学 波对热容的贡献是合理的 从声子能量来说,光学波声子的能量1o很大(大于短声学波声子的能量),它对应振幅 很大的格波的振动,这种振动只有温度很高时才能得到激发.因此,在甚低温下,晶体中不 存在光学波 18.在甚低温下,德拜模型为什么与实验相符? 解答 在甚低温下,不仅光学波得不到激发,而且声子能量较大的短声学格波也未被激发,得 到激发的只是声子能量较小的长声学格波.长声学格波即弹性波。德拜模型只考虑弹性波对 热容的贡献因此,在甚低温下,德拜模型与事实相符,自然与实验相符 在绝对零度时还有格波存在吗?若存在,格波间还有能量交换吗? 解答 频率为O的格波的振动能为 n 其中nO是由个声子携带的热振动能(M12)是零点振动能,声子数 绝对零度时,=0.频率为O的格波的振动能只剩下零点振动能 格波间交换能量是靠声子的碰撞实现的.绝对零度时,声子消失,格波间不再交换能量. 20.温度很低时,声子的自由程很大,当T→0时,→∞,问7→0时,对于无限长的晶 体,是否成为热超导材料? 解答 对于电绝缘体,热传导的载流子是声子.当T→0时,声子数n→0.因此,7→0时 不论晶体是长还是短,都自动成为热绝缘材料 21.石英晶体的热膨胀系数很小,问它的格林爱森常数有何特点? 解答 由本教科书(3.158)式可知,热膨胀系数∝与格林爱森常数γ成正比.石英晶体的热膨 胀系数很小,它的格林爱森常数也很小.格林爱森常数”大小可作为晶格非简谐效应大小的 尺度.石英晶体的格林爱森常数很小,说明它的非简谐效应很小
/ 2 / 2 ( 1) max ( )d min − = k T O k T B VO B B B O O e e D k T C k . 在甚低温下, 对于光学波, kBT e / 1, 上式简化为 ( )d / 2 max min O k T B VO B e D k T C k B O O − = . 以上两式中 () DO 是光学波的模式密度, 在简谐近似下, 它与温度无关. 在甚低温下, ( / ) 0 e − / kBT T → , 即光学波对热容的贡献可以忽略. 也就是说, 在甚低温下, 不考虑光学 波对热容的贡献是合理的. 从声子能量来说, 光学波声子的能量 O 很大(大于短声学波声子的能量), 它对应振幅 很大的格波的振动, 这种振动只有温度很高时才能得到激发. 因此, 在甚低温下, 晶体中不 存在光学波. 18. 在甚低温下, 德拜模型为什么与实验相符? [解答] 在甚低温下, 不仅光学波得不到激发, 而且声子能量较大的短声学格波也未被激发, 得 到激发的只是声子能量较小的长声学格波. 长声学格波即弹性波. 德拜模型只考虑弹性波对 热容的贡献. 因此, 在甚低温下, 德拜模型与事实相符, 自然与实验相符. 19. 在绝对零度时还有格波存在吗? 若存在, 格波间还有能量交换吗? [解答] 频率为 i 的格波的振动能为 i ni i = + 2 1 , 其中 ni i 是由 i n 个声子携带的热振动能, ( i / 2 )是零点振动能, 声子数 1 1 / − =i i kBT e n . 绝对零度时, i n =0. 频率为 i 的格波的振动能只剩下零点振动能. 格波间交换能量是靠声子的碰撞实现的. 绝对零度时, 声子消失, 格波间不再交换能量. 20. 温度很低时, 声子的自由程很大, 当 T → 0 时, → , 问 T → 0 时, 对于无限长的晶 体, 是否成为热超导材料? [解答] 对于电绝缘体, 热传导的载流子是声子. 当 T → 0 时, 声子数 n → 0 . 因此, T → 0 时, 不论晶体是长还是短, 都自动成为热绝缘材料. 21. 石英晶体的热膨胀系数很小, 问它的格林爱森常数有何特点? [解答] 由本教科书(3.158)式可知, 热膨胀系数 V 与格林爱森常数 成正比. 石英晶体的热膨 胀系数很小, 它的格林爱森常数也很小. 格林爱森常数 大小可作为晶格非简谐效应大小的 尺度. 石英晶体的格林爱森常数很小, 说明它的非简谐效应很小