第五章第五章晶体中电子能带理论 思考题 1.1.将布洛赫函数中的调制因子k()展成付里叶级数,对于近自由电子,当电子波矢远 离和在布里渊区边界上两种情况下,此级数有何特点?在紧束缚模型下,此级数又有什么特 解答 由布洛赫定理可知,晶体中电子的波函数 vk(r)=eug(r) 对比本教科书(5.1)和(539)式可得 a sa(m l4(r)=√NQ 对于近自由电子,当电子波矢远离布里渊区边界时,它的行为与自由电子近似,a4()近似 常数因此,以4(r)的展开式中,除了叫(0)外,其它项可忽略 当电子波矢落在与倒格矢Kn正交的布里渊区边界时,与布里渊区边界平行的晶面族对 布洛赫波产生了强烈的反射,4()展开式中,除了叫(0)和aKn)两项外,其它项可忽略 在紧束缚模型下,电子在格点R附近的几率V4(T)2大,偏离格点R的几率)2小 对于这样的波函数,其付里叶级数的展式包含若干项。也就是说,紧束缚模型下的布洛赫波 函数要由若干个平面波来构造 2.2.布洛赫函数满足 w(r+Rn=emv(r) 何以见得上式中k具有波矢的意义? 解答 人们总可以把布洛赫函数v(r)展成付里叶级数 v(r)=∑a(k+Kh+k 其中k是电子的波矢将()代入 y(r+R,)_eR-y(r) 得到 R 其中利用了kBn=2P(P是整数),由上式可知,k=k,即k具有波矢的意义 3.3.波矢空间与倒格空间有何关系?为什么说波矢空间内的状态点是准连续的? 解答 波矢空间与倒格空间处于统一空间,倒格空间的基矢分别为b、b2b,而波矢空间的基 矢分别为b1Nb2/N2bN3,M、M、M分别是沿正格子基矢1、a2、a3方向晶体的原 胞数目 倒格空间中一个倒格点对应的体积为 b1·(b2xb3)
第五章 第五章 晶体中电子能带理论 思考题 1. 1. 将布洛赫函数中的调制因子 (r) uk 展成付里叶级数, 对于近自由电子, 当电子波矢远 离和在布里渊区边界上两种情况下, 此级数有何特点? 在紧束缚模型下, 此级数又有什么特 点? [解答] 由布洛赫定理可知, 晶体中电子的波函数 (r) (r) k.r k i k = e u , 对比本教科书(5.1)和(5.39)式可得 (r) uk = K r K . ( ) 1 i m m m a e N . 对于近自由电子, 当电子波矢远离布里渊区边界时, 它的行为与自由电子近似, (r) uk 近似 一常数. 因此, (r) uk 的展开式中, 除了 a(0) 外, 其它项可忽略. 当电子波矢落在与倒格矢 Kn 正交的布里渊区边界时, 与布里渊区边界平行的晶面族对 布洛赫波产生了强烈的反射, (r) uk 展开式中, 除了 a(0) 和 ( ) a Kn 两项外, 其它项可忽略. 在紧束缚模型下, 电子在格点 Rn 附近的几率 (r) k 2 大, 偏离格点 Rn 的几率 (r) k 2 小. 对于这样的波函数, 其付里叶级数的展式包含若干项. 也就是说, 紧束缚模型下的布洛赫波 函数要由若干个平面波来构造.. 2. 2. 布洛赫函数满足 ( ) Rn r + = (r) k.Rn i e , 何以见得上式中 k 具有波矢的意义? [解答] 人们总可以把布洛赫函数 (r) 展成付里叶级数 k' K r k Kh r ( ). ( ) ( ' ) h i h a e + = + , 其中 k’是电子的波矢. 将 (r) 代入 ( ) Rn r + = (r) k.Rn i e , 得到 k'.Rn i e = k.Rn i e . 其中利用了 Kh .Rn = 2 p ( p 是整数), 由上式可知, k=k’, 即 k 具有波矢的意义. 3. 3. 波矢空间与倒格空间有何关系? 为什么说波矢空间内的状态点是准连续的? [解答] 波矢空间与倒格空间处于统一空间, 倒格空间的基矢分别为 1 2 3 b 、 b 、 b , 而波矢空间的基 矢分别为 N2 N3 / / / b1 N 1、b2 、b3 , N1、N2、N3 分别是沿正格子基矢 1 2 3 a 、 a 、 a 方向晶体的原 胞数目. 倒格空间中一个倒格点对应的体积为 * 1 2 3 b ( b b ) =
波矢空间中一个波矢点对应的体积为 b N,N N 即波矢空间中一个波矢点对应的体积,是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N.由于N 是晶体的原胞数目,数目巨大所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是 极其微小的.也就是说,波矢点在倒格空间看是极其稠密的.因此,在波矢空间内作求和处 理时,可把波矢空间内的状态点看成是准连续的 4.4.与布里渊区边界平行的晶面族对什么状态的电子具有强烈的散射作用? 解答 当电子的波矢k满足关系式 K Kn(k+-)=0 时,与布里渊区边界平行且垂直于n的晶面族对波矢为k的电子具有强烈的散射作用此 时,电子的波矢很大,波矢的末端落在了布里渊区边界上,k垂直于布里渊区边界的分量的 模等于n/2 5.5.一维周期势函数的付里叶级数 (x)=∑Vne 中,指数函数的形式是由什么条件决定的? 解答 周期势函数I(x)付里叶级数的通式为 r(x)=∑Vne 上式必须满足势场的周期性,即 r(x+a)=∑lne"+=∑vne"(e4")=(x)=∑Vne" 显然 要满足上式,n必为倒格矢 n a 可见周期势函数(x)的付里叶级数中指数函数的形式是由其周期性决定的 6.6.对近自由电子,当波矢k落在三个布里渊区交界上时,问波函数可近似由几个平面波 来构成?能量久期方程中的行列式是几阶的? 解答 设与三个布里渊区边界正交的倒格矢分别为K1,k2,K3,则1,K2,3都满足 Kn·(k+=)=0,Kn=K1,K2,K3 且波函数展式 vi(r) ∑a(K 中,除了含有a(0.a(n)a(A2.ak3)的项外,其它项都可忽略,波函数可近似为
波矢空间中一个波矢点对应的体积为 N N b N b N b * 3 3 2 2 1 1 ( ) = , 即波矢空间中一个波矢点对应的体积, 是倒格空间中一个倒格点对应的体积的 1/N. 由于 N 是晶体的原胞数目, 数目巨大, 所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是 极其微小的. 也就是说, 波矢点在倒格空间看是极其稠密的. 因此, 在波矢空间内作求和处 理时, 可把波矢空间内的状态点看成是准连续的. 4. 4. 与布里渊区边界平行的晶面族对什么状态的电子具有强烈的散射作用？ [解答] 当电子的波矢 k 满足关系式 ) 0 2 ( + = n n K K k 时, 与布里渊区边界平行且垂直于 K n 的晶面族对波矢为 k 的电子具有强烈的散射作用. 此 时, 电子的波矢很大, 波矢的末端落在了布里渊区边界上, k 垂直于布里渊区边界的分量的 模等于 Kn / 2 . 5. 5. 一维周期势函数的付里叶级数 nx a i n n V x V e 2 ( ) = 中, 指数函数的形式是由什么条件决定的? [解答] 周期势函数 V(x) 付里叶级数的通式为 i x n n n V x V e ( ) = 上式必须满足势场的周期性, 即 i x n n i x i a n n i x a n n n n n n V x a V e V e e V x V e + = = = = + ( ) ( ) ( ) ( ) . 显然 =1 i na e . 要满足上式, n 必为倒格矢 n a n 2 = . 可见周期势函数 V(x)的付里叶级数中指数函数的形式是由其周期性决定的. 6. 6. 对近自由电子, 当波矢 k 落在三个布里渊区交界上时, 问波函数可近似由几个平面波 来构成? 能量久期方程中的行列式是几阶的? [解答] 设与三个布里渊区边界正交的倒格矢分别为 1 2 K3 K , K , , 则 1 2 K3 K , K , 都满足 1 2 3 ) 0, 2 ( K K , K , K K K k + = n = n n , 且波函数展式 k K r r K ( ). ( ) 1 ( ) i m m k m a e N + = 中, 除了含有 (0), ( ), ( ), ( ) a a K1 a K2 a K3 的项外, 其它项都可忽略, 波函数可近似为
v4()=-n=al.,a(K1)e),a(k2)e“),a(k3)2) 由本教科书的(540)式,可得 E(k)(0)+(k1)a(K)+(k2)a(k2)+H(K(k3) (610)+/h2k2Ek)(K1)+H(K1-K2)(2)+(K1-E3)1(k3)=0 2 (K2)a(0)+V(K2-K1)a(K1)+ E(k)(K2)+(K2-E3)(K3) (K3)a(0)+(K3-K1)a(K1)+1(K3-K2)a(K2)+ h2k E(k){(K3)=0 由a(0)a(k1),a(k2)a(k3)的系数行列式的值 2mE(k) (-k1) (-K2) (-k3) (K1) E(k) V(K,-K2) V(K-K, VCK V(K2-K1) 2mE(k)(K2-K3) V(K3) (K3-K1)V(K3-K2) k2Ek 可解出电子的能量.可见能量久期方程中的行列式是四阶的 7.7.在布里渊区边界上电子的能带有何特点? 解答 电子的能带依赖于波矢的方向,在任一方向上,在布里渊区边界上,近自由电子的能带 一般会出现禁带若电子所处的边界与倒格矢n正交,则禁带的宽度E=2(K (K)是周期势场的付里叶级数的系数 不论何种电子,在布里渊区边界上其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为 零,即电子的等能面与布里渊区边界正交 8.8.当电子的波矢落在布里渊区边界上时,其有效质量何以与真实质量有显著差别? 解答 晶体中的电子除受外场力的作用外,还和晶格相互作用.设外场力为F,晶格对电子的 作用力为F,电子的加速度为 a=-(F+F) 但F的具体形式是难以得知的.要使上式中不显含F,又要保持上式左右恒等,则只有 F 显然,晶格对电子的作用越弱,有效质量m*与真实质量m的差别就越小相反,晶格对电子 的作用越强,有效质量m与真实质量m的差别就越大.当电子的波矢落在布里渊区边界上 时,与布里渊区边界平行的晶面族对电子的散射作用最强烈在晶面族的反射方向上,各格 点的散射波相位相同,迭加形成很强的反射波.正因为在布里渊区边界上的电子与晶格的作
[ (0) , ( ) , ( ) , ( ) ] 1 ( ) ( ). 3 ( ). 2 ( ). 1 . 1 2 3 k r k K r k K r k K r k r K K K + + + = i i i i a e a e a e a e N . 由本教科书的(5.40)式, 可得 ( ) (0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 1 1 2 2 3 3 2 2 + − + − + − = − E k a V K a K V K a K V K a K m k , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 ( ) (0) 1 1 2 2 1 3 3 2 2 1 + − + − = K + − E k a K V K K a K V K K a K m k V a , ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 ( ) (0) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 2 2 2 1 1 + − = K + K − K K + − E k a K V K K a K m k V a V a , ( ) ( ) 0 2 ( ) (0) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 3 1 1 3 2 2 = K + K − K K + K − K K + − E k a K m k V a V a V a . 由 (0), ( ), ( ), ( ) a a K1 a K2 a K3 的系数行列式的值 0 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 1 3 2 2 3 2 2 2 2 1 1 2 1 3 2 2 1 1 2 3 2 2 = − − − − − − − − − − − − − K K K K K k K K K k K K K k K K K K k K K K E m k V V V E V m k V V E V V m k V E V V V m k . 可解出电子的能量. 可见能量久期方程中的行列式是四阶的. 7. 7. 在布里渊区边界上电子的能带有何特点? [解答] 电子的能带依赖于波矢的方向, 在任一方向上, 在布里渊区边界上, 近自由电子的能带 一般会出现禁带. 若电子所处的边界与倒格矢 K n 正交, 则禁带的宽度 2 ( ) Eg = V Kn , ( ) V Kn 是周期势场的付里叶级数的系数. 不论何种电子, 在布里渊区边界上, 其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为 零, 即电子的等能面与布里渊区边界正交. 8. 8. 当电子的波矢落在布里渊区边界上时, 其有效质量何以与真实质量有显著差别? [解答] 晶体中的电子除受外场力的作用外, 还和晶格相互作用. 设外场力为 F, 晶格对电子的 作用力为 Fl, 电子的加速度为 ( ) 1 l m a = F + F . 但 Fl 的具体形式是难以得知的. 要使上式中不显含 Fl, 又要保持上式左右恒等, 则只有 a F* 1 m = . 显然, 晶格对电子的作用越弱, 有效质量 m*与真实质量 m 的差别就越小. 相反, 晶格对电子 的作用越强, 有效质量 m *与真实质量 m 的差别就越大. 当电子的波矢落在布里渊区边界上 时, 与布里渊区边界平行的晶面族对电子的散射作用最强烈. 在晶面族的反射方向上, 各格 点的散射波相位相同, 迭加形成很强的反射波. 正因为在布里渊区边界上的电子与晶格的作
用很强,所以其有效质量与真实质量有显著差别 9.9.带顶和带底的电子与晶格的作用各有什么特点 解答 由本教科书的(5.88)和(5.89)两式得 FF FI 将上式分子变成能量的增量形式 Fut F 从能量的转换角度看,上式可表述为 (dB)外场力动电子作的功=(dB)外场力动电子件的功+(E)品格对电 子作的功 由于能带顶是能带的极大值, a-E 所以有效质量 02E ak 说明此时晶格对电子作负功,即电子要供给晶格能量,而且电子供给晶格的能量大于外场力 对电子作的功。而能带底是该能带的极小值, a2e 所以电子的有效质量 tr aE 但比m小.这说明晶格对电子作正功.m*m的例证,不难由(536)式求得 1 10.电子的有效质量m变为∞的物理意义是什么? 解答 仍然从能量的角度讨论之.电子能量的变化 (dE)外场力对电子作的功(dE)外场力对电子作的功,(dE)品格对电子作的功 外场力对电子作的功 -(dE) 子对品格作的功 从上式可以看出,当电子从外场力获得的能量又都输送给了晶格时,电子的有效质量m变 为∞.此时电子的加速度 F=0
用很强, 所以其有效质量与真实质量有显著差别. 9. 9. 带顶和带底的电子与晶格的作用各有什么特点? [解答] 由本教科书的(5.88)和(5.89)两式得 m m m F F Fl = + * . 将上式分子变成能量的增量形式 m t m t m t d d l d * + = F F F ， 从能量的转换角度看, 上式可表述为 m E m E m (dE)外场力对电子作的功 (d )外场力对电子作的功 (d )晶格对电子作的功 * = + . 由于能带顶是能带的极大值， 2 2 k E <0， 所以有效质量 2 2 2 * k E m = <0. 说明此时晶格对电子作负功, 即电子要供给晶格能量, 而且电子供给晶格的能量大于外场力 对电子作的功. 而能带底是该能带的极小值， 2 2 k E >0， 所以电子的有效质量 2 2 2 * k E m = >0. 但比 m 小. 这说明晶格对电子作正功. m*<m 的例证, 不难由(5.36)式求得 n n V m T m 2 1 1 * + = <1. 10. 电子的有效质量 * m 变为 的物理意义是什么? [解答] 仍然从能量的角度讨论之. 电子能量的变化 m E m E m (dE)外场力对电子作的功 (d )外场力对电子作的功 (d )晶格对电子作的功 * = + (d )外场力对电子作的功 (d )电子对晶格作的功 1 E E m = − . 从上式可以看出，当电子从外场力获得的能量又都输送给了晶格时, 电子的有效质量 * m 变 为 . 此时电子的加速度 0 1 * a = F = m
即电子的平均速度是一常量.或者说,此时外场力与晶格作用力大小相等,方向相反 11.万尼尔函数可用孤立原子波函数来近似的根据是什么? 解答 由本教科书的(553)式可知,万尼尔函数可表示为 Wa(rn, r)=ya(k,r-R,) 紧束缚模型适用于原子间距较大的晶体.在这类晶体中的电子有两大特点:(1)电子被束缚 在原子附近的几率大,在原子附近它的行为同在孤立原子的行为相近,即当r→>Rn时,电子 波函数vn(k,r-Rn)与孤立原子波函数9a(-Rn)相近(2)它远离原子的几率很小即r 偏离R较大时,w(kr=R,)很小考虑到,偏离R较大时,p2(r一R)也很小所以 用oa(r-Rn)来描述a(k,F-Rn)是很合适的取 y(k,r-R=uk)a(r-r. 将上式代入万尼尔函数求和中,再利用万尼尔函数的正交性,可得 Wa(R,, r)=p(r-R.) 也就是说,万尼尔函数可用孤立原子波函数来近似是由紧束缚电子的性质来决定的 12.紧束缚模型电子的能量是正值还是负值? 解答 紧束缚模型电子在原子附近的几率大,远离原子的几率很小,在原子附近它的行为同在 孤立原子的行为相近.因此,紧束缚模型电子的能量与在孤立原子中的能量相近.孤立原子 中电子的能量是一负值,所以紧束缚模型电子的能量是负值.s态电子能量(5.60)表达式 E,(k)=E-C,-J∑ 即是例证其中孤立原子中电子的能量E是主项,是一负值,一C和-是小量,也是负 13.紧束缚模型下,内层电子的能带与外层电子的能带相比较,哪一个宽?为什么? 解答 以s态电子为例.由图59可知,紧束缚模型电子能带的宽度取决于积分s的大小,而 积分 J,=-hopsr(r)[V(r)-vat(r-Rlp(r-R)dr 的大小又取决于9()与相邻格点的9(-Rn)的交迭程度紧束缚模型下,内层电子的 q(r)与?(r-Rn)交叠程度小,外层电子的q(r)与(r-Rn)交迭程度大因此,紧 束缚模型下,内层电子的能带与外层电子的能带相比较,外层电子的能带宽」 14.等能面在布里渊区边界上与界面垂直截交的物理意义是什么? 解答 将电子的波矢k分成平行于布里渊区边界的分量km和垂直于布里渊区边界的分量kL 则由电子的平均速度 得到
即电子的平均速度是一常量. 或者说, 此时外场力与晶格作用力大小相等, 方向相反. 11. 万尼尔函数可用孤立原子波函数来近似的根据是什么? [解答] 由本教科书的（5.53）式可知, 万尼尔函数可表示为 = − k R ,r (k,r R ) 1 ( ) n n N W . 紧束缚模型适用于原子间距较大的晶体. 在这类晶体中的电子有两大特点: (1) 电子被束缚 在原子附近的几率大, 在原子附近它的行为同在孤立原子的行为相近, 即当 r → Rn 时, 电子 波函数 ( , ) Rn k r − 与孤立原子波函数 ( ) n at r − R 相近. (2) 它远离原子的几率很小, 即 r 偏离 Rn 较大时, 2 ( , ) Rn k r − 很小. 考虑到 r 偏离 Rn 较大时, 2 ( ) n at r − R 也很小, 所以 用 ( ) n at r − R 来描述 ( , ) Rn k r − 是很合适的. 取 ( , ) Rn k r − = (k) ( ) n at r − R . 将上式代入万尼尔函数求和中, 再利用万尼尔函数的正交性, 可得 W (Rn ,r) = ( ) n at r − R . 也就是说, 万尼尔函数可用孤立原子波函数来近似是由紧束缚电子的性质来决定的. 12. 紧束缚模型电子的能量是正值还是负值? [解答] 紧束缚模型电子在原子附近的几率大, 远离原子的几率很小, 在原子附近它的行为同在 孤立原子的行为相近. 因此，紧束缚模型电子的能量与在孤立原子中的能量相近. 孤立原子 中电子的能量是一负值, 所以紧束缚模型电子的能量是负值. s 态电子能量(5.60)表达式 = − − n i s s at s s n E E C J e k R (k) 即是例证. 其中孤立原子中电子的能量 at Es 是主项, 是一负值, s s − C 和− J 是小量, 也是负 值. 13. 紧束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 哪一个宽? 为什么? [解答] 以 s 态电子为例. 由图 5.9 可知, 紧束缚模型电子能带的宽度取决于积分 s J 的大小, 而 积分 (r)[ (r) (r R )] (r R )dr * n at n s at N at J s = − s V −V − − 的大小又取决于 (r) at s 与相邻格点的 ( ) n at s r − R 的交迭程度. 紧束缚模型下, 内层电子的 (r) at s 与 ( ) n at s r − R 交叠程度小, 外层电子的 (r) at s 与 ( ) n at s r − R 交迭程度大. 因此, 紧 束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 外层电子的能带宽. 14. 等能面在布里渊区边界上与界面垂直截交的物理意义是什么？ [解答] 将电子的波矢 k 分成平行于布里渊区边界的分量 k// 和垂直于布里渊区边界的分量 k┴. 则由电子的平均速度 ( ) 1 = k E k 得到