图8-2电场强度 当Q>0时，E的方向与e的方向相同： 当Q<0时，E的方向与e,的方向相反。 在以Q为原点，为半径所作的球面上，各处E的大小相等，方向沿径矢，具有球对 称性。即真空中点电荷的电场是非均匀场，但具有对称性。 (四)。场强叠加原理 e +g、 E E (a) (c) 图83场强叠加 相应的合场强为： 即点电荷系在某点产生的场强，等于每一个点电荷单独存在时在该点 分别产生连 是场强管加原理。 任何带电体都可以看成是许多电荷元山的集合，在电场中任一场点P处，每一电荷元在 1 P点产生的场强为dE= 学整个带电体在P点的场强为E=E=店当6， 实际带申体的申荷连续分布的具体形式大致有三种 (1)体分布：d☑=dr:(2)面分布：d=S:(3)线分布：d=灿. 3.电偶极子的电场强度 的占由 ,这两个 (2)从-q指向+q的矢量m称为电偶极子 的轴。 3)电偶极矩：p-q0 90g E. 12P 2.电偶极子的电场强度E=45 (1)电偶极子轴线延长线上一点的电场强度。图84偶极子延长线上的场强 2)电偶极子轴线的中垂线上一点的电场强度E=5了 I P 4.计算电荷连续分布带电体的场强分布例子 【例1】试计算均匀带电圆环轴线上任一给定点P处的场强，设圆环半 径为R,圆环所带电量为q,P点与环心的距离为x, 图85偶极子中垂线上的场强
6 图 8-2 电场强度 当 Q>0 时，E 的方向与 er 的方向相同； 当 Q<0 时，E 的方向与 er 的方向相反。 在以 Q 为原点，r 为半径所作的球面上，各处 E 的大小相等，方向沿径矢 r ，具有球对 称性。即真空中点电荷的电场是非均匀场，但具有对称性。 （四）．场强叠加原理 1.设场源由 n 个点电荷 q1、q2、.、qn 组成，作用在场中某点 P 处试验电荷 q0 上的力为 各点电荷所产生的力 F1、F2、.、Fn 的矢量和。 +Q1 +Q2 -Q3 r 1 F1 r 2 F2 r 3 F3 +Q1 +Q2 -Q3 e1 E1 e 2 E2 e 3 E3 E1 E2 E3 E （a） （b） （c） 图 8-3 场强叠加 相应的合场强为： 即点电荷系在某点产生的场强，等于每一个点电荷单独存在时在该点 分别产生的场强的矢量和，这就是场强叠加原理。 2．连续分布电荷电场的场强 任何带电体都可以看成是许多电荷元 dq 的集合，在电场中任一场点 P 处，每一电荷元在 P 点产生的场强为 r r q E e 2 0 d 4 1 d = . 整个带电体在 P 点的场强为 = = V r V r q E E e 2 0 d 4 1 d . 实际带电体的电荷连续分布的具体形式大致有三种： （1）体分布： dq = dV ；（2）面分布： dq =dS ；（3）线分布： dq = dl . 3．电偶极子的电场强度 1．几个概念：（1）两个电荷相等、符号相反、相距为 r0 的点电荷+q 和-q ，若场点 P 到这两个点电荷的距离比 大得多时，这两个点电荷构成的电荷系称为电偶极子。 （2）从-q 指向+q 的矢量 r0 称为电偶极子 的轴。 （3）电偶极矩：p=qr0 . 2．电偶极子的电场强度 3 0 2 4 1 x p E = . （1）电偶极子轴线延长线上一点的电场强度。 图 8-4 偶极子延长线上的场强 （2）电偶极子轴线的中垂线上一点的电场强度 3 4 0 1 y p E = − . 4．计算电荷连续分布带电体的场强分布例子 【例 1】 试计算均匀带电圆环轴线上任一给定点 P 处的场强，设圆环半 径为 R，圆环所带电量为 q，P 点与环心的距离为 x . 图 8-5 偶极子中垂线上的场强 -q O +q A E- E+ x x r 0 /2 r 0 /2 r 0 x -q +q e- e+ y r+ r - E- E E+ B y
【解】建立如图8-6所示的坐标系，取电荷元 d由为的=d=品，在P点产生的场强大小为 d北=二当各山在P点产生的场强大小相等，方 向各异。 图86例1图 由对称性可知：E,=∫dE,=0,所以有 EfdEcoco dcos 【讨论】 (D当户>a时，E,是，即运离环心处一点的场强，相当于电荷集中于环心的点 电荷在该处产生的场。 (2)当x-0时，E0-0,即环心处场强为零。 【例2】设有一均匀带电薄圆盘，半径为R,单位面积所带电 量为σ，试计算圆盘轴线上场强的分布。 【解】建立如图87所示坐标系，在轴上任取一点P.将圆盘 分成许多半径连续变化的同心带电细圆环，求它们在P点产生的场 强的在径为、宽度为的细圆环，其电荷元为 图8-7例2图 dq=als=o2mpdp, dg在P点产生的场强的大小为 各细环在P点的场强的方向相同均沿轴线，所以合场强为 ==02-R+ 【时论】D当KR时，→0，则=为无限大均匀带电平板附近的电场 分布，为匀强电场，方向如图87所示。 如果将两块无限大平板平行放置，板间距离远小于板面线度，当两板带等量异号电荷，面 密度为G时，两板内侧场强为E=E,+6,品+品号·两板外侧场强为 E=E4-Ea=0. 图8-8均匀带电大平面附近的电场强度 图89均匀带电大平面附近的电场强度分析 （2)当o>R时，0+1-袋，于是有E=-0-24· 式中g=mR为圆盘面所带总电量。上式表明在远离带电平板处的电场相当于电荷集中于盘心
7 【解】 建立如图 8-6 所示的坐标系，取电荷元 dq 为 l R q q l d 2 d d = = ，在 P 点产生的场强大小为 2 0 d 4 1 d r q E = .各 dq 在 P 点产生的场强大小相等，方 向各异。 图 8-6 例 1 图 dE = dE|| + dE⊥， 由对称性可知： = = 0 E⊥ dE⊥ ，所以有 cos 4 d cos 4 cos cos d 4 1 d d cos 2 0 0 2 0 r q r Ep = = = = = l q E| | E 2 2 3 / 2 0 4 ( ) 1 x R qx + = . 【讨论】 （1）当 x>>a 时， 2 4 0 1 x q E = ，即远离环心处一点的场强，相当于电荷集中于环心的点 电荷在该处产生的场。 （2）当 x=0 时，E0=0，即环心处场强为零。 【例 2】 设有一均匀带电薄圆盘，半径为 R，单位面积所带电 量为 ，试计算圆盘轴线上场强的分布。 【解】 建立如图 8-7 所示坐标系，在轴上任取一点 P . 将圆盘 分成许多半径连续变化的同心带电细圆环，求它们在 P 点产生的场 强的矢量和。 任取半径为 、宽度为 d 的细圆环，其电荷元为 图 8-7 例 2 图 dq =dS =2d ， dq 在 P 点产生的场强的大小为 2 2 3 / 2 0 2 2 3 / 2 0 ( ) 2 d 4 1 ( ) d 4 1 d + = + = x x x x q E . 各细环在 P 点的场强的方向相同均沿轴线，所以合场强为 [1 ] ( ) 2 2 d 4 1 d 2 2 0 0 2 2 3/ 2 0 R x x x x E E R + = − + = = . 【讨论】（1）当 x<<R 时， 0 2 2 → R + x x ，则 2 0 E = 为无限大均匀带电平板附近的电场 分布，为匀强电场，方向如图 8-7 所示。 如果将两块无限大平板平行放置，板间距离远小于板面线度，当两板带等量异号电荷，面 密度为 时，两板内侧场强为 2 0 2 0 0 E = EA + EB = + = . 两板外侧场强为 E = EA − EB = 0 . + − + − 图 8-8 均匀带电大平面附近的电场强度 图 8-9 均匀带电大平面附近的电场强度分析 （2）当 x>>R 时， 2 2 2 1 2 2 2 1 (1 ) 1 x R x R + − − ，于是有 2 0 2 2 0 4 )] 2 [1 (1 2 x q x R E = − − = . 式中 2 q = π R 为圆盘面所带总电量。上式表明在远离带电平板处的电场相当于电荷集中于盘心 O x x r P R dE⊥ dE// dE R d P dEP x x r
的点电荷在该处产生的电场。 (3)均匀带电薄圆环的轴线上任一点的场强分布。或无限大均匀带电平板的中间有一圆 孔的情况。 一 0 图8-10例2推广情形 8.2电场强度通量（电通量）高斯定理 82.1电场的图示法电力线 为形象地描述电场法拉第(MF )首先引入电力线这一工具。 1,定义电场中描述电场强度大小和方向的曲线簇。规定 (1)曲线上每一点的切线方向表示该点场强的方向： (2)曲线的疏密表示该点场强的大小，即该点附近垂直于电场方向的单位面积所通过的 电力线条数清足E一器。的为金直于电场方的上的面积元：d0为通过面积无西，的电力 线条数。 图8-10电力线 图811电力线图示 2.特点 》来线是始正电荷，终止于负电荷，在真空中和无电荷处不中新。 (3)任何丙 不能相线精处电场· 3.电力线图例如图811所示 8.2.2电通量 通过电场中某一个面的电场线总数叫做通过这个面的电场强度通量。用。表示。 1,匀强电场中的电通量 (1)平面S与E方向垂直：g,=S. (2)平面S与E方向不垂直，夹角为0：.=ES=EScose0 即g,=ES=E 2. 的电通量 (2)任意曲面的电通量：把S分成无限多个面积元dS,通过曲面S的电通量g为 .=do.=JEascoso=JE.ds
8 的点电荷在该处产生的电场。 （3）均匀带电薄圆环的轴线上任一点的场强分布。或无限大均匀带电平板的中间有一圆 孔的情况。 图 8-10 例 2 推广情形 8.2 电场强度通量（电通量）高斯定理 8.2.1 电场的图示法 电力线 为形象地描述电场法拉第（M. Faraday）首先引入电力线这一工具。 1．定义 电场中描述电场强度大小和方向的曲线簇。规定 （1）曲线上每一点的切线方向表示该点场强的方向； （2）曲线的疏密表示该点场强的大小，即该点附近垂直于电场方向的单位面积所通过的 电力线条数满足 ⊥ = S E e d d . dS⊥ 为垂直于电场方向上的面积元； de 为通过面积元 dS⊥ 的电力 线条数。 n dS dS⊥ P E F E 图 8-10 电力线 图 8-11 电力线图示 2．特点 （1）电场线总是始于正电荷，终止于负电荷，在真空中和无电荷处不中断。 （2）不形成闭合曲线； （3）任何两条电场线都不能相交。 （4）电力线密集处电场强，电力线稀疏处电场弱。 3．电力线图例如图 8-11 所示。 8.2.2 电通量 通过电场中某一个面的电场线总数叫做通过这个面的电场强度通量。用 e 表示。 1．匀强电场中的电通量 （1）平面 S 与 E 方向垂直： e = ES . （2）平面 S 与 E 方向不垂直，夹角为 ：e = ES⊥ = ES cos . 即 e = E S⊥ = E en S . 2．非匀强电场的电通量 （1）某一小面积元 dS 的电通量 de = EdS cos = E dS . （2）任意曲面的电通量：把 S 分成无限多个面积元 dS，通过曲面 S 的电通量 e 为 = d = d cos = EdS S S S e e E S
(3)闭合曲面的电通量：曲面积分为闭合曲面的积分，所以 o.=fEdscoso=fE.ds. 图8-11电力线图示 3.注意 (1)电通量是标量，只有正、负，为代数叠加。 (2)电通量正、负值的说明。由dg,=5 dScos0=EdS可知，电通量的正、负是由面元的 法线下和申场强度矢量的夹角决定 对闭合曲面规定自内向外的方向为面元的法线正方向。如果电场线从闭合曲面之内向外穿 出，电通量为正：如果电场线从外部穿入闭合曲面，电通量为负。 对不闭合曲面，电通量的正负根据所设的面元法线正方向而定。 (3)电通量的单位(SI):韦伯(Wb) 图812电通量 图83电通量的正负 8.2.3高斯定理 (一)、高斯定理 新中的高定7-185德国数学家、天文学家和物理学家。 高断(K E Gauss 我们从最简单的情况出发导出这个定理： (1)如图8-14所示，若真空中有一正点电荷4，我们以所在的点为球心，取任意长R为 半径，作一球面S包围这点电荷。则通过整个球面的电通量为 -fp=5d-fnds-4rfs-4品4-号 即0.-ES=号.由点电荷发出的通过任一闭合球面的电通量与球面的半径无关。只与它所 包围的电荷的电量有关，均为9 (2)现在设想另一任意的闭合曲面S,S与球面S包围同一个点电荷q,由于电场线的 连续性，可以得出通过闭合面S和S的电场线数目是一样的，仍有9.=E心=？， (3)将正电荷+g换成负电电荷-g,则有，=fE5=-
9 （3）闭合曲面的电通量：曲面积分为闭合曲面的积分，所以 = d cos = E dS S S e E S . e n E S e n E S 图 8-11 电力线图示 3．注意 （1）电通量是标量，只有正、负，为代数叠加。 （2）电通量正、负值的说明。由 de = EdS cos = E dS 可知，电通量的正、负是由面元的 法线正 和电场强度矢量的夹角决定。 对闭合曲面规定自内向外的方向为面元的法线正方向。如果电场线从闭合曲面之内向外穿 出，电通量为正；如果电场线从外部穿入闭合曲面，电通量为负。 对不闭合曲面，电通量的正负根据所设的面元法线正方向而定。 （3）电通量的单位（SI）：韦伯（Wb） E S dS 2 2 E E dS1 dS2 E 2 2 E dS3 dS4 图 8-12 电通量 图 8-13 电通量的正负 8.2.3 高斯定理 （一）、高斯定理 高斯（K. F. Gauss，1777－1855）德国数学家、天文学家和物理学家。 1．真空中的高斯定理 我们从最简单的情况出发导出这个定理： （1）如图 8-14 所示，若真空中有一正点电荷 q，我们以所在的点为球心，取任意长 R 为 半径，作一球面 S 包围这点电荷。则通过整个球面的电通量为 0 2 2 0 2 0 2 0 4 4 d 4 d 4 d d q R R q S R q R q S S S S e = = = = = = E S S ， 即 0 d q S e = = E S . 由点电荷发出的通过任一闭合球面的电通量与球面的半径无关。只与它所 包围的电荷的电量有关，均为 0 q . （2）现在设想另一任意的闭合曲面 S'， S' 与球面 S 包围同一个点电荷 q，由于电场线的 连续性，可以得出通过闭合面 S 和 S' 的电场线数目是一样的，仍有 0 d q S e = = E S . （3）将正电荷+q 换成负电电荷-q，则有 0 d q S e = = − E S
(4)如果闭合曲面S不包含电荷，则0.=fEd心=0. (5)含有任意电荷系时的闭合曲面的电通量 R 图8-14 图8-15 图8-16 由于任意电荷系均可看成是点电荷的集合，每一点电荷通过该曲面的电通量①，、少，、. ,而且=，=丝，少=丝，因此=立=5心=立至此我们得 到真空中的高斯定理：在真空中，通过任一闭合曲面的电场强度通量，等于该曲面所包围的所 有电荷的代数和除以。 电荷连续分布Eds=Idr 2.高斯定理的理解 ()闭合曲面上各点的场强E是闭合面内、外全部电荷共同产生的合场强，而非仅由闭 合面内电荷所产生。中，←∑g (2)高斯定理表明通过闭 合曲面的电通量与闭合曲面所包围的电荷之间的量值关系，而 非闭合曲面上的电场强度与闭合面包围的电荷之间 (3)过闭合曲面的总电通量只由它所包围的电荷所决定。闭合面外的电荷对总通量无贡 献。 (4)若闭合曲面内存在正（负）电荷，则通过闭合曲面的电通量为正（负），表明有电场 线从面内（面外）穿出（穿入）：若闭合曲面内没有电荷，则通过闭合曲面的电通量为零，意 味着有多少电场线穿入就有多少电场线穿出，说明在没有电荷的区域内电场线不会中断：若闭 线正电荷的代数和为零，则有多少电场线进入面内终止手负电荷。就会有相同数目的电场一 了静电是定 电荷是发出电场线的源头，负电荷是电场线终止会聚的归宿，表明 伤定理 立 关系的同想律 库 区域内的电荷联系 而且高斯定理的应用范围比库仑定律更广泛：库仑定律只适用于静 电场，而高斯定理不仅适用于静电场，也适用于变化的电场。高斯定理是电磁场理论的基本理 论之一。 8.2.4高斯定理应用举例 利用高斯定理，可简洁地求得具有对称性的带电体场源（如球型、圆柱形、无限长和无限 大平板型等)的空间场强分布。计算的关键在于选取合适的闭合曲面 一高斯面。 【例2】已知半径为R,带电量为q的均匀带电球面，求空间场强分布。 【解】由对称性分析知，E的分布为球对称，即离开球心距离为r处各点的场强大小相 等，方向沿各自的矢径方向
10 （4）如果闭合曲面 S 不包含电荷，则 = d = 0 E S S e . （5）含有任意电荷系时的闭合曲面的电通量 图 8-14 图 8-15 图 8-16 由于任意电荷系均可看成是点电荷的集合，每一点电荷通过该曲面的电通量 e1 、 e2 、.、 en ，而且 0 1 1 q e = ， 0 2 2 q e = ，.， 0 n en q = ，因此 = = = = = n i i S n i e ei q 0 1 d E S .至此我们得 到真空中的高斯定理：在真空中，通过任一闭合曲面的电场强度通量，等于该曲面所包围的所 有电荷的代数和除以 0 . 电荷连续分布 = r 0 d 1 d V S E S . 2．高斯定理的理解 （1）闭合曲面上各点的场强 E 是闭合面内、外全部电荷共同产生的合场强，而非仅由闭 合面内电荷所产生。 e qi内 （2）高斯定理表明通过闭合曲面的电通量与闭合曲面所包围的电荷之间的量值关系，而 非闭合曲面上的电场强度与闭合面包围的电荷之间的关系。 （3）过闭合曲面的总电通量只由它所包围的电荷所决定。闭合面外的电荷对总通量无贡 献。 （4）若闭合曲面内存在正（负）电荷，则通过闭合曲面的电通量为正（负），表明有电场 线从面内（面外）穿出（穿入）；若闭合曲面内没有电荷，则通过闭合曲面的电通量为零，意 味着有多少电场线穿入就有多少电场线穿出，说明在没有电荷的区域内电场线不会中断；若闭 合曲面内电荷的代数和为零，则有多少电场线进入面内终止于负电荷，就会有相同数目的电场 线从正电荷发出穿出面外。 可见，高斯定理说明正电荷是发出电场线的源头，负电荷是电场线终止会聚的归宿，表明 了静电场是有源场，这是静电场的基本性质之一。 （5）高斯定理与库仑定律并不是互相独立的规律，而是用不同形式表示的电场与源电荷 关系的同一客观规律：库仑定律把场强和电荷直接联系起来，而高斯定理将场强的通量和某一 区域内的电荷联系在一起。而且高斯定理的应用范围比库仑定律更广泛：库仑定律只适用于静 电场，而高斯定理不仅适用于静电场，也适用于变化的电场。高斯定理是电磁场理论的基本理 论之一。 8.2.4 高斯定理应用举例 利用高斯定理，可简洁地求得具有对称性的带电体场源（如球型、圆柱形、无限长和无限 大平板型等）的空间场强分布。计算的关键在于选取合适的闭合曲面——高斯面。 【例 2】 已知半径为 R，带电量为 q 的均匀带电球面，求空间场强分布。 【解】 由对称性分析知，E 的分布为球对称，即离开球心距离为 r 处各点的场强大小相 等，方向沿各自的矢径方向