习题二 21一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为m,的物体，另一边穿在质量为m,的圆 柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动.今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳 子以匀加速度下滑，求m,m,相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦 力（绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计）. 解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为a,其对于m,则为牵连加速度，又知m, 对绳子的相对加速度为，故m,对地加速度，由图(b)可知，为 a,=a-a' ① 又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力∫在数值上等于绳的张力T,由牛顿定律， 有 mg-T=ma ② T-mg=ma 联立①、②、③式，得 a,=(m-m )g+ma' m1+m2 a,=(m-ms )g-ma' m1+2 f=T=mma(2g-a) m1+m2 时论(1)若d=0,则a,=a2表示柱体与绳之间无相对滑动 (2)若'=2g,则T=∫=0，表示柱体与绳之间无任何作用力，此时m,m,均作自由 落体运动， m☐m 中 g (a) (b) 题2-1图 2-2一个质量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度，运动，的方向 与斜面底边的水平线AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道。 解：物体置于斜面上受到重力mg,斜面支持力N,建立坐标：取。方向为X轴，平行斜
习题二 2-1 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为 m1 的物体，另一边穿在质量为 m2 的圆 柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动．今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳 子以匀加速度 a 下滑，求 m1， m2 相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦 力(绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计)． 解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为 1 a ，其对于 m2 则为牵连加速度，又知 m2 对绳子的相对加速度为 a ，故 m2 对地加速度，由图(b)可知，为 a = a − a 2 1 ① 又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力 f 在数值上等于绳的张力 T ，由牛顿定律， 有 m1g −T = m1a1 ② T − m2 g = m2a2 ③ 联立①、②、③式，得 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 (2 ) ( ) ( ) m m m m g a f T m m m m g m a a m m m m g m a a + − = = + − − = + − + = 讨论 (1)若 a = 0 ，则 a1 = a2 表示柱体与绳之间无相对滑动． (2)若 a = 2g ，则 T = f = 0 ，表示柱体与绳之间无任何作用力，此时 m1 , m2 均作自由 落体运动． 题 2-1 图 2-2 一个质量为 P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为 ）上以初速度 0 v 运动， 0 v 的方向 与斜面底边的水平线 AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道． 解: 物体置于斜面上受到重力 mg ，斜面支持力 N .建立坐标：取 0 v 方向为 X 轴，平行斜
面与X轴垂直方向为Y轴.如图2-2. 题2-2图 X方向： F=0 Y方向： F,=mgsin a=ma, ② t=0时 y=0 V.=0 y-7gsha 由①、②式消去1，得 y=285a 2-3质量为16kg的质点在xOy平面内运动，受一恒力作用，力的分量为∫，=6N,∫， -7N,当1=0时，x=y=0,y,=-2m·s,y,=0.求 当1=2s时质点的()位矢：（②）速度. m () y=0+a,h=-2+层x2=- m.s m.s 于是质点在2s时的速度 =-ms (2)
面与 X 轴垂直方向为 Y 轴.如图 2-2. 题 2-2 图 X 方向： Fx = 0 x v t = 0 ① Y 方向： Fy = mg = may sin ② t = 0 时 y = 0 vy = 0 2 sin 2 1 y = g t 由①、②式消去 t ，得 2 2 0 sin 2 1 g x v y = 2-3 质量为16 kg 的质点在 xOy 平面内运动，受一恒力作用，力的分量为 x f ＝6 N， y f ＝ -7 N，当 t ＝0时， x = y = 0， x v ＝-2 m·s -1， y v ＝0．求 当 t ＝2 s 时质点的 (1)位矢；(2)速度． 解： 2 m s 8 3 16 6 − = = = m f a x x 2 m s 16 7 − − = = m f a y y (1) − − = − − = + = = + = − + = − 2 0 1 0 1 2 0 0 m s 8 7 2 16 7 m s 4 5 2 8 3 2 v v a dt v v a dt y y y x x x 于是质点在 2s 时的速度 1 m s 8 7 4 5 − v = − i − j (2)
F(+o =22*+g40+550x4 -只- m 24质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力k(k为常数)作用，1=0时质点的 速度为，证明山1时刻的速度为v=,白：②由0到：的时间内经过的距离为 x=(m心)[1-e台”]：(3)停止运动前经过的距离为，（兕：（④证明当1=mk时速 度减至，的。式中内质点的质量。 答：(1) a=-d山 m di 分离变量，得 dv_-kdr v m 座-牌 In =e p=oe为 x=j小t=ed=m-ey (3)质点停止运动时速度为零，即t一©， 故有 -wzo-m (④当=m时，其速度为 v=we当=we=2 即速度减至，的。 2-5升降机内有两物体，质量分别为m,m2,且m=2m·用细绳连接，跨过滑轮，绳子
m 8 7 4 13 ) 4 16 7 ( 2 1 4) 8 3 2 1 ( 2 2 2 1 ) 2 1 ( 2 2 0 i j i j r v t a t i a t j x y = − − − = − + + = + + 2-4 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力 kv ( k 为常数)作用， t =0时质点的 速度为 0 v ，证明(1) t 时刻的速度为 v ＝ t m k v e ( ) 0 − ；(2) 由0到 t 的时间内经过的距离为 x＝( k mv0 )［1- t m k e −( ) ］；(3)停止运动前经过的距离为 ( ) 0 k m v ；(4)证明当 t = m k 时速 度减至 0 v 的 e 1 ，式中m为质点的质量． 答: (1)∵ t v m kv a d d = − = 分离变量，得 m k t v dv − d = 即 − = v v t m k t v v 0 0 d d m kt e v v − ln = ln 0 ∴ t m k v v e − = 0 (2) − − = = = − t t t m k m k e k mv x v t v e t 0 0 0 d d (1 ) (3)质点停止运动时速度为零，即 t→∞， 故有 − = = 0 0 0 d k mv x v e t t m k (4)当 t= k m 时，其速度为 e v v v e v e k m m k 1 0 = 0 = 0 = − − 即速度减至 0 v 的 e 1 . 2-5 升降机内有两物体，质量分别为 m1， m2 ，且 m2＝2 m1 ．用细绳连接，跨过滑轮,绳子
不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速=)8上升时，求：() m,和m,相对升降机的加速度.（②）在地面上观察m,m,的加速度各为多少？ 解：分别以m,m,为研究对象，其受力图如图(6)所示. ()设m,相对滑轮（即升降机）的加速度为d,则m,对地加速度a2=d-a:因绳不可伸长 故m,对滑轮的加速度亦为d,又m,在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以m,在水平 方向对地加速度亦为d',由牛顿定律，有 mg-T=m(a'-a) T=ma' 题2-5图 联立，解得a'=g方向向下 (②)m对地加速度为 a:=a-a=号方向向上 m,在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即ā能=a相+ā全 a=+=g+军=58 0=arctan-号=arctan)26.6°，左偏上. 2-6一质量为m的质点以与地的仰角0=30°的初速。从地面抛出，若忽略空气阻力，求质 手
不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速 a ＝ 2 1 g上升时，求：(1) m1 和 m2 相对升降机的加速度．(2)在地面上观察 m1，m2 的加速度各为多少? 解: 分别以 m1 , m2 为研究对象，其受力图如图(b)所示． (1)设 m2 相对滑轮(即升降机)的加速度为 a ，则 m2 对地加速度 a2 = a − a ；因绳不可伸长， 故 m1 对滑轮的加速度亦为 a ，又 m1 在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以 m1 在水平 方向对地加速度亦为 a ，由牛顿定律，有 ( ) m2 g −T = m2 a − a T = m a 1 题 2-5 图 联立，解得 a = g 方向向下 (2) m2 对地加速度为 2 2 g a = a − a = 方向向上 m1 在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即 a绝 a相 a牵 = + ' ∴ g g a a a g 2 5 4 2 2 2 2 1 = + = + = a a = arctan o 26.6 2 1 = arctan = ，左偏上． 2-6一质量为 m 的质点以与地的仰角 =30°的初速 0 v 从地面抛出，若忽略空气阻力，求质 点落地时相对抛射时的动量的增量． 解: 依题意作出示意图如题 2-6 图
题2-6图 在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下， 而抛物线具有对y轴对称性，故末速度与x轴夹角亦为30°，则动量的增量为 △D=iw-下。 由矢量图知，动量增量大小为m。,方向竖直向下。 2-7一质量为m的小球从某一高度处水平抛出，落在水平桌面上发生弹性碰撞.。并在抛出 15,跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也与抛出时相等。求小球与桌面碰撞过 程中，桌面给予小球的冲量的大小和方向。并回答在碰撞过程中，小球的动量是否守恒？ 解：由题知，小球落地时间为0.5s。因小球为平抛运动，故小球落地的瞬时向下的速度大 小为=g=05g,小球上跳速度的大小亦为2=0.5g·设向上为y轴正向，则动量的 增量 p=m2-m方向竖直向上， 大小 p=mv2 -(-m)=mg 碰撞过程中动量不守恒.这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用.另外，碰 撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向上，这也说明动量不守恒。 2-8作用在质量为10kg的物体上的力为F=(10+2)iN,式中1的单位是s,(1)求4s后， 这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量.（②）为了使这力的冲量为200N·s, 该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度-6行m·s'的物体， 回答这两个问题. 解：(Q)若物体原来静止，则 领，=Fd1=(10+2r)id=56kgm·s5,沿x轴正向， A城=9=5.6mg7 m 1 =Ap =56 kg.m.s 若物体原来具有-6m·s初速，则 =-m,D=m-+片d0）=-m,+F于是
题 2-6 图 在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下, 而抛物线具有对 y 轴对称性，故末速度与 x 轴夹角亦为 o 30 ，则动量的增量为 0 p mv mv = − 由矢量图知，动量增量大小为 0 mv ，方向竖直向下． 2-7 一质量为 m 的小球从某一高度处水平抛出，落在水平桌面上发生弹性碰撞．并在抛出 1 s，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也与抛出时相等．求小球与桌面碰撞过 程中，桌面给予小球的冲量的大小和方向．并回答在碰撞过程中，小球的动量是否守恒? 解: 由题知，小球落地时间为 0.5 s ．因小球为平抛运动，故小球落地的瞬时向下的速度大 小为 v1 = gt = 0.5g ，小球上跳速度的大小亦为 v2 = 0.5g ．设向上为 y 轴正向，则动量的 增量 2 1 p mv mv = − 方向竖直向上， 大小 p = mv2 − (−mv1 ) = mg 碰撞过程中动量不守恒．这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用．另外，碰 撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向上，这也说明动量不守恒． 2-8 作用在质量为10 kg的物体上的力为 F t i = (10 + 2 ) N，式中 t 的单位是s，(1)求4s后， 这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量．(2)为了使这力的冲量为200 N·s， 该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度 j − 6 m·s -1的物体, 回答这两个问题． 解: (1)若物体原来静止，则 p F t t i t i t 1 0 4 0 1 d (10 2 ) d 56 kg m s − = = + = ,沿 x 轴正向， I p i i m p v 1 1 1 1 1 1 56 kg m s 5.6 m s − − = = = = 若物体原来具有 −6 1 m s − 初速，则 = − = − + = − + t t t mv F t m F p mv p m v 0 0 0 0 0 , ( 0 d ) d 于是