《大学物理》课程教学资源（教案讲义）ch9 恒定磁场

第九章稳恒磁场 引言 一、人类对磁现象的认识历史 1.磁性 天然磁铁(F©O,)或人造磁铁具有能吸引铁、钴、镍等物质的特性一磁性：磁铁具有磁 同时存在，不可分割（磁单极子）：磁极之间有相互作用力一 “磁石”等记载 时相 世纪：指南针： 1819年：奥斯忒发现电流对小磁针的作用： 1820年：安培发现磁铁对载流导线或载流线圈的作用： 1822年：安培提出了有关物质磁性本质的假说一分子电流观点，认为一切磁现象的根源 是运动的电荷（即电流）。 3.磁性起源和电、破本质的统一性 生磁效应，也能受磁力的作用。一切磁现象都起源于电荷的运动。它们 为运动电荷之间的作用力。 科 电磁技术 磁芯、Floppy and Hard disk、MO机等 (3)CRT显示器http://homedq.hl.cninfo.net/-lIs 二、本章内容简介 本章者重讨论恒定电流激发磁场的规律和性质。主要包括：磁感应强度：毕奥一萨伐尔 定律：直空 中磁场的高斯定理：安培环路定理：电流或运动电荷在外破场中的受力 一安培力 和洛仑兹力。 本讲重点：磁感应强度：毕奥一萨伐尔定律： 本讲难点：毕奥一萨伐尔定律的应用： 9.1磁场磁感强度 一基本磁现象 中国在磁学方面的贡献： 最早发现磁现象：磁石吸引铁屑 存秋战国《吕氏春秋》记载：磁石召铁

第九章 稳恒磁场 引 言 一、人类对磁现象的认识历史 1．磁性 天然磁铁（Fe3O4）或人造磁铁具有能吸引铁、钴、镍等物质的特性—磁性；磁铁具有磁 极—N 极、S 极，N 极、S 极同时存在，不可分割（磁单极子）；磁极之间有相互作用力—— 磁力。同号磁极相斥，异号磁极相吸。 2．历史 战国时期（公元前 300 年）有“磁石”等记载； 东汉时期王充：“司南”指南的记载描述； 11 世纪：指南针； 1819 年：奥斯忒发现电流对小磁针的作用； 1820 年：安培发现磁铁对载流导线或载流线圈的作用； 1822 年：安培提出了有关物质磁性本质的假说—分子电流观点，认为一切磁现象的根源 是运动的电荷（即电流）。 3．磁性起源和电、磁本质的统一性 运动电荷既能产生磁效应，也能受磁力的作用。一切磁现象都起源于电荷的运动。它们 之间的相互作用力均为运动电荷之间的作用力。 4．计算机科技与电磁技术 （1）存储器 磁芯、Floppy and Hard disk、MO 机等； （2）微型电机； （3）CRT 显示器 http://home.dq.hl.cninfo.net/~lls 二、本章内容简介 本章着重讨论恒定电流激发磁场的规律和性质。主要包括：磁感应强度；毕奥—萨伐尔 定律；真空中磁场的高斯定理；安培环路定理；电流或运动电荷在外磁场中的受力—安培力 和洛仑兹力。 本讲重点：磁感应强度；毕奥—萨伐尔定律； 本讲难点：毕奥—萨伐尔定律的应用； 9.1 磁场 磁感强度 一. 基本磁现象 中国在磁学方面的贡献： 最早发现磁现象：磁石吸引铁屑 春秋战国《吕氏春秋》记载：磁石召铁  

东汉王充《论衡》描述：司南勺一最早的指南器具四百年 十二世纪己有关于指南针用于航海的记载 早期的磁现象包括： ()天然磁铁吸引铁、钴、镍等物质。 (2)条形磁铁两端磁性最强，称为磁极。一只能够在水平面内自由转动的条形磁铁，平衡 时总是顺若南北指向。指北的一端称为北极或N极，指南的一端称为南极或S极。同性磁极 相互排斥，异性磁极相互吸引。 (3)把磁铁作任意分割，每一小块都有南北两极，任一磁铁总是两极同时存在 (④)某些本来不显磁性的物质，在接近或接触磁铁后就有了磁性，这种现象称为磁化 安培提出分子电流假设。 磁现象的电本质一运动的电荷产生磁场 二、磁感应强度 电流或运动电荷之间相互作用的磁力是通过磁场而作用的。故磁力称为磁场力。 1.运动电荷在磁场中受力实验和结果 (大量实验结果表明) (1)磁场力方向F⊥（似，B),即F始终垂直v与B组成的 平面： B时，F-0,1B时，F=E达到最大值。 (3)上在某点有确定值，即反映该点磁场强弱的性质。 图11-洛仑兹力 2隘场中电某点磁感度B的的方向，或者该点处的小磁针N极的指向。 电荷的F (2)B的大小：B= ,是矢量点函 数，即B=B)若场中各点都相同，则称该破场为匀强破场。 (2)单位 特斯拉(T)1T=1N·S·C·m. 高斯(G)1G=11.T (3)常见磁场的磁感应强度大小的数量级。 (4)可以用电磁铁来产生磁场，在如图11-2所示的电磁铁两极表面之间约4-1-©m宽 的空气隙中，可以产生3T的强磁场

2 东汉王充《论衡》描述：司南勺⎯最早的指南器具四百年 十二世纪已有关于指南针用于航海的记载 早期的磁现象包括: (1)天然磁铁吸引铁、钴、镍等物质。 (2)条形磁铁两端磁性最强，称为磁极。一只能够在水平面内自由转动的条形磁铁，平衡 时总是顺着南北指向。指北的一端称为北极或 N 极，指南的一端称为南极或 S 极。同性磁极 相互排斥，异性磁极相互吸引。 (3)把磁铁作任意分割，每一小块都有南北两极，任一磁铁总是两极同时存在。 (4)某些本来不显磁性的物质，在接近或接触磁铁后就有了磁性，这种现象称为磁化 安培提出分子电流假设: 磁现象的电本质—运动的电荷产生磁场 二、磁感应强度 电流或运动电荷之间相互作用的磁力是通过磁场而作用的。故磁力称为磁场力。 1．运动电荷在磁场中受力实验和结果 （大量实验结果表明） （1）磁场力方向 F ⊥ (v,B) ，即 F 始终垂直 v 与 B 组成的 平面； （2）磁场力大小 F  q, v . F 与 v 的方向有关，但有两种特殊情况： v //B 时，F=0， v ⊥ B 时， F = F⊥ 达到最大值。 （3） qv F⊥ 在某点有确定值，即反映该点磁场强弱的性质。 图 11-1 洛仑兹力 2．磁场中某点磁感强度 B 的定义 （1）方向：+q 电荷的 F v ⊥ 的方向，或者该点处的小磁针 N 极的指向。 （2） B 的大小： qv F B ⊥ = . 3．说明 （1）B 是描述磁场中各点磁场的强弱和方向的物理量，是矢量点函 数，即 B = B(r) . 若场中各点 都相同，则称该磁场为匀强磁场。 （2）单位 特斯拉（T） 1T=1N·S·C -1·m-1 . 高斯（G）1G=11- -4T . （3）常见磁场的磁感应强度大小的数量级。 （4）可以用电磁铁来产生磁场，在如图 11-2 所示的电磁铁两极表面之间约 4-11-cm 宽 的空气隙中，可以产生 3T 的强磁场。  z x B y v +q O

三、磁感（应）线 磁感应线(B线)是为形象描绘磁场空间分布而人为描绘出的一系列曲线族。 表该提扬由任一应上某点的切线方向代 1:定 2大小西过垂直于感应强度B的单位面积上的磁感 应线根数等于该处的B量值。即磁感应线的疏密程度反映了磁场 的强弱。 ).结占 (1)由于磁场中某点的磁感强度的方向是确定的，所以磁场 中任意两条磁感线不会相交。与电场线一样。 图11-13磁感线 线金高得的合线，设有起点也纹有件合。店广特性与电 (3)磁感应线与电流1的方向关系一右手定则。 四、磁通量 磁感线稠密的地方，磁感强度大：磁感线稀疏的地方，磁感强度小。 酒过场中某 若磁场是非均 是任意 ds白 而通过有限曲面S的磁通量D=∫dD=∫Bcos0S=[BdS。 2.说明 (1)磁感线从闭合曲面内穿出时，中>0：而当磁感线从闭合曲面外穿入时，中<0. (2)磁通量的单位：韦伯(Wb)1Wb-1T·m2. (3)磁通量的计算公式在后面电磁感应章节将会用到。 C.磁场的高斯定理 由于磁感应线是无头无尾的闭合曲线，故总通量为零，即{B心=0，这就是磁场的高 斯定理，它反映了 D毕奥一萨伐尔定律 使用Biot-Savart Law如何计算磁场的磁感强度B? 点电荷一点电荷系（带电体）一E=正元电流一电流（载流体）→B=B 1.文字衣述 我流导线上任一电流元仙在真空中某点P处产生的磁感强度 dB,大小dBsin0:方向垂直于和r所组成的平面，并 沿矢积d山xr的方向

3 三、磁感（应）线 磁感应线（B 线）是为形象描绘磁场空间分布而人为描绘出的一系列曲线族。 1．定义 （1）方向：规定磁场中任一磁感应线上某点的切线方向，代 表该点磁感应强度 B 的方向。 （2）大小：通过垂直于磁感应强度 B 的单位面积上的磁感 应线根数等于该处的 B 量值。即磁感应线的疏密程度反映了磁场 的强弱。 2．特点 （1）由于磁场中某点的磁感强度的方向是确定的，所以磁场 中任意两条磁感线不会相交。与电场线一样。 图 11-13 磁感线 （2）每一条磁感线都是围绕电流的闭合曲线，没有起点，也没有终点。这一特性与电 场线完全不同，因为磁场是一种涡旋场。 （3）磁感应线与电流 I 的方向关系—右手定则。 四、磁通量 磁感线稠密的地方，磁感强度大；磁感线稀疏的地方，磁感强度小。 1．定义 通过磁场中某一曲面的磁感线数称为通过该曲面的磁通量，用  表示。 若磁场是非均匀的，曲面 S 是任意的，则通过面积元 dS 的磁通量为 d = BcosdS = BdS . 而通过有限曲面 S 的磁通量 = d = cos d = B dS S  S   B  S . 2．说明 （1）磁感线从闭合曲面内穿出时，   0 ；而当磁感线从闭合曲面外穿入时，   0 . （2）磁通量的单位：韦伯（Wb）1Wb=1T·m2． （3）磁通量的计算公式在后面电磁感应章节将会用到。 C.磁场的高斯定理 由于磁感应线是无头无尾的闭合曲线，故总通量为零，即 d = 0  B S S ，这就是磁场的高 斯定理，它反映了磁场是无源场（ B = 0 ）这一重要特性。 图 11-2 电磁铁 D 毕奥—萨伐尔定律 使用 Biot-Savart Law 如何计算磁场的磁感强度 B ？ 点电荷→点电荷系(带电体) →  E = dE . 元电流→电流(载流体）→  B = dB . 1．文字表述 载流导线上任一电流元 Idl 在真空中某点 P 处产生的磁感强度 dB ，大小 2 d sin d r I l B    ；方向垂直于 Idl 和 r 所组成的平面，并 沿矢积 dl r 的方向。 Idl I dB r P  B en  S dS

2数学表达式：世会子 3.说明 图113电流元产生的磁场 (1)4=4元×10-7N·A32 一真空磁导率： (2):,一沿位置矢量r方向的单位矢量： (3)山xr的方向即由仙经小于180°的角转向r时的右螺旋前进方向： (4)任意载流导线（段）在P点处的磁感强度B可由下式求得 B=a8=装兰 二、运动电荷的磁场 的卡的是大自由电子价定向运动。因此。电流健场的质是这运对电药产生 下面由毕爽 一蔬伐尔定使推出运动申昔所产生的酸感强度 电流元对应的截面积为S设其中单位体积内有个分别带电9、以速度，作定向运 对正电奇，则单合时阿随过质高代件奇 I=anS. 由毕奥一萨伐尔定律得，并注意到山和v的方向一致，可得 d dB=会”·在电流元应对应的体积内带电粒子 r 因此每 数目为dN 个以建度运动的电，在距它为处所产生的为超动电 B=-么”=绘 方向为右手螺旋方向。（注意上述公式在，→ 不适用 【例4】一半径为r的薄圆盘，其电荷面密 90 度为。，设圆盘以角速度。绕通过盘心垂直盘面 的：轴转动，秒圆盘中心的磁感强度。 图11-11运动电荷产生的磁场 【解】设圆盘带正电荷，且绕轴O逆时针旋转。在圆盘上取 分别为p和p+dp的细环带。此环带的电量为dy=c2pdp,考虑到圆盘 以角速度。绕轴0旋转，即每秒转口一会圈。于是此环带上的圆电流为 d山==2o2dp=pdp. 图1一12例 图 己知圆电流在圆心的磁感应强度的值为B=,其中I为圆电流，R为圆电流半径。因 此，圆盘上细环带在盘心O的磁感强度的值为 dB-dl=do, 于是整个圆盘转动时，在盘心0的磁感强度B的值为B=B=0[即=.如圆盘

4 2．数学表达式： 2 0 d 4 d r I I r l e l   =  ． 3．说明 图 11-3 电流元产生的磁场 （1） 7 2 0 4 10 − −  =  N  A ——真空磁导率； （2） r e —沿位置矢量 r 方向的单位矢量； （3） dl r 的方向即由 Idl 经小于 180°的角转向 r 时的右螺旋前进方向； （4）任意载流导线（段）在 P 点处的磁感强度 B 可由下式求得     = = 2 0 d 4 d r I r l e B B  ． 二、运动电荷的磁场 导体中的电流是大量自由电子的定向运动。因此，电流磁场的本质是这些运动电荷产生 的磁场的宏观表现。 下面由毕奥—萨伐尔定律推出运动电荷所产生的磁感强度。 电流元 Idl 对应的截面积为 S. 设其中单位体积内有 n 个分别带电 q、以速度 v 作定向运 动的正电荷，则单位时间通过截面 S 的电量（即电流强度） 为 I = qnvS． 由毕奥—萨伐尔定律得，并注意到 dl 和 v 的方向一致，可得 3 0 d 4 d r nS lqv r B   =  ．在电流元 Idl 对应的体积内带电粒子 数目为 dN = ndV = nSdl． 图 11-11- 运动电荷 因此每一个以速度 v 运动的电荷，在距它为 r 处所产生的磁感强度为 2 0 3 0 d 4 4 d r q r q N r B v r v e B   =   = =   ． 方向为右手螺旋方向。（注意上述公式在 v → c 不适用） 【例 4】 一半径为 r 的薄圆盘，其电荷面密 度为  ，设圆盘以角速度  绕通过盘心垂直盘面 的：轴转动，秒圆盘中心的磁感强度。 图 11-11 运动电荷产生的磁场 【解】设圆盘带正电荷，且绕轴 O 逆时针旋转。在圆盘上取一半径 分别为  和  + d 的细环带。此环带的电量为 dq =2d ，考虑到圆盘 以角速度  绕轴 O 旋转，即每秒转  = 2  n 圈。于是此环带上的圆电流为       2 d d 2 d d  =  I = n q = . 图 11-12 例 4 图 已知圆电流在圆心的磁感应强度的值为 R I B 2 0 = ，其中 I 为圆电流，R 为圆电流半径。因 此，圆盘上细环带在盘心 O 的磁感强度的值为      d 2 d 2 d 0 0 B = I = ， 于是整个圆盘转动时，在盘心 O 的磁感强度 B 的值为 2 d 2 d 0 r 0 0 r B B       = = =   ．如圆盘 dl I S S I r +q v B  r -q v B   O  r d

荷正电，则B的方向垂直纸面向外。 E、毕奥一萨伐尔定律应用举例 两种基本电流周围的磁感应强度的分布：载流直导线：圆电流。 【例1】求证一段载流长直导线的磁场B=(cos0,-c0s0,): ,任取一电流 元d,由毕 dB=丝sm2. 方向为⑧.所有电流元在P点产生的磁场方向相同，所以求总磁感 强度的积分为标量积分，即B=∫B=∫必m (1) 由图1l-4得：=arctan-)=-arctane, 图114例1图 因此在=sa0.此外，r=n公-品。·代入得 8-j会n0-rn0-gom4-o4. aa 【讨论】(1)无限长直通电导线的磁场：B=,方向？ (2)半无限长直通电导线的磁场：B=, (3)其他例子 (a) 图115典型问题 (4)解题的关键：确定电流起点的日和电流终点的日， 求其轴线上距圆心 有一半径为R,通电流为1的细 (a) 图11-6例2图 【解】建立坐标系如图1l-6(a)所示，任取电流元dl,由毕一萨定律得：

5 荷正电，则 B 的方向垂直纸面向外。 E、 毕奥—萨伐尔定律应用举例 两种基本电流周围的磁感应强度的分布：载流直导线；圆电流。 【例 1】 求证一段载流长直导线的磁场 (cos cos ) 4 1 2 0 0    −  = r I B ． 【解】 建立如图 11-4 坐标系，在载流直导线上，任取一电流 元 Idz，由毕—萨定律得元电流在 P 点产生的磁感应强度大小为 2 0 d sin 4 d r I z B    = ． 方向为 ．所有电流元在 P 点产生的磁场方向相同，所以求总磁感 强度的积分为标量积分，即 2 0 d sin 4 d r I z B B      = = ． （1） 由图 11-4 得 z = arctan( −) = −arctan ， 图 11-4 例 1 图 因此 d csc d 2 z = a ．此外， sin(  ) sin a a r =  − = ．代入得 (cos cos ) 4 sin d 4 sin sin csc d 4 1 2 0 0 2 2 0 2 1              −  =  =        =   a I a I a Ia B ． 【讨论】（1）无限长直通电导线的磁场： 0 0 2 r I B  =  ，方向？ （2）半无限长直通电导线的磁场： 0 0 4 r I B  =  ． （3）其他例子 O P P P （a） （b） （c） （d） 图 11-5 典型问题 （4）解题的关键：确定电流起点的  1 和电流终点的  2 . 【例 2】 圆形载流导线轴线上的磁场。设在真空中，有一半径为 R ，通电流为 I 的细 导线圆环，求其轴线上距圆心 O 为 x 处的 P 点的磁感应强度。 r  // dB dB' dB dB⊥ O x x R I Idl Idl' B I （a） （b） 图 11-6 例 2 图 【解】 建立坐标系如图 11-6（a）所示，任取电流元 Idl ，由毕—萨定律得： I Idz z L a P y x O 1  2  r dB z