习题五 5-1振动和波动有什么区别和联系？平面简谐波动方程和简谐振动方程有什么不同？又有什 么联系？振动曲线和波形曲线有什么不同 解：(1)振动是指一个孤立的系统（也可是介质中的一个质元）在某固定平衡位置附近所做 的往复运动，系统离开平衡位置的位移是时间的周期性函数，即可表示为y=∫()：波动 是振动在连续介质中的传播过程，此时介质中所有质元都在各自的平衡位置附近作振动，因 此介质中任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置x,又是时间1的函数，即y=∫(x,) (②)在谐振动方程y=∫()中只有一个独立的变量时间1，它描述的是介质中一个质元偏离 平衡位置的位移随时间变化的规律：平面谐波方程y=f(x,)中有两个独立变量，即坐标 位置x和时间1，它描述的是介质中所有质元偏离平衡位置的位移随坐标和时间变化的规 律. 当谐波方程y=AC0s01-)中的坐标位置给定后，即可得到该点的振动方程，而波源持 续不断地振动又是产生波动的必要条件之一 (3)振动曲线y=)描述的是一个质点的位移随时间变化的规律，因此，其纵轴为y,横 轴为1：波动曲线y=f(x,)描述的是介质中所有质元的位移随位置，随时间变化的规律， 其纵轴为y,横轴为x.每一幅图只能给出某一时刻质元的位移随坐标位置x变化的规律。 即只能给出某一时刻的波形图，不同时刻的波动曲线就是不同时刻的波形图 52被动方程y=Aos[1-)片m]中的表示什么蜘果改写为y=Ac0s (0-m+),又是什么意思？如果1和x均增加，但相应的[0(1-三)+p,]的值 不变，由此能从波动方程说明什么？ 解：波动方程中的x1:表示了介质中坐标位置为x的质元的振动落后于原点的时间：”则 表示x处质元比原点落后的振动位相：设1时刻的波动方程为 y.Acos( 则1+山时刻的波动方程为 y=Acos[o(+A) 其表示在时刻1，位置x处的振动状态，经过山后传播到x+山处.所以在(O-吗)中， 当1，x均增加时，(-)的值不会变化，而这正好说明了经过时间△山，波形即向前传 播了△r=山的距离，说明y=Ac0s0W-匹+，)描述的是一列行进中的波，故调之行
习题五 5-1 振动和波动有什么区别和联系?平面简谐波动方程和简谐振动方程有什么不同?又有什 么联系?振动曲线和波形曲线有什么不同? 解: (1)振动是指一个孤立的系统(也可是介质中的一个质元)在某固定平衡位置附近所做 的往复运动，系统离开平衡位置的位移是时间的周期性函数，即可表示为 y = f (t) ；波动 是振动在连续介质中的传播过程，此时介质中所有质元都在各自的平衡位置附近作振动，因 此介质中任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置 x ，又是时间 t 的函数，即 y = f (x,t) ． (2)在谐振动方程 y = f (t) 中只有一个独立的变量时间 t ，它描述的是介质中一个质元偏离 平衡位置的位移随时间变化的规律；平面谐波方程 y = f (x,t) 中有两个独立变量，即坐标 位置 x 和时间 t ，它描述的是介质中所有质元偏离平衡位置的位移随坐标和时间变化的规 律． 当谐波方程 cos ( ) u x y = A t − 中的坐标位置给定后，即可得到该点的振动方程，而波源持 续不断地振动又是产生波动的必要条件之一． (3)振动曲线 y = f (t) 描述的是一个质点的位移随时间变化的规律，因此，其纵轴为 y ，横 轴为 t ；波动曲线 y = f (x,t) 描述的是介质中所有质元的位移随位置，随时间变化的规律， 其纵轴为 y ，横轴为 x ．每一幅图只能给出某一时刻质元的位移随坐标位置 x 变化的规律， 即只能给出某一时刻的波形图，不同时刻的波动曲线就是不同时刻的波形图． 5-2 波动方程 y = A cos［ ( u x t − )+ 0 ］中的 u x 表示什么?如果改写为 y = A cos ( 0 − + u x t )， u x 又是什么意思?如果 t 和 x 均增加，但相应的［ ( u x t − )+ 0 ］的值 不变，由此能从波动方程说明什么? 解: 波动方程中的 x / u 表示了介质中坐标位置为 x 的质元的振动落后于原点的时间； u x 则 表示 x 处质元比原点落后的振动位相；设 t 时刻的波动方程为 cos( ) 0 = − + u x y A t t 则 t + t 时刻的波动方程为 ] ( ) cos[ ( ) 0 + + + = + − u x x y A t t t t 其表示在时刻 t ，位置 x 处的振动状态，经过 t 后传播到 x + ut 处．所以在 ( ) u x t − 中， 当 t ，x 均增加时， ( ) u x t − 的值不会变化，而这正好说明了经过时间 t ，波形即向前传 播了 x = ut 的距离，说明 cos( ) 0 = − + u x y A t 描述的是一列行进中的波，故谓之行
波方程， 5-3波在介质中传播时，为什么介质元的动能和势能具有相同的位相，而弹簧振子的动能和 势能却没有这样的特点？ 解：我们在讨论波动能量时，实际上讨论的是介质中某个小体积元d内所有质元的能 量.波动动能当然是指质元振动动能，其与振动速度平方成正比，波动势能则是指介质的形 变势能。形变势能由介质的相对形变量（即应变量）决定.如果取波动方程为y=∫(x,) 则相对形变量（即应变量）为y/x,波动势能则是与/x的平方成正比.由波动曲线图 (题5-3图)可知，在波峰，波谷处，波动动能有极小（此处振动速度为零），而在该处的应变 也为极小（该处y/x=0),所以在波峰，波谷处波动势能也为极小：在平衡位置处波动动 能为极大（该处振动速度的极大），而在该处的应变也是最大（该处是曲线的拐点），当然波动 势能也为最大，这就说明了在介质中波动动能与波动势能是同步变化的，即具有相同的量值， 题5-3图 于一个孤立的诰振动系统，是一个孤立的保守系统，机械能守恒，即振子的动能与势 能之和保持为一个常数，而动能与势能在不断地转换，所以动能和势能不可能同步变化。 5-4波动方程中，坐标轴原点是否一定要选在波源处？1=0时刻是否一定是波源开始振动的 时刻？波动方程写成y=Acos0(1-)时，波源一定在坐标原点处吗？在什么前提下波动 方程才能写成这种形式？ 解：由于坐标原点和开始计时时刻的选全完取是一种主观行为，所以在波动方程中，坐标原 点不一定要选在波源处，同样，1=0的时刻也不一定是波源开始振动的时刻：当波动方程 写成y=Acos(1-)时，坐标原点也不一定是选在波源所在处的.因为在此处对于波源 的含义已做了拓展，即在写波动方程时，我们可以把介质中某一已知点的振动视为波源，只 要把振动方程为已知的点选为坐标原点，即可得题示的波动方程。 55在驻波的两相邻波节间的同一半波长上，描述各质点振动的什么物理量不同，什么物理 量相同？ 取驻波方程为y=p1cs受a1,则可知，在相被节中的-半波长上， 描述各质点的振幅是不相同的，各质点的振幅是随位置按余弦规律变化的，即振幅变化规律 可表示为2Ac0 而在这同一半波长上，各质点的振动位相则是相同的，即以相舒 2π 两波节的介质为一段，同一段介质内各质点都有相同的振动位相，而相邻两段介质内的质点 振动位相则相反. 5-6波源向着观察者运动和观察者向波源运动都会产生频率增高的多普勒效应，这两种情 况有何区别？
波方程． 5-3 波在介质中传播时，为什么介质元的动能和势能具有相同的位相，而弹簧振子的动能和 势能却没有这样的特点? 解: 我们在讨论波动能量时，实际上讨论的是介质中某个小体积元 dV 内所有质元的能 量．波动动能当然是指质元振动动能，其与振动速度平方成正比，波动势能则是指介质的形 变势能．形变势能由介质的相对形变量(即应变量)决定．如果取波动方程为 y = f (x,t) ， 则相对形变量(即应变量)为 y / x .波动势能则是与 y / x 的平方成正比．由波动曲线图 (题 5-3 图)可知，在波峰，波谷处，波动动能有极小(此处振动速度为零)，而在该处的应变 也为极小(该处 y / x = 0 )，所以在波峰，波谷处波动势能也为极小；在平衡位置处波动动 能为极大(该处振动速度的极大)，而在该处的应变也是最大(该处是曲线的拐点)，当然波动 势能也为最大．这就说明了在介质中波动动能与波动势能是同步变化的，即具有相同的量值． 题 5-3 图 对于一个孤立的谐振动系统，是一个孤立的保守系统，机械能守恒，即振子的动能与势 能之和保持为一个常数，而动能与势能在不断地转换，所以动能和势能不可能同步变化． 5-4 波动方程中，坐标轴原点是否一定要选在波源处? t =0时刻是否一定是波源开始振动的 时刻? 波动方程写成 y = A cos ( u x t − )时，波源一定在坐标原点处吗?在什么前提下波动 方程才能写成这种形式? 解: 由于坐标原点和开始计时时刻的选全完取是一种主观行为，所以在波动方程中，坐标原 点不一定要选在波源处，同样， t = 0 的时刻也不一定是波源开始振动的时刻；当波动方程 写成 cos ( ) u x y = A t − 时，坐标原点也不一定是选在波源所在处的．因为在此处对于波源 的含义已做了拓展，即在写波动方程时，我们可以把介质中某一已知点的振动视为波源，只 要把振动方程为已知的点选为坐标原点，即可得题示的波动方程． 5-5 在驻波的两相邻波节间的同一半波长上，描述各质点振动的什么物理量不同，什么物理 量相同? 解: 取驻波方程为 y A x vt cos 2 = 2 cos ，则可知，在相邻两波节中的同一半波长上， 描述各质点的振幅是不相同的，各质点的振幅是随位置按余弦规律变化的，即振幅变化规律 可表示为 A x 2 2 cos ．而在这同一半波长上，各质点的振动位相则是相同的，即以相邻 两波节的介质为一段，同一段介质内各质点都有相同的振动位相，而相邻两段介质内的质点 振动位相则相反． 5-6 波源向着观察者运动和观察者向波源运动都会产生频率增高的多普勒效应，这两种情 况有何区别?
解：波源向着观察者运动时，波面将被挤压，波在介质中的波长，将被压缩变短，（如题5-6 图所示)，因而观察者在单位时间内接收到的完整数目(/入')会增多，所以接收频率增高： 而观察者向着波源运动时，波面形状不变，但观察者测到的波速增大，即W=“+Y。,因 而单位时间内通过观察者完整波的数目二也会增多，即接收频率也将增高。简单地说，前 者是通过压缩波面（缩短波长）使频率增高，后者则是观察者的运动使得单位时间内通过的波 面数增加而升高频率 M侵益是路的然是故在 ()一秒*后的情形 )该运动而观察者不动 (1)在拍照的瞬间 ()一秒种后的情形 (6)履黎者运动而波源不动 题5-6图多兽勘效应 5-7一平面简谐波沿x轴负向传播，波长元=1.0m,原点处质点的振动频率为y=2.0z 振幅A=0.1m,且在1=0时恰好通过平衡位置向y轴负向运动，求此平面波的波动方程。 解：由愿知1=0时原点处质点的振动状态为%=0，。<0，故知原点的振动初相为二，取 波动方程为y=Acos2π（宁++，则有 y=01cos2a2+月+ =0.1cos(4a+2a+)m 5-8己知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为y=Acos(B-Cx),其中A,B, C为正值恒量.求： (1)波的振幅、波速、频率、周期与波长：
解: 波源向着观察者运动时，波面将被挤压，波在介质中的波长，将被压缩变短，(如题 5-6 图所示)，因而观察者在单位时间内接收到的完整数目( u / )会增多，所以接收频率增高； 而观察者向着波源运动时，波面形状不变，但观察者测到的波速增大，即 B u = u + v ，因 而单位时间内通过观察者完整波的数目 u 也会增多，即接收频率也将增高．简单地说，前 者是通过压缩波面(缩短波长)使频率增高，后者则是观察者的运动使得单位时间内通过的波 面数增加而升高频率． 题 5-6 图多普勒效应 5-7 一平面简谐波沿 x 轴负向传播，波长 =1.0 m，原点处质点的振动频率为 =2. 0 Hz， 振幅 A ＝0.1m，且在 t =0 时恰好通过平衡位置向 y 轴负向运动，求此平面波的波动方程． 解: 由题知 t = 0 时原点处质点的振动状态为 y0 = 0,v0 0 ，故知原点的振动初相为 2 ,取 波动方程为 cos[2 ( ) ] 0 = + + x T t y A 则有 ] 2 ) 1 0.1cos[2 (2 = + + x y t ) 2 0.1cos(4 2 = t + x + m 5-8 已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为 y = A cos( Bt −Cx )，其中 A ， B ， C 为正值恒量．求： (1)波的振幅、波速、频率、周期与波长；
(2)写出传播方向上距离波源为1处一点的振动方程： (3)任一时刻，在波的传播方向上相距为d的两点的位相差 解：(1)已知平面简谐波的波动方程 y=Acos(Br-Cx)(x20) 将上式与波动方程的标准形式 y=Acos(2ru-2) 比较，可知： 波报幅为A,频率D=2元 B 波动周期T={-2红 U B (②)将x=I代入波动方程即可得到该点的振动方程 y=Acos(Bt-Cl) (3)因任一时刻1同一波线上两点之间的位相差为 A0=经x-x) 将石-x=d,及元=2票代入上式，即得 △o=Cd. 5-9沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为y=0.05cos(10m-4π)，式中x,y以米计， 1以秒计.求： ()波的波速、频率和波长： (2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度： (3)求x=0.2m处质点在1=1s时的位相，它是原点在哪一时刻的位相？这一位相所代表的运 动状态在1=1.25s时刻到达哪一点？ 解：()将题给方程与标准式 y=Acos(2ru-) 相比，得振幅A=0.05m,频率v=5s',波长入=0.5m,波速u=w=2.5ms (2)绳上各点的最大振速，最大加速度分别为 Vms=M=10×0.05=0.5rms am=02A=(10x)2×0.05=5x2ms (3)x=0.2m处的振动比原点落后的时间为
(2)写出传播方向上距离波源为 l 处一点的振动方程； (3)任一时刻，在波的传播方向上相距为 d 的两点的位相差． 解: (1)已知平面简谐波的波动方程 y = Acos(Bt −Cx) ( x 0 ) 将上式与波动方程的标准形式 cos(2 2 ) x y = A t − 比较，可知： 波振幅为 A ，频率 2 B = ， 波长 C 2 = ，波速 C B u = = ， 波动周期 B T 1 2 = = ． (2)将 x = l 代入波动方程即可得到该点的振动方程 y = Acos(Bt − Cl) (3)因任一时刻 t 同一波线上两点之间的位相差为 ( ) 2 2 1 = x − x 将 x2 − x1 = d ，及 C 2 = 代入上式，即得 = Cd ． 5-9 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为 y =0.05cos(10 t − 4x )，式中 x , y 以米计， t 以秒计．求： (1)波的波速、频率和波长； (2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度； (3)求 x =0.2m 处质点在 t =1s时的位相，它是原点在哪一时刻的位相?这一位相所代表的运 动状态在 t =1.25s时刻到达哪一点? 解: (1)将题给方程与标准式 ) 2 y Acos(2 t x = − 相比，得振幅 A = 0.05 m ，频率 = 5 −1 s ，波长 = 0.5 m ，波速 u = = 2.5 1 m s − ． (2)绳上各点的最大振速，最大加速度分别为 vmax =A =10 0.05 = 0.5 1 m s − 2 2 2 amax = A = (10 ) 0.05 = 5 2 m s − (3) x = 0.2 m 处的振动比原点落后的时间为
故x=0.2m,1=1s时的位相就是原点(x=0),在。-1-0.08=0.92s时的位相， 四 =9.2T. 设这一位相所代表的运动状态在1=1.25s时刻到达x点，则 x=x1+1-41)=0.2+2.50.25-1.0)=0.825m 5-10如题5-10图是沿x轴传播的平面余弦波在1时刻的波形曲线。(1)若波沿x轴正向传 播，该时刻O,A,B,C各点的振动位相是多少？（②）若波沿x轴负向传播，上述各点的 振动位相又是多少？ 解：（①）波沿x轴正向传播，则在1时刻，有 大A: 题5-10图 对于0点：“%=0，%<0，六o= 2 对于A点：y4=+A,v4=0,中4=0 对好B点：男，=0，>≥0.=-牙 对于C点：“必=0，<0，所。=- 2 (取负值：表示A、B、C点位相，应落后于O点的位相) (2)波沿x轴负向传播，则在1时刻，有 对F0点：%=0%>0,6-月 对于A点：=+A1=0,六=0 对于B点：%=0%<0，所=号 对于C点：=0>0，=西 (此处取正值表示A、B、C点位相超前于O点的位相) 5-11一列平面余弦波沿x轴正向传播，波速为5m·s,波长为2m,原点处质点的振动曲线 如题5-11图所示. (1)写出波动方程： (②)作出1=0时的波形图及距离波源0.5m处质点的振动曲线 解：(0由题5-10图知，A=01且1=0时，%=0>0，÷%=钙
0.08 2.5 0.2 = = u x s 故 x = 0.2 m, t =1 s 时的位相就是原点( x = 0 )，在 t 0 =1− 0.08 = 0.92 s 时的位相， 即 = 9.2 π． 设这一位相所代表的运动状态在 t =1.25 s 时刻到达 x 点，则 x = x1 +u(t −t 1 ) = 0.2 + 2.5(1.25−1.0) = 0.825 m 5-10 如题5-10图是沿 x 轴传播的平面余弦波在 t 时刻的波形曲线．(1)若波沿 x 轴正向传 播，该时刻 O， A ， B ，C 各点的振动位相是多少?(2)若波沿 x 轴负向传播，上述各点的 振动 位相又是多少? 解: (1)波沿 x 轴正向传播，则在 t 时刻，有 题 5-10 图 对于 O 点：∵ yO = 0,vO 0 ，∴ 2 O = 对于 A 点：∵ yA = +A,vA = 0 ，∴ A = 0 对于 B 点：∵ yB = 0,vB 0 ，∴ 2 B = − 对于 C 点：∵ yC = 0,vC 0 ，∴ 2 3 C = − (取负值：表示 A、B、C 点位相，应落后于 O 点的位相) (2)波沿 x 轴负向传播，则在 t 时刻，有 对于 O 点：∵ yO = 0,vO 0 ，∴ 2 O = − 对于 A 点：∵ y A = +A,v A = 0 ，∴ A = 0 对于 B 点：∵ y B = 0,v B 0 ，∴ 2 B = 对于 C 点：∵ yC = 0,vC 0 ，∴ 2 3 C = (此处取正值表示 A、B、C 点位相超前于 O 点的位相) 5-11 一列平面余弦波沿 x 轴正向传播，波速为5m·s -1，波长为2m，原点处质点的振动曲线 如题5-11图所示． (1)写出波动方程； (2)作出 t =0时的波形图及距离波源0.5m处质点的振动曲线． 解: (1)由题 5-11(a)图知， A = 0.1 m，且 t = 0 时， y0 = 0,v0 0 ，∴ 2 3 0 =