《大学物理》课程教学资源（教案讲义）ch9 恒定磁场

方向如图l-2(b)dB1,所有dB形成锥面。 将dB进行正交分解：dB=dB,+dB，,则由对称性分析得B,=∫B,=0,所以有 B=B,=∫dB,=∫dB=∫dBsin0. 因为0一冬，一常量，所以B一公二产4空，因为广心，S=,所以 B经 山nS 方向：沿x轴正方向，与电流成右螺旋关系。 【讨论】D圆心处的磁场：0，B=兰 2)当>R即P点远离圆环电流时，P点的愁感应强度为B=二 三、磁偶极矩 1.定义圆电流的磁矩m=S,如果电流回路为N匝线 圈，则载流线圈的总磁矩为m=N心，· 2磁偶极子及磁偶极磁场 当圆电流日 图11-7磁偶极子 磁偶极矩磁场为B=台”=台？，· 分子、原子、电子、质子等都可以等效为圆电流（具有磁矩）】 地球可以等效为大磁偶极子，磁矩大小为1m上80x10 A.m2 【例3】载流直螺线管的破场。设有一 总匝数N(单位长度绕有 匝线圈)，试求 绕直螺线管，半径为R,通电流总长度L, P处的磁感应强度。 【解】建立坐标系，在距P点x处任意截取一小段r,其线圈匝数为 个圆电流，它在P点的磁感应强度为 Rd山 +x 图11-8例3图 B=∫dB=∫片 因为x=ReotB,=-Rcsc2B,R2+x2=r2=R2cscB代入上式得 B学.学

6 2 0 2 0 d 4 d sin90 4 d r I l r I l B  =  =    ． 方向如图 11-2（b） dB ⊥ (rIdl) ，所有 dB 形成锥面。 将 dB 进行正交分解： dB = dB// + dB⊥ ，则由对称性分析得 = dB = 0 B⊥  ⊥ ，所以有    B = B// = dB// = dB = dBsin ． 因为 r R sin = ，r=常量，所以 3 2 0 2 3 0 4 d 4 r IR l r IR B  R  =  =    . 因为 2 2 2 r = x + R ， 2 S = R . 所以， 2 2 3/ 2 0 3 2 0 2 2 (R x ) IS r IR B  + = =   . 方向：沿 x 轴正方向，与电流成右螺旋关系。 【讨论】（1）圆心处的磁场：x=0 ， R I B 2 0 = . （2）当 x>>R 即 P 点远离圆环电流时，P 点的磁感应强度为 3 0 2 x IS B  =  . 三、磁偶极矩 1．定义圆电流的磁矩 n m = ISe ，如果电流回路为 N 匝线 圈，则载流线圈的总磁矩为 NIS n m = e ． 2．磁偶极子及磁偶极磁场 当圆电流的半径很小或讨论远离圆电流处的磁场分布时， 把圆电流称为磁偶极子，产生的磁场称为磁偶极磁场。 磁偶极子磁矩为 n m = ISe ． 图 11-7 磁偶极子 磁偶极矩磁场为 n x m x e m B 3 0 3 0 2 2 =  =   ． 分子、原子、电子、质子等都可以等效为圆电流（具有磁矩）． 地球可以等效为大磁偶极子，磁矩大小为 22 | m |= 8.010 A·m2 ． 【例 3】 载流直螺线管的磁场。设有一密绕直螺线管，半径为 R ，通电流 I . 总长度 L， 总匝数 N（单位长度绕有 n 匝线圈），试求管内部轴线上一点 P 处的磁感应强度。 【解】 建立坐标系，在距 P 点 x 处任意截取一小段 dx ，其线圈匝数为 x L N dN = ndx = d ． 电流为 dI = IdN = Indx . 其相当于一个圆电流，它在 P 点的磁感应强度为 2 2 3/ 2 2 0 2 2 3/ 2 2 0 ( ) d ( ) 2 d 2 d R x R nI x R x R I B + = + =   . 因为螺线管各小段在 P 点的磁感应强度的方向均沿轴线向右， 所以整个螺线管在 P 点的磁感应强度的大小为 图 11-8 例 3 图 2 2 3/ 2 2 0 ( ) d 2 d R x R nI x B B + = =    ． 因为 x = Rcot , d csc d 2 x = −R ,  2 2 2 2 2 R + x = r = R csc 代入上式得   = = − 2 1 2 1 sin d ( csc ) 2 csc d 2 0 3 2 2 0            nI R nI R R B ． m I en x dx x 1   2 r R P L

B=4cas月-c0sA 【讨论】 《)管内轴线上中点的磁场B=4eas月=兰C4R严 长螺线管轴R时为为无限长螺线高时早行诺足石0，官丙悠场·无限 长螺线 B (3)半无限长螺线管左端面（或右端面），此时？=2， A=0（或期=，月=受) 因此B=,1,即其端面中心轴线上磁感应强度的大小为 管内的一半。 图11-9例3磁场曲线 9.2安培环路定理 一、稳相磁场的高斯定理 由于磁感应线是无头无尾的闭合曲线，故总通量为零，即∫B心=0，这就是磁场的高 斯定理，它反映了磁场是无源场(V·B=0)这一重要特性。 图11-2电磁铁 静电场：fEd山=0、中.={ES=∑9，为有源无旋场保守场。 0 磁场：fBdS=0,无源场，∫Bd=0. 二、安培环路定理 1。表述B山=%Σ·真空中的磁场中，沿任何闭合路径L一周的B矢量的线积分（即B 的环流)，等于闭合路径内所包围并穿过的电流的代数和的山。倍，而与路径的形状大小无关。 2.验证 11-3 直于电流1的 积分 路径， 因为cm:eo,8-器，所以B的环流为-广p-以 L d山=d山w+d山，这时 G fBd=fB,+d)=fBos0d+fBcou,=0+p=4 (3)若I在L外(L未包围)则 图11-14 fBd-Bd+B-d-gnip+2告dn-气Cap+ao)-e+(l-o

7 (cos cos ) 2 2 1 0    = − nI B . 【讨论】 （1）管内轴线上中点的磁场 2 2 1/ 2 0 0 2 2 ( / 4 ) cos L R nI l B nI + = =    . （2）当 L>>R 时，为无限长螺线管。此时 1 =  ，  2 = 0 ，管内磁场 B nI = 0 . 即无限 长螺线管轴线上及内部为均匀磁场，方向与轴线平行满足右 手定则。 （3）半无限长螺线管左端面（或右端面），此时 2 1   = ,  2 = 0 （ 或1 = ， 2 2   = ）， 因此 B nI 0 2 1 =  ，即其端面中心轴线上磁感应强度的大小为 管内的一半。 图 11-9 例 3 磁场曲线 9.2 安培环路定理 一、稳恒磁场的高斯定理 由于磁感应线是无头无尾的闭合曲线，故总通量为零，即 d = 0  B S S ，这就是磁场的高 斯定理，它反映了磁场是无源场（ B = 0 ）这一重要特性。 图 11-2 电磁铁 静电场：  d = 0  E l L 、  = =  = n b l l S e q 0 1 d   E S 为有源无旋场保守场。 磁场：  d = 0  B S S ，无源场，  d = 0  B l L . 二、安培环路定理 1．表述   = 0 ( ) L B dl  I 内 . 真空中的磁场中，沿任何闭合路径 L 一周的 B 矢量的线积分（即 B 的环流），等于闭合路径内所包围并穿过的电流的代数和的  0 倍，而与路径的形状大小无关。 2．验证 （1）如图 11-3 所示，设在真空中有一电流强度为 I 的无限长直导线，方向如图，在垂 直于电流 I 的平面上任取闭合路径 L 为 积分路径，磁感应强度 B 的环流为 B l L L d cosd   B l = ． 因为 cosdl = rd ， r I B  = 2 0 ，所以 B 的环流为 r I r I B L 0 2 0 0 d 2 d    =   =    l . （2）若闭合路径上某处 dl 不在上述平面内，则 dl 可以正交分解为 平行于上述平面的分量 d // l 和垂直于上述平面的分量 ⊥ dl ， 即 = + ⊥ dl dl dl // ，这时 r I e I L L L L 0 2 0 0 // // d 2 d (d d ) cos90 d cos d 0     =   =  + = + = +       ⊥ ⊥ B l B l l B l B l  ， （3）若 I 在 L 外（L 未包围 I）则 图 11-14       +   =       +   =  +  =                 0 0 0 0 0 d d 2 d 2 d 2 d d d 1 2 1 2 r I r r I r r I L L L L L B l B l B l  ( ) 0 2 d 0 + − =   =     r I L B l . nI 0 2 1  nI  0 2 l 2 l x B d r+dr r dl I L  P I  L1 L2 N L M

(4)若L包围+11，-2，如图1-16所示，则 fBdl=4-12) (5)其他情况 B dl HoNI fBd=4%(2), fBd山=0 ⊙ 图11-15图11-16 000 ⊙X⊙ 00⊙01 图1-7 3.注意事项 (1)电流的正负规定：若电流流向与积分回路的绕向满足右手螺旋关系，电流取正值： 反之取负值。 (2)只有环路内的电流对B的环流有贡献。 (3)闭合路径L上每一点的B是所有电流（包括闭合曲线外的）产生的磁感强度的矢 三、安培环路定理的应用举例 当电流分布具有对称性时（无限长、无限大、柱对称等），可应用安培环路定理求磁场 分布 【解】由对称性分析，磁场分布如图11-18.管内部B线平行于轴线，离轴等距离处B a→b→cd→a. 如图11-19所示，则B环流为 fBdl=∫B.dl+∫Bdl+∫Bdl+∫Bdl 因为 ∫B-dl=Bab、JB.dl=o,JB-dl=0,∫B.dl=0 故由安培环路定理得 Bdl=Bab=Hol nab). 解得 B=hI.(为均匀磁场 方向：右手螺旋定则

8 （4）若 L 包围 1 + I ， 2 − I ，如图 11-16 所示，则 d ( ) 0 1 2 I I L  = −  B l  . （5）其他情况 NI L d = 0   B l , d (2 ) 0 I L  =   B l , d = 0  B l L . 图 11-15 图 11-16 图 11-17 3．注意事项 （1）电流的正负规定：若电流流向与积分回路的绕向满足右手螺旋关系，电流取正值； 反之取负值。 （2）只有环路内的电流对 B 的环流有贡献。 （3）闭合路径 L 上每一点的 B 是所有电流（包括闭合曲线外的）产生的磁感强度的矢 量和。注意每一点的 B 和 B 的环流是两个不同的概念。 （4）安培环路定理是描述磁场特性的重要规律。磁场中 B 的环流一般不等于零，说明 磁场属于非保守场。 （5）定理仅适用于稳恒电流的稳恒磁场； 三、安培环路定理的应用举例 当电流分布具有对称性时（无限长、无限大、柱对称等），可应用安培环路定理求磁场 分布。 【例 4】 设此长直螺线管可视为无限长密绕螺线管，线圈中通电流 I，单位长密绕 n 匝 线圈，求管内磁场分布。 【解】 由对称性分析，磁场分布如图 11-18 . 管内部 B 线平行于轴线，离轴等距离处 B 大小相等。管外部贴近管壁处 B 趋近于零。 取过管内任一点 P 的矩形回路 abcda 为积分回路 L，绕行方向为 a →b →c →d →a . 如图 11-19 所示，则 B 环流为 Bdl = Bdl + Bdl + Bdl + Bdl L ab bc cd da . 因为 Bab ab  =  B dl 、 d = 0  B l bc , d = 0  B l cd , d = 0  B l da ， 故由安培环路定理得 Bab I(nab) L d = = 0   B l . 解得 B I = 0n .（为均匀磁场） 方向：右手螺旋定则。 L × I 1 I 2

⊙000000000000000 图11-18 【例胃环螺线管称为螺绕环。设露绕环轴线半径为R,环上均匀密绕距线圈， 通有电流。求环内磁场分布。 【解】(1)环管内环内的B线为一系列与环同心的圆周线，在环内任取一点P,取过 P1点作以O点为圆心，半径为r的圆周为积分回路L,方向与电流I构成右手螺旋方向， 由安培环路定理得B的环流为 即 B=R-号<r<R+ 2πr 当环很细，R很大时，即R>d时，可认为 令n= 效：B=2欲=（圈场集中环有，且助的分. (2)环管外 图11. 任取一点P2,过P2作扇形积分回路abcda,其绕行方向符合右手螺旋定则，由安培环 路定理，B的环流为 fBdl=⊥B.d+人B.dl+B.dl+Bdl=Bab+Bacd. 注意到 故得P2处的磁感应强度为 B=0, 即环管外无磁场： B=0

9 图 11-18 图 11-19 图 11-20 【例 5】 环形螺线管称为螺绕环。设螺绕环轴线半径为 R，环上均匀密绕 N 匝线圈， 通有电流 I. 求环内磁场分布。 【解】 （1）环管内环内的 B 线为一系列与环同心的圆周线，在环内任取一点 P1，取过 P1 点作以 O 点为圆心，半径为 r 的圆周为积分回路 L，方向与电流 I 构成右手螺旋方向， 由安培环路定理得 B 的环流为 B r NI L d 2 = 0  =   B l ， 即       −   +  = 2 2 2 0 d r R d R r NI B  . 当环很细，R 很大时，即 R>>d 时，可认为 r  R ， 令 R N n  = 2 ， nI R NI B 0 0 2   =  = （磁场集中在环内，且均匀分布）. （2）环管外 图 11-21 任取一点 P2，过 P2 作扇形积分回路 abcda，其绕行方向符合右手螺旋定则，由安培环 路定理， B 的环流为 Babab Bcd cd abcd ab bc cd da    =  +  +  +  = +      B dl ˆ B dl B dl ˆ B dl B dl . B ab B cd nabI ab cd    + = 0 . 注意到 B ab nabI ab   = 0 ， 故得 P2 处的磁感应强度为 Bcd = 0 ， 即环管外无磁场： B = 0

【例6】设真空中有一无限长载流圆柱体，圆柱半径为R,圆柱横截面上均匀地通有电 流1，沿轴线流动。求磁场分布。 【】由时性分析，作内外空的应线是一系列同圆线 (1)>R时，应用安培环路定理有 B.dl=2xr.B=ol, 即符 B=tol 2ur (2)当<R时，同理即得 【过论】 1)若电流为面分布，即电流1均匀分布在圆柱面上，则由安培环路定理得空间的磁 场分布为： (2)若电流/均匀分布在如图所示的空心圆柱的横截面上，则由安培环路定理得空间的 磁场分布为 r<a B= 2ab-a a<r<b r>b 2.小结 应用安培环路定理求磁场的分布的关键在于首先要根据磁场分布的对称性选择合适的 闭合路径： 要求闭合路径要经过待求的场点：在该闭合路径上B与d!的方向关系要较简单，它们 之间的夹角0为0（或，或π2）：在0为0（或I)的，线段上B的量值为一恒量值，这 样在积分运算时候才能 是到积分号外 用安培环路定 理求解B分布的步骤 定磁场的分布是否具有对称性：

10 【例 6】 设真空中有一无限长载流圆柱体，圆柱半径为 R，圆柱横截面上均匀地通有电 流 I，沿轴线流动。求磁场分布。 图 11-22 【解】 由对称性分析，圆柱体内外空间的磁感应线是一系列同轴圆周线。 （1）r>R 时，应用安培环路定理得 d r B I L 2 = 0  =    B l ， 即得 r I B  = 2 0 . （2）当 r<R 时，同理即得 2 0 2 2 r R I d r B L    =   =  B l  ， 2 0 2 R Ir B  =  . 【讨论】 （1）若电流为面分布，即电流 I 均匀分布在圆柱面上，则由安培环路定理得空间的磁 场分布为： （2）若电流 I 均匀分布在如图所示的空心圆柱的横截面上，则由安培环路定理得空间的 磁场分布为               −  = r b I a r b b a I r a B 2 2 ( ) 0 0 2 2 0   2．小结 应用安培环路定理求磁场的分布的关键在于首先要根据磁场分布的对称性选择合适的 闭合路径： 要求闭合路径要经过待求的场点；在该闭合路径上 B 与 dl 的方向关系要较简单，它们 之间的夹角θ为 0（或π，或π/2）；在θ为 0（或π）的，线段上 B 的量值为一恒量值，这 样在积分运算时候才能提到积分号外。 用安培环路定理求解 B 分布的步骤： （1）根据电流的分布来确定磁场的分布是否具有对称性； （2）选取合适的闭合路径；