第9章量子力学基础 习题解答 1.若电子的波长为1×10-10m,计算该电子的动能(用J作单位)。 h h 6626×10-3J.s 2×9.109×10-kg 2.41×10-J 2.计算下述粒子的德布罗意波的波长。(1)射出的子弹(质量为 001kg,速度为1×103ms-)(2)空气中的尘埃(质量为1×10-kg 速度为001ms-1):(3)分子中的电子(动能为1×10-24J):(4)经 1×10V电场加速的显像管(真空)中的电子。 解:(1)2=b=h 6.626×103J.s =66×10-3m pm0.01kg×1×10°ms h 6626×10-J.s (2)= =66×10-m U1×10-kg×00lmsi h h 6626×10-J.s T√2×9.109×103kg×1×10-24J
第 9 章 量子力学基础 习 题 解 答 1. 若电子的波长为1 10 10 × − m ，计算该电子的动能（用 J 作单位）。 解： λ υ m h = 2.41 10 J 1 10 m 6.626 10 J s 2 9.109 10 kg 1 2 1 2 1 17 2 10 34 31 2 2 − − − − = × ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ × × ⋅ × × = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = λ υ h m T m 2. 计算下述粒子的德布罗意波的波长。(1) 射出的子弹(质量为 0 01 . kg ，速度为1 103 1 × ⋅ − m s )；(2) 空气中的尘埃(质量为1 10 10 × − kg ， 速度为 0 01 1 . ms⋅ − )；(3) 分子中的电子(动能为 1 10 24 × − J )；(4) 经 1 104 × V 电场加速的显像管(真空)中的电子。 解：(1) 6.6 10 m 0.01kg 1 10 m s 6.626 10 J s 35 3 1 34 − − − = × × × ⋅ × ⋅ = = = υ λ m h p h (2) λ υ = = × ⋅ × ×⋅ = × − − − − h m 6 626 10 0 01m 6 6 10 34 1 22 . . . J s 1 10 kg s 10 m (3) 4.9 10 m 2 9.109 10 kg 1 10 J 6.626 10 J s 2 7 -31 24 34 − − − = × × × × × × ⋅ = = = mT h p h λ
思考题和习题解答 h 6.626×10-J.s C×1×104V 1.23×10-m 3.假定题2(1)、(2)和(3)中各粒子运动速度的不确定度△U,为各自 速度的10%,试问这些粒子的坐标能否被确定。 h 6626×10-34J,s 解:(1、Nm△U201kg×10%×1×10m,s 就子弹的大小(线度约为1×10-2m)而言,如此小的坐标不确定度完全 可以忽略。所以子弹的坐标完全可以被确定。 h m:△U,1×10-kg×10%×00lms6.6×10-2m 6.626×103J.s (2) 尘埃的线度约为1×10-m,如(1)理由,其坐标可被确定。 h 10%×√2×9.109×10-3kg×1×10-2J 4.9×10-6m 分子中的电子运动范围只有1×10-0m,而其坐标不确定度大于此值, 说明电子的坐标完全不确定。 4.在1×103V电场中加速的电子,能否用普通光学光栅(栅线间距 为10-°m)观察到电子的衍射现象?若用晶体作为光栅(晶面间距为 ),又如何
·156· 思考题和习题解答 (4) 1.23 10 m 2 9.109 10 kg 1.602 10 C 1 10 V 6.626 10 J s 2 11 -31 19 4 34 − − − = × × × × × × × × ⋅ = = mT h λ 3. 假定题 2.(1)、(2)和(3)中各粒子运动速度的不确定度Δυ x 为各自 速度的 10%，试问这些粒子的坐标能否被确定。 解：(1) 6.6 10 m 0.01kg 10% 1 10 m s 6.626 10 J s 34 3 1 34 − − − = × × × × ⋅ × ⋅ = ⋅ Δ Δ = m x h x υ 就子弹的大小（线度约为1 10 2 × − m）而言，如此小的坐标不确定度完全 可以忽略。所以子弹的坐标完全可以被确定。 (2) 6.6 10 m 1 10 kg 10% 0.01m s 6.626 10 J s 21 10 1 34 − − − − = × × × × ⋅ × ⋅ = ⋅ Δ Δ = m x h x υ 尘埃的线度约为1 10 9 × − m，如(1)理由，其坐标可被确定。 (3) 4.9 10 m 10% 2 9.109 10 kg 1 10 J 6.626 10 J s 10% 2 6 31 24 34 − − − − = × × × × × × × ⋅ = = ⋅ Δ Δ = mT h m h x υ x 分子中的电子运动范围只有1 10 10 × − m ，而其坐标不确定度大于此值， 说明电子的坐标完全不确定。 4. 在1 103 × V电场中加速的电子，能否用普通光学光栅(栅线间距 为10−6 m )观察到电子的衍射现象？若用晶体作为光栅(晶面间距为 10−11m)，又如何？
第9章量子力学基础 h p√2mi 6626×10-3J-s 2×9.109×10-31kg×1602×10°C×1×l103V =3.9×10m 该波长数量级与光学光栅的栅线间距数量级相差甚远,所以不能用普通 光学光栅观察到这类电子的衍射现象。该波长与晶体中晶面间距数量级 相同,晶体可作为它的天然光栅,所以此时能观察到电子的衍射现象。 5.下列哪些算符为线性算符?x2,d/dx,d2/dx,sin,√,log试予 以证明 解:假设u和D均为x的函数 x(u+u=xu+xu x2是线性算符 d u+D=u+U ∴二是线性算符 d 2 d dr(u+u)=dx2 dx2 d是线性算符 Sn(+U)≠Snu+snU ∴sin不是线性算符 l+b≠vl+yb ∴√不是线性算符 log(a+u)≠loga+logU og不是线性算符 6.下列哪些函数是算符d2/dx2的本征函数?若是,试求出本征值。 sinx, 2 解:若F(x)=1u(x),则n(x)是F的本征函数,元是F的本征值。 ∴e是本征函数,本征值为1 dx2 2 dx 2 snx=-sinx sinx是本征函数,本征值为-1
第 9 章 量子力学基础 ·157· 解： 3.9 10 m 2 9.109 10 kg 1.602 10 C 1 10 V 6.626 10 J s 2 11 31 19 3 34 − − − − = × × × × × × × × ⋅ = = = mT h p h λ 该波长数量级与光学光栅的栅线间距数量级相差甚远，所以不能用普通 光学光栅观察到这类电子的衍射现象。该波长与晶体中晶面间距数量级 相同，晶体可作为它的天然光栅，所以此时能观察到电子的衍射现象。 5. 下列哪些算符为线性算符？x2 , d / dx, d2 / dx2 , sin, , log。试予 以证明。 解：假设u和υ 均为 x 的函数 x u xu x ( ) 2 22 += + υ υ ∴ x 2 是线性算符 ( ) d d d d d x d u x u x += + υ υ ∴ d dx 是线性算符 ( ) d d d d d d 2 22 x u x u x 2 22 += + υ υ ∴ d d 2 x2 是线性算符 sin(u u +≠ + υ) sin sinυ ∴sin 不是线性算符 u u +≠ + υ υ ∴ 不是线性算符 log log log ( ) u u +≠ + υ υ ∴log 不是线性算符 6. 下列哪些函数是算符 d2 / dx2 的本征函数？若是，试求出本征值。 ex , sin x , 2cos x , x3 , sin cos x + x。 解：若 ( ) ( ) Fu x u x $ = λ ，则u x( ) 是 F$ 的本征函数，λ 是 F$ 的本征值。 x x x e e d d 2 2 = ∴ x e 是本征函数，本征值为 1。 d d 2 x x x 2 sin sin = − ∴sinx 是本征函数，本征值为-1
思考题和习题解答 52 cOSx=-2 2cosx是本征函数,本征值为-1 x3不是本征函数 dx =-s 是本征函数,本 征值为-1 7.已知函数v=x为算符[d/d2-4a2x]的本征函数,求本征 值 解: dx2 所以本征值为-6a。 8.试求能使e为算符[d2/dx2-Bx2]的本征函数的a值,并求本 征值 解 2e ce -Bxo 若e2是算符的本征函数 则 -Bx2=常数 4a2x2-Bx2=0
·158· 思考题和习题解答 d d 2 x x x 2 2 2 cos cos = − ∴2cosx 是本征函数，本征值为-1。 d d 2 x x x 2 3 = 6 ∴ x 3 不是本征函数。 [ ][ ] d d 2 x xx xx 2 sin cos sin cos + =− + ∴sin cos x + x是本征函数，本 征值为-1。 7. 已知函数 2 e x x α ψ − = 为算符 [d2 / dx2 −4α2 x2 ] 的本征函数，求本征 值。 解： ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 6 e 2 e 4 e 4 e 4 e e 4 e d d 4 e d d 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x α α α α α α α α α α α α α α α − − − − − − − − = − = − − + − ⎥ = − ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 所以本征值为− 6α 。 8. 试求能使e−αx2 为算符 [d2 / dx2 −Bx2 ] 的本征函数的α值，并求本 征值。 解： 2 2 2 2 e 4 e 2 e e d d 2 2 2 2 2 2 x x x x Bx x Bx x α α α α α α − − − − ⎥ = − − ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ( ) 2 4 2 e 2 2 2 x x Bx α α α − = − − 若 2 e−αx 是算符的本征函数 则 4 2 22 2 α α x Bx −− = 常数 即 4 0 22 2 α x Bx − = α = ± B 2
第9章量子力学基础 本征值为√B。 9.长度为的一维势箱中粒子运动的波函数为y= C sin(mx/D), 试求常数C c2[l-cos(2n ix/dx 24n丌 C=√2/l 在右面的分子离子中运动的6个π电子,可近似作为一维势箱 中的粒子,若假定该分子离子中共轭链长为08nm。试求该分子离子由 基态跃迁至第一激发态时(相当 于电子从n=3的轨道跃迁到H n=4的轨道),吸收光的波长(实 -CH-CH-CH 验值为309nm)。 hc 分子中有6个π电子,基态是n2n2m3,第一激发态是n2n2m3n, 所以n=4,n=3 ('2-n2)h 8×9109×101kg×(08×10°m)×2998 (42-32)×6.626×10-J·s 301×10-7m=30lnm 1.计算氢原子基态到第一激发态跃迁时,吸收光的谱线的波数和
第 9 章 量子力学基础 ·159· 本征值为m B 。 9. 长度为 l 的一维势箱中粒子运动的波函数为ψ = C sin(nπx / l)， 试求常数C 。 解： ( ) 1 2 2 π sin 2 4 π 1 d 2 1 cos 2 π / d π d sin 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 = ⋅ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = − − = = = ∫ ∫ ∫ l C l n x n l C x x n x l C x l n x P x C l l l l ψ ∴ C = 2 / l 10. 在右面的分子离子中运动的 6 个π电子，可近似作为一维势箱 中的粒子，若假定该分子离子中共轭链长为08. nm。试求该分子离子由 基态跃迁至第一激发态时(相当 于电子从 n = 3 的轨道跃迁到 n = 4 的轨道)，吸收光的波长（实 验值为 309 nm）。 解： ( ) 2 2 2 2 ' 8 n n h ml hc E hc − = Δ λ = 分子中有 6 个π电子，基态是nnn 1 2 2 2 3 2 ，第一激发态是n n nn 1 2 2 2 3 1 4 1 ， 所以n'= 4，n = 3 ( ) ( ) 3.01 10 m = 301nm (4 3 ) 6.626 10 J s 8 9.109 10 kg 0.8 10 m 2.998 10 m s 8 7 2 2 34 8 1 2 31 9 2 2 2 − − − − − = × − × × ⋅ × × × × × × ⋅ = ′ − = n n h ml c λ 11. 计算氢原子基态到第一激发态跃迁时，吸收光的谱线的波数和 H H H H N CH CH CH N && & & & & −−−− +