第三章离散 Fouriers变换(DFT) 主要内容: 离散傅立叶变换的定义 离散傅立叶变换的基本性质 频率域采样 DFT的应用
主要内容： •离散傅立叶变换的定义 • 离散傅立叶变换的基本性质 •频率域采样 •DFT的应用 第三章 离散Fourier变换（DFT）
DFT定义 设x(n)是一个长度为M的有限长序列,则定义x(n)的N点离散 傅立叶变换为: X(k)=DF[x(m)=∑x(m)WM,k=0,1,,N-1(3.1.1) X(k)的离散傅立叶逆变换IDFT为 x(n=IDFTIX(k)l x(kW=n=0.2,N-1(312) 式中,W=eN,N称为DF变换区间长度,N2M 把(31.1)代入(3.12)有 IDFTIX(=∑∑xm)WmJ k=0m=0 ∑x(m )∑Wm- m=0 N
DFT定义 设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N点离散 傅立叶变换为： 1 0 ( ) [ ( )] ( ) , 0,1,..., 1 N kn N n X k DFT x n x n W k N − = = = = − X(k)的离散傅立叶逆变换IDFT为: 1 0 1 ( ) [ ( )] ( ) , 0,1,2,..., 1 N kn N k x n IDFT X k X k W n N N − − = = = = − 式中, 2 , j N W e N DFT N M N − = 称为 变换区间长度， 。 (3.1.1) (3.1.2) 把(3.1.1)代入(3.1.2)有 1 1 0 0 1 [ ( )] [ ( ) ] N N mk kn N N k m IDFT X k x m W W N − − − = = = 1 1 ( ) 0 0 1 ( ) N N k m n N m k x m W N − − − = = =
N∑以=1mNM整数 0.,m≠n+MN,M为整数 所以在变换区间上满足下式 IDFTTX()=X(n),0<nsN-1 由此可见、(3.12)式定义的离散傅立叶逆变换是唯一的 例:x(n)=R4(n),求x(m)的8点和16点DFT 解:设变换区间N=8,则 设变换区间N=16,则 X(k)=∑ x(n)r8 X(k)=∑x(n=∑e SIr -k) sin(k) e k=0.1.2.7 k=0.1.2..15 sin(k) sin (k) 8 由此可见,x(m)的离散傅立叶变换结果与变换区间长度N的取值有关
1 ( ) 0 1, , 0, , N k m n N k m n MN M W m n MN M − − = = + = + 1 为整数 N 为整数 所以,在变换区间上满足下式: IDFT[X(k)]=x(n), 0≤n≤N-1 由此可见,(3.1.2)式定义的离散傅立叶逆变换是唯一的. 例: x(n)=R4 (n),求x(n)的8点和16点DFT 解: 设变换区间N=8,则 7 3 2 8 8 0 0 3 8 ( ) ( ) sin( ) 2 , 0,1,2...7 sin( ) 8 j kn kn n n j k X k x n W e k e k k − = = − = = = = 设变换区间N=16,则 15 3 2 16 16 0 0 3 16 ( ) ( ) sin( ) 4 , 0,1,2...15 sin( ) 16 j kn kn n n j k X k x n W e k e k k − = = − = = = = 由此可见,x(n)的离散傅立叶变换结果与变换区间长度N的取值有关
DFT和Z变换的关系 设序列x(n)的长度为N其Z变换和DFT分别为 X()=Z[x(m)=∑x(n) X(k)=DF[x(m)=∑x(m),0≤k≤N-1 7=0 比较上面二式可得关系式 X(k)=X(zl 2,0≤k≤N-1(313) 或 X(k)=X(e)|2x.,0≤k≤N-1(314) k
DFT和Z变换的关系 设序列x(n)的长度为N,其Z变换和DFT分别为: 1 0 1 0 ( ) [ ( )] ( ) ( ) [ ( )] ( ) ,0 1 N n n N kn N n X z ZT x n x n z X k DFT x n x n W k N − − = − = = = = = − 比较上面二式可得关系式 ( ) ( ) | ,0 1 2 j k N z e X k X z k N = = − (3.1.3) 或 2 ( ) ( ) | ,0 1 j k N X k X e k N = = − （3.1.4)
e 式(31.3)表明序列x(m)的 N点DFT是xn)的Z变换 在单位圆上的N点等间 隔采样。式(3.1.4)则说 2T 明X(k)为xm0的傅立叶K( 变换Xe)在区间 N=8 [0,2z]上的N点等间 隔采样 4567 即对序列频谱的离散化X(k N=16 DFT的变换区间长度N 不同,采样间隔和采样 点数不同,DFT变换 024 810 121415 结果也就不同 图3.11X(k)与X(e)的关系
式(3.1.3)表明序列x(n)的 N点DFT是x(n)的Z变换 在单位圆上的 N点等间 隔采样。式(3.1.4)则说 明X(k)为x(n)的傅立叶 变换 ( ) j X e 在区间 [0,2 ] 上的N点等间 隔采样 DFT的变换区间长度N 不同，采样间隔和采样 点数不同，DFT变换 结果也就不同 即对序列频谱的离散化