DFT的隐含周期性 DFT的隐含周期性可以从三种不同的角度得出: 1如前所述X(k)是对X(e)的采样,由于X(e)是以2丌 为周期的周期函数,即X(k)是对X(e)的主值区[0,2] 上N点等间隔采样。显然,当自变量k超出DFT变换区间时, 必然得到[0,2]以外区间上X(e)的采样,且以N为周期重复 出现,得到X(k)=X()N 2由W的周期性可证明X(k)的周期性 前面定义的DFT变换对中,x(n)与X(k)均为有限长序列但由于
DFT的隐含周期性 DFT的隐含周期性可以从三种不同的角度得出： 1.如前所述X(k)是对 ( ) j X e 的采样，由于 ( ) j X e 是以 2 为周期的周期函数，即X(k)是对 ( ) j X e 的主值区 [0,2 ] 上N点等间隔采样。显然,当自变量k超出DFT变换区间时, 必然得到 [0,2 ] 以外区间上 ( ) j X e 的采样,且以N为周期重复 出现,得到 ~ ( ) (( )) X k X k = N 2.由 kn WN 的周期性,可证明X(k)的周期性 前面定义的DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列,但由于
DFT的隐含周期性 对任意整数m,.总有 W+mN)=W,k,mn,N均为整数 所以(3.1.1)中,X(k)满足: X(k+nN)=∑x(m)W (k+mN)n n=0 ∑x(m)W=X(k) 同理(3.1.2)中,x(n+mN)=x(n) 这说明(31.1)和(31.2)中的X(k)隐含周期性,且周期均为N
DFT的隐含周期性 ( ) , , , , ( ) k mN k N N m W W k m N X k + = = = N-1 (k+mN)n N n=0 N-1 kn N n=0 对任意整数 总有 均为整数 所以(3.1.1)中,X(k)满足： X(k+mN)= x(n)W x(n)W 同理(3.1.2)中,x(n+mN)=x(n) 这说明(3.1.1)和(3.1.2)中的X(k)隐含周期性,且周期均为N
DFT的隐含周期性 3由X(k)与x(n)的周期延拓序列x(n)的DFS系数X(k) 的关系也可得出DFT的隐含周期性 设x(m周期延拓序列XN(m)=x()y 则:xN(m)的DS系数为x(k)=∑x(m)l=∑x(n 显然,当k=0,1,2.N-1时 X(k)=X(k)=DFT[x(n)]ep: X(k)=X(k).R(k)(3.6) 由于:(k)是以N为周期的,所以有:Y(k)=X(k) 结论有限长序列x(n)的N点离散傅立叶变换X(k)可定义为x(n)的 周期延拓序列x(m)的DFS系数x(k)的主值序列
DFT的隐含周期性 3.由X(k)与x(n)的周期延拓序列x((n))N的DFS系数 ~ X k( ) 的关系,也可得出DFT的隐含周期性 设x(n)的周期延拓序列 ~ N ( ) (( ))N x n x n = 则: ~ x n N ( ) 的DFS系数为 1 1 2 ~ ~ 0 0 ( ) ( ) ( ) N N j kn N kn N N n n x k x n e x n W − − − = = = = 显然,当k=0,1,2…,N-1时. ~ ~ ~ ~ ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( )) N N X k X k DFT x n X k X k R k X k N X k X k = = = • = 即： 由于： 是以 为周期的，所以有： (3.6) 结论:有限长序列x(n)的N点离散傅立叶变换X(k)可定义为x(n)的 周期延拓序列x((n))N的DFS系数 的主值序列 ~ X k( )
DFT的性质 (1)线性:a团+b①ax内+b[k, 此处x和y仞长度相同(若不同则加零) (2)序列的圆周/循环移位 定义 y(n=x(n-mNRN 将X(n)周期沿拓得x(n)将x(m)移m位得: x(n-m)=x((n-m)N 取主值,一端出另一端进,因为是有限长;均匀分布在 个圆上,顺时针或逆时针旋转
DFT 的性质 （1) 线性: ax[n] + by[n] DFT aX[k] + bY [k], 此处 x[n] 和y[n] 长度相同 (若不同则加零) （2)序列的圆周/循环移位 定义： y(n) x((n m)) R (n) = − N N x(n) ( ) ~ ( ) x n ~ x n n m N x(n m) x(( )) ~ − = − 将 周期沿拓得 将 右移m位得： 取主值，一端出另一端进，因为是有限长；均匀分布在一 个圆上，顺时针或逆时针旋转
DFT的性质 时域循环移位定理 * DFTIx(n)l-X(), y(n)=x((n-m)NRN(n) 则:DFTy(n) WN X() 含义:表明序列圆周移位后的DFT为X(k)乘上相移因 子W,即时域中圆周移m位,仅使频域信号产生〃 的相移,而幅度频谱不发生改变,即WxX(k)曰X(k) 频域循环移位定理 若X(k)=DFTx(n)0≤k≤N-1 Y()=X((k+(k) Ay: (n-IDFTIY(I=WNx(n)
DFT 的性质 时域循环移位定理 若：DFT[x(n)]=X(k), y(n) x((n m)) R (n) = − N N mk 则：DFT[y(n)]= X(k) WN 含义：表明序列圆周移位后的DFT为 乘上相移因 子 ，即时域中圆周移m位，仅使频域信号产生 的相移，而幅度频谱不发生改变，即| |=| | X (k) mk WN mk WN mk WN X (k) X (k) 频域循环移位定理 若:X(k)=DFT[x(n)],0≤k≤N-1 Y(k)=X((k+l))NRN(k) 则:y(n)=IDFT[Y(k)]= ( ) nl W x n N