§3.3频率抽样理论 一,频域采样定理 时间(频率函数她崖导致,频率(时间)函数固化 对Z变换在单位圆上等间隔抽样一即对ⅹ(e妯样,频率抽样点数为N,则: X(k)=X()2x、、8" ∑x(n)e 22x(n)W如k=0,…N-1 AxN(n)=DFTIX(k) n=0, 1,N-1 X(k)对应的x(m)与X()对应的x(m)的关系是什么? 由DFT和DFS的关系知,X(k)是x(n)以N为周期的周期延拓序列x(n 的离散傅立叶级数X(k)的主值序列,即 X(k=X()N=DES(n) X(k)=X(KR(n) N-1 x(n)=IDFSIX(K)I ∑X(k)W=∑X(k)们 Nk=o Nk=0
§3.3 频率抽样理论 时间(频率)函数抽样 频率(时间)函数周期化 导 致 对Z变换在单位圆上等间隔抽样—即对 ( ) 抽样 j X e ，频率抽样点数为N，则： k = 0,1,....N −1 的离散傅立叶级数 ( ) 的主值序列，即 ~ X k 由DFT和DFS的关系知， 是 xN (n) 以N为周期的周期延拓序列 ( ) ~ X (k) x n ( )] ~ ( ) (( )) [ ~ X k = X k N = DFS x n ( ) ( ) ~ X (k) = X k RN n ( )] ~ ( ) [ ~ x n = IDFS X k − = − = 1 0 ( ) 1 N ~ k kn WN X k N − = − = 1 0 ( ) 1 N k kn WN X k N 一，频域采样定理 k N j z e k N j X k X e X z ( ) ( ) | ( ) | 2 2 = = = = =− =− − = = n k n N n k n N j x(n)e x(n)W 2 x (n) IDFT[X(k)] 令 N = n = 0,1,....N −1 X(k)对应的xN (n)与X(z)对应的x(n)的关系是什么？
x(m)= ∑[∑x(mWw=∑x(m)∑W (m-n)k N N-1 I m=n+rM =∑x(n+rN) A之(mn)= 0m其他 所以xN(m)=x(m)Rx(n)=∑x(n+rN)R(n) r=-0 可见,X()在单位圆上的N点等间隔采(k)的DFT是原序列x(n)以N 为周期的周朝延招序列的主值序列 频域采样定理: 如果序列长度为M,X(k)表示在区间[0,2n上对X(e)的N点等间隔样 则只有当N≥M时,才能由X(k)恢复出(e)和x(n)否则产生时域混叠现象。 且x(m)=DFTX(k)=∑x(n+rN)R(m) 若MNx(m)R(n)=x(m)时域无混叠由N个x(k)可以恢复→得到X(z) 若MNx(n)R(n)≠x(m)时域混叠 故:N≥M为频率抽样(不失真)条件
= + = − = − m 其他 m n rN W N N n m n k N 0 1 1 1 0 ( ) ∵ ( ) ~ 时域无混叠由N个 X k 可以恢复→得到X(z) 若 M>N ( ) ( ) ( ) ~ x n RN n x n 时域混叠 故： N M 为频率抽样（不失真）条件 若 MN ( ) ( ) ( ) ~ x n RN n = x n 所以 可见， 在单位圆上的N点等间隔采样 的IDFT是原序列 以N 为周期的周期延拓序列的主值序列。 X (z) X (k) x(n) 频域采样定理： 如果序列长度为M， X (k) 表示在区间[0，2π]上对 ( ) 的N点等间隔采样. j X e 则只有当 N M 时，才能由X(k)恢复出 ( ) 和 ，否则产生时域混叠现象。 j X e x(n) 且 =− = = + r x(n) IDFT[X (k)] x(n rN)RN (n) + =− + =− − = − − = − + =− = + = = r m N n m n k N N n kn N m km N x n rN W N x m W W x m N x n ( ) 1 [ ( ) ] ( ) 1 ( ) ~ 1 0 ( ) 1 0 =− = = + r N N N x n x(n)R (n) x(n rN)R (n) ~ ( )
频率抽样 X() 二,内插函数 通过内插函数恢复出X(=)或X(e" 内插(恢复) x(n) x(n) 设序列x(n)长度为M,在频域0~2π之间等间隔采样N点,N≥M X(k)=X(=) k=0,12-1 其中WNAN=1) x(n)=DDFX(k)]=1∑X(k)W如 N ∴X(=)=∑x(n)2 X(kW]zm=∑X(k) n=0 N1- ΣX(k)((=) 内插公式 其中q(2)=N1-Wx 内插函数
二 ， 内插函数 通过内插函数恢复出 X (z) 或 ( ) j X e X (z) X (k) x(n) x(n) 频率抽样 内插（恢复） 设序列 x(n) 长度为M，在频域0～2π之间等间隔采样N点， N M k N j z e X k X z 2 ( ) ( )| = = k = 0,1,....N −1 − = − = = 1 0 ( ) 1 ( ) [ ( )] N k k n WN X k N x n IDFT X k ∴ − = − − − − = − − = − − = − − − = = = 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 [ ( ) ] ( ) 1 ( ) ( ) N k k N N N n n N k k n N N n n W z z N X k W z X k N X z x n z ( ) ( ) 1 0 X k z N k k − = = 1 内插函数 1 1 1 ( ) − − − − − = W z z N z k N N 其中 k 内插公式 = 1 −kN （ 其中 WN ）
把z=e代入9(3)=N1-W2 2 SIn-@ j-(--k) N sin(@-k 2 =(o-2k) X(elo)=2X()p(0-ETk k=0 (N-1)O 其中φ() I sin(No/2) N sin(@/2) 小结:1.内插函数是连续函数 k=3 例如:N=4时,图示如右 2.相应的系数:(k)即样本值 (原来的抽样点正好是插值点)
) 2 ( ) 2 ( 2 1 sin ) 2 ( 2 sin 1 ( ) ) 2 ( 2 1 k N e k N k N N N e k N N j j k = − − − = − − − 1. 内插函数是连续函数 例如：N=4时，图示如右 j e 0 ╳ N 2 1 0 ( ) 0 j e k=0 • 0 ( ) 1 j e • j e 0 ╳ k=1 ( ) 2 j e 0 • j e ╳ 0 k=2 0 ( ) 3 j e • j e 0 ╳ k=3 2. 相应的系数： 即样本值 （原来的抽样点正好是插值点） X (k) 把 代入 j z = e 1 1 1 1 ( ) − − − − − = W z z N z k N N k 2 ( 1) sin( / 2) 1 sin( / 2) ( ) − − = N j e N N 其中 − = = − 1 0 ) 2 ( ) ( ) ( N k j k N X e X k 小结：
§3.4DFT的应用举例 3.4.1用DFT计算线性卷积 ,用DFT计算循环卷积 如果y(n)=x1(m)①x(n)=x;(m)x2(-m)R(n) M= 且X1(k)=DFTx(n) 0≤k≤L-1 X2(k)=DF/[x2(m) 由时域循环卷积定理有 Y(k)=DFTLy(n= X(X,(k) 0≤k≤L-1 下图为用DFI计算循环卷积的框图 DFT IDFT x,(nx,(n) (n)—DFT」x(k)
§3.4 DFT的应用举例 3.4.1 用DFT计算线性卷积 一，用DFT计算循环卷积 如果 ( ) ( ) y n = x1 n L ( ) 2 x n ( ) (( )) ( ) 2 1 0 x1 m x n m L RL n L m = − − = 且 ( ) [ ( )] X1 k = DFT x1 n ( ) [ ( )] X2 k = DFT x2 n 0 k L −1 由时域循环卷积定理有 ( ) [ ( )] ( ) ( ) 1 2 Y k = DFT y n = X k X k 0 k L −1 下图为用DFT计算循环卷积的框图 ( ) x1 n DFT ( ) x2 n DFT IDFT ( ) 1 X k ( ) 2 X k ( ) 1 x n ( ) L x2 n