定义1：下面三种变换称为矩阵的初等行变换： (①)对调两行（对调，两行，记作分)； (2)以数k≠0乘以某一行的所有元素 (3)把某一行所有元素的k倍加到另一行 对应的元素上去(（第j行的k倍加到第i行上 记作+k灯). 同理可定义矩阵的初等列变换把“换成 “c). 6
6 定义1：下面三种变换称为矩阵的初等行变换: (1)对调两行（对调i, j两行,记作ri rj）； (2)以 数 k 0 乘以某一行的所有元素; ( ) . 3 记 作 ） 对应的元素上去（第 行 的 倍加到第 行 上 把某一行所有元素的 倍加到另一行 i krj r j k i k + 同理可定义矩阵的初等列变换 (把“r”换成 “c”)．
矩阵的初等变换 刀筝子芝焕 刀李交奂 通常称(1)对换变换(2)倍乘变换(3)倍加变换 初等变换的逆变换仍为初等变换，且变换类型相 同. →1；逆变换分r; 片×k逆变换h×()或÷k: +k逆变换+(-k)r或-k灯 7
7 矩阵的初等变换 初等列变换 初等行变换 通常称 (1) 对换变换 (2) 倍乘变换 (3) 倍加变换 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相 同． i j r r ri k 逆变换 ; i j r r 逆变换 ) ; 1 ( r k k ri 或 i i krj r + 逆变换 ( ) . i j i krj r + −k r 或 r −
定义2：如果矩阵A经有限次初等变换变矩阵B, 就称矩阵A与B等价，记作A~B. 等价关系的性质： ()反身性A台A; (2)对称性若A台B,则B台A; (3)传递性若A台B,B台C,则A台C. 具有上述三条性质的关系称为等价. 例如，两个线性方程组同解， 就称这两个线性方程组等价
8 等价关系的性质： （1） 反身性 A A； （2） 对称性 若 A B ,则 B A; （3）传递性 若 A B,B C,则 A C. 就称矩阵 与 等价，记作 ． 如果矩阵 经有限次初等变换变成矩 阵 ， A B A B A B ~ 具有上述三条性质的关系称为等价． 例如，两个线性方程组同解， 就称这两个线性方程组等价 定义2：
2.初等矩阵 矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛， 定义3：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵， 「1.对调两行或两列； 2.以数k≠0乘某行或某列； 3.以数k乘某行（列）加到另一行（列)上去. 9
9 定义3：由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. E 三种初等变换对应着三种初等方阵. 矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛. 以数 乘某行（列）加到另一行（列）上去． 以数 乘某行或某列； 对调两行或两列； k k 3. 2. 0 1. 2. 初等矩阵
(1)对调两行或两列，得初等对换矩阵。 对调E中第，j两行，即（分），得初等方阵 ←第i行 E(i,j)= ←第j行 10
10 对调 E 中第 i, j 两行，即(ri rj )，得初等方阵 = 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 ( , ) E i j 第 i 行 第 j 行 (1) 对调两行或两列，得初等对换矩阵