2.矩阵可逆的判别定理及求法 定理： n阶方阵A可逆当且仅当A≠0 ,其中为矩阵的伴随矩阵 且1-1 证明：（→） A可逆，则有A,使AA1=E 两边取行列式，得AA=AA=1 因此，A≠0 6
6 2. 矩阵可逆的判别定理及求法 定理: n阶方阵A可逆当且仅当 A 0 证明： 0 1 ( ) 1 1 1 1 = = = − − − − A AA A A A A AA E 因此， 两边取行列式，得 可逆，则有 ，使 1 1 A A , A − 且 = 其中A 为矩阵A的伴随矩阵.
(←) 丙为=AE,当A≠0时，有A爱=E, 又因为A=AE,当A≠0时，有有A=E, 所以4=台4=E,所以4=4 奇异矩阵： A=0 (退化矩阵) 非奇异矩阵：A≠0 (非退化矩阵) 7
7 奇异矩阵： A = 0 非奇异矩阵： A 0 （退化矩阵） （非退化矩阵） − = = = = = = = A A A E A A A A A A A E A A A A AE A E A A AA AE A A 1 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 所以 ，所以 1 又因为 ，当 时，有 ， 因为 ，当 时，有
推论： 设A、B为同阶方阵，若AB=E, 则方阵A和B都可逆， 且A1=B,B1=A 证明：若AB=E,则AB=AB=1 所以A≠0，所以A存在，有 B=EB=(A-A)B=A(AB)=A-E=A 同理，B可逆，且A=B- 注：判断B是否为A的逆矩阵， 只需验证AB=E和BA=E中的一个即可 8
8 推论： A B B A A B A B AB E = = = 且 −1 ， −1 则方阵 和 都可逆， 设 、 为同阶方阵，若 ， 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 0 , 1 − − − − − − = = = = = = = = = B A B B EB A A B A AB A E A A A AB E AB A B 同理， 可逆，且 所以 ，所以 存在 有 证明： 若 ，则 注： 只需验证 和 中的一个即可 判断 是否为 的逆矩阵， AB E BA E B A= =
逆矩阵的求法二：伴随矩阵法 A A A A 其中A为A的伴随矩阵， A为行列式A中元素a的代数余子式： 2) 特别地，对=阶方阵4-(：） 当A=d-bc≠0时，有 9
9 . 1 1n 2n nn 12 22 n2 11 21 n1 1 为行列式 中元素 的代数余子式 其中 为 的伴随矩阵， ，其中 Aij A aij A A A A A A A A A A A A A A A − = = (1) (2) − − − = = = − = − c a d b ad bc A A A A ad bc c d a b A 1 1 0 1 当 时，有 特别地，对二阶方阵 逆矩阵的求法二：伴随矩阵法
3.可逆矩阵的运算性质 ()若A可逆，则A亦可逆，且(4=A. (2)若A可逆，数2≠0，则2A可逆，且 -21 (3)若A,B为同阶方阵且均可逆，则AB亦可逆，且 (A比士习 证明：（ABBA)=ABB1A=AEA1 .（AB=BA1. =AA=E, 推广（AA2A=AA1 10
10 (1) , , ( ) . 1 1 1 A A A = A − 若 可逆 则 − 亦可逆 且 − 3. 可逆矩阵的运算性质 ( ) 2 若A可逆,数 0,则A可逆,且 (3)若A,B为同阶方阵且均可逆,则AB亦可逆,且 ( )( ) ( ) −1 −1 −1 −1 AB B A = A BB A −1 = AEA , 1 = AA = E − ( ) . −1 −1 −1 AB = B A 证明： ( ) = −1 ABB −1 −1 A ( ) . −1 1 −1 A = A ( ) . 1 2 1 2 − − 推广 A1 A Am = A −1 Am −1 A1