2.由高斯定理求场强 用高斯定理求场强必须要根据电场的对称性，选择适当的高 斯面使场强E能提到积分号外。用高斯定理求场强的步骤大体如 F, ①分析给定问题中电场的对称性，如电场强度分别具有球对 称性、平面对称性（无限大均匀带电的平板或平面）以及轴对称 性（无限长均匀带电的圆柱体、圆柱面或直线等）时，能用高斯 定理求解： ②选择适当的高斯面，使场强E能提到积分号外面。如电场 具有球对称性时，高斯面选与带电球同心的球面：电场具有轴对 称性时，高斯面取同轴的柱面：电场具有平面对称性时，高斯面 取轴垂直于平面并于平面对称的柱面： ③求出高斯面所包围的净电荷g,代入高斯定理的表示式求 出场强的大小。由场强的对称性确定场强的方向。 3.求电势分布U后，由E=-VU求场强 因为电势是标量，己知电荷分布用积分求电势比用积分求场 强更为方便，所以对不能用高斯定理求场强的情况，先求电势的 函数式，再用上述关系求电场强度往往是比较方便的。 例1长I厘米的直导线AB均匀地分布着线密度为1的电 荷。求： (1)在导线的延长线上与导线一端B相距R处P点的场强： (2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距R处Q点的场 强。 0 R (a) (h) 图8一1 115
115 2. 由高斯定理求场强 用高斯定理求场强必须要根据电场的对称性，选择适当的高 斯面使场强 E 能提到积分号外。用高斯定理求场强的步骤大体如 下： ①分析给定问题中电场的对称性，如电场强度分别具有球对 称性、平面对称性（无限大均匀带电的平板或平面）以及轴对称 性（无限长均匀带电的圆柱体、圆柱面或直线等）时，能用高斯 定理求解； ②选择适当的高斯面，使场强 E 能提到积分号外面。如电场 具有球对称性时，高斯面选与带电球同心的球面；电场具有轴对 称性时，高斯面取同轴的柱面；电场具有平面对称性时，高斯面 取轴垂直于平面并于平面对称的柱面； ③求出高斯面所包围的净电荷 q，代入高斯定理的表示式求 出场强的大小。由场强的对称性确定场强的方向。 3. 求电势分布 U 后，由 E = −U 求场强 因为电势是标量，已知电荷分布用积分求电势比用积分求场 强更为方便，所以对不能用高斯定理求场强的情况，先求电势的 函数式，再用上述关系求电场强度往往是比较方便的。 例 1 长 l 厘米的直导线 AB 均匀地分布着线密度为 λ 的电 荷。求： （1）在导线的延长线上与导线一端 B 相距 R 处 P 点的场强； （2）在导线的垂直平分线上与导线中点相距 R 处 Q 点的场 强。 A dx O B P x l R （a） R´ A dx B x l （b） Q dE 图 8—1
解(1)如图8一1(a)所示，取A点为坐标原点，向右为x 轴正方向。直导线上任一k线元到A点距离为x,其电场强度为 Adx dE=4e,0-x+ 而各段在P处产生场强方向相同（沿x轴正方向），故总场强为 E,=可aE=4毫0-x+R 1. 11 4m。I-x+R。4ERR+7 方向沿x轴正方向。 (2)若以导线AB中心为坐标原点，如图8一1(b)所示。 dk线元在Q点产生的电场为 Adx E=4霜，+R (方向如图所示) 由于对称性，其叠加场强沿y正方向，水平方向相互抵消。 在Q点的场强为 E。=∫dEcos0=,1 Adx R 4E。nx2+R)(x2+R2为 2R'2 dx 2R' 4E(x2+R2)2ER2(R2+x。 =4匹R+W27 方向沿y轴正方向。 当导线1为无限长时，由上式可求得场强为E=1/(2匹。R)。 116
116 解 （1）如图 8—1（a）所示，取 A 点为坐标原点，向右为 x 轴正方向。直导线上任一 dx 线元到 A 点距离为 x，其电场强度为 2 0 4 ( ) 1 l x R dx dE − + = 而各段在 P 处产生场强方向相同（沿 x 轴正方向），故总场强为 ) 1 1 ( 4 ( ) 4 1 4 ( ) 1 0 0 0 0 2 0 R R l λ l x R λ l x R dx E dE l l P + = − − + = − + = = 方向沿 x 轴正方向。 （2）若以导线 AB 中心为坐标原点，如图 8—1（b）所示。 dx 线元在 Q 点产生的电场为 4 ( ) 1 2 2 0 x R dx dE + = （方向如图所示） 由于对称性，其叠加场强沿 y 正方向，水平方向相互抵消。 在 Q 点的场强为 − + + = = 2 2 2 1 2 2 2 2 0 ( ) 4 ( ) 1 cos l l Q x R R x R dx E dE 2 0 2 2 2 0 2 0 2 3 2 2 0 2 ( ) ( ) 4 2 l l R R x R x x R R dx + = + = ( ) 1 2 2 2 0 2 1 4 R R l l + = 方向沿 y 轴正方向。 当导线 l 为无限长时，由上式可求得场强为 /(2 ) E = 0R