2-1-2-2一元三点Lagrange插值— 方法原理 合 线性插值么公式： 二点(x1y1),(xy) p()=y=1+-(x-) (点斜式) X-Xi-1 D(x)=x-%y+x-xy X-1-X (两点式) X-X-1 Lagrange插值（三点插值抛物线插值）：xx,x+1 n()=,x--) (x-x-x-x+) (x-x)(x-x) -回x--过1迴 即 -2ix-》y i+2
线性插值公式：二点(xi-1,yi-1),(xi,yi) ( ) ( )1 1 1 1 1 − − − − − − − = = + i i i i i i x x x x y y p x y y i i i i i i i i y x x x x y x x x x p x 1 1 1 1 1( ) − − − − − − + − − = (两点式) Lagrange插值（三点插值,抛物线插值）： xi-1 xi xi+1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) + + − + − − + − + − − − + + − − − − + − − − − + − − − − = i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x p x k i k i i j k j i k j j y x x x x y x ⋅ − − = ∑ ∏ + = + ≠ = 2 2 ( ) ( ( )) 即 2-1-2-2 一元三点Lagrange插值——方法原理 (点斜式)
2-1-2-2一元三点Lagrange插值一方法原理 合D 编程难点：如何确定使用哪三 )=2i(x-￥》 1+2 1+ 个结点进行插值 k=i yf(x) i=2x≤x y y=p(x) j-HlX≤x≤xx-r-x jx≤x≤x,x->r-x n-2 x>XH y+1 -2-1jXi+1Xi+2 Xi-1 Xi Xi+1
x y y=f(x) y=p(x) xi-1 yi-1 xi+1 yi+1 xi yi k i k i i j k j i k j j y x x x x y x ⋅ − − = ∑ ∏ + = + ≠ = 2 2 ( ) ( ( )) 编程难点：如何确定使用哪三 个结点进行插值 1 1 1 1 1 2 2 , 1 , 2 − − − − − − > ≤ ≤ − > − − ≤ ≤ − ≤ − = ≤ n j j j j j j j j n x x j x x x x x x x j x x x x x x x i x x xj-2 xj-1 xj xj+1 xj+2 2-1- 2-2 一元三点Lagrange插值——方法原理
2-1-2-3一元三点Lagrange插值—程序框图 合D LGRG2(X,Y,N.T.Z) N:插值结点的个数： X(N):n个插值节点的x值： Y(N):对应X(N)插值节点的函数值； T:插值点： Z:插值结果。 no no T-X-1)<=T-X一 yes CONTINUE L-1 P=(T-X(①)*(T-X(I+1)/XI-1)-X(I)/X(I-1)-X(I+1) Q=(T-X(I-1)*(T-X(I+1)/X(①)-XI-1)/X(①)-X(I+1) R=(T-X-1)*(T-X()/X(+1)-X(I-1)/X+1)-X①) Z=P*Y(I-1)+Q*Y(I)+R*Y(I+1) RETURN
LGRG2(X,Y,N,T,Z) Do J=3,N-1 I=J T>X(I) CONTINUE P=(T-X(I))* (T-X(I+1))/(X(I-1)-X(I))/(X(I-1)-X(I+1)) Q=(T-X(I-1))*(T-X(I+1))/(X(I)-X(I-1))/(X(I)-X(I+1)) R=(T-X(I-1))* (T-X(I))/(X(I+1)-X(I-1))/(X(I+1)-X(I)) Z=P*Y(I-1)+Q*Y(I)+R*Y(I+1) RETURN no yes I=I-1 |T-X(I-1)|<=|T-X(I)| yes no 2- 1- 2-3 一元三点Lagrange插值——程序框图 N：插值结点的个数； X（N）：n个插值节点的x值； Y（N）：对应X（N）插值节点的函数值； T：插值点； Z：插值结果
2-1-2-4一元三点Lagrange插值—应用示例 合D 开始 输入：数据点X①)，Y),未知点X0 调用lagrange插值子程序求未知点X0对应的函数值Y0 输出：X0,Y0值 结束 显示程序 显示输入 显示输出 合
开始 输入：数据点X(I),Y(I)，未知点X0 调用lagrange插值子程序求未知点X0对应的函数值Y0 输出：X0,Y0值 结束 2- 1- 2-4 一元三点Lagrange插值——应用示例 显示程序 显示输入 显示输出
2-1-2-4一元三点Lagrange插值—应用示例 合D 例2： 在某温度下，测得乙醇苯溶液的组成和折射率如下： 乙醇 质量% 0.0 12.67 17.88 29.54 31.60 39.25 折射率 1.4953 1.4751 1.4671 1.4493 1.4468 1.4368 乙醇 质量% 47.63 64.88 79.71 89.35 100.0 折射率 1.4247 1.4112 1.3839 1.3718 1.3604 1. 求出乙醇重量百分含量为10、20、30、40、50、 60、70、80、90时的相应折射率； 2.求当折射率为1.4913、1.4731、1.4360、1.4304、 1.4051、1.3655时的乙醇质量百分含量
例2： 在某温度下，测得乙醇-苯溶液的组成和折射率如下： 1. 求出乙醇重量百分含量为10、20、30、40、50、 60、70、80、90时的相应折射率； 2. 求当折射率为1.4913、1.4731、1.4360、1.4304、 1.4051、1.3655时的乙醇质量百分含量。 2- 1- 2-4 一元三点Lagrange插值——应用示例 1.4247 1.4112 1.3839 1.3718 1.3604 折射率 47.63 64.88 79.71 89.35 100.0 乙醇 质量% 折射率 1.4953 1.4751 1.4671 1.4493 1.4468 1.4368 0.0 12.67 17.88 29.54 31.60 39.25 乙醇 质量%