矢量分析 证明： i jk a×b=axa, a:=(a,b.-a.b,+(a.b,-a,b.)j+(a,b,-a,b bx b,b. j-cx(axb)- Cx Cy C a b.-ab,a.b:-ab:ab,-a b: T,=C,(ab,-ab,)-c.(a.b,-ab.)=la,(b,cy+b.c:)-b.(@cy+a.c. =a.bx+b,c+b.c:）-b.(c+a,c,+a.c非=a.6c-b.(a-c月 2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣编写 6
2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣 编写 矢量分析 证明： (a b a b )i (a b a b )j (a b a b )k b b b a a a i j k a b y z z y z x x z x y y x x y z x y z = = − + − + − ( ) y z z y z x x z x y y x x y z a b a b a b a b a b a b c c c i j k f c a b − − − = = ( ) ( ) ( ) ( ) a ( b c b c ) b ( a c a c )i a (b c ) b (a c )i f c a b a b c a b a b i a b c b c b a c a c i x x x y y z z x x x y y z z x x x y x y y x z z x x z x y y z z x y y z z = + + − + + = − = − − − = + − + b c a c 6
矢量分析 ·同样计算可得：方，=4,6·c-b,(ac 手=a.6-c)-b.(ack ·三矢量矢积公式： f=f+f,+厅 =cx(axB)=(c.ba-(c.a)b ·记忆规律：括号外的矢量与括号内的两矢量分别点乘<较 远一项点乘后为正，与较近一项点乘后为负>然后再与第 三矢量相乘后求积. 2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣编写 7
2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣 编写 矢量分析 • 同样计算可得： • 三矢量矢积公式： • 记忆规律：括号外的矢量与括号内的两矢量分别点乘<较 远一项点乘后为正，与较近一项点乘后为负>然后再与第 三矢量相乘后求积. c (a b ) (c b)a (c a)b f f f f x y z = = − = + + ( ) ( ) f a (b c ) b (a c )k f a b c b a c j z z z y y y = − = − 7
矢量分析 ·矢量函数的极限和连续性 a(t)=a,(1)i+a,(1)j+a.(tk lim u(t)a(t)=lim u(t)lim a(t) -→t0 mla)士b(0]=mat±mb(0 t→t (()im) ml(0)×b(0=ma0×m60 t>t 2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣编写 8
2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣 编写 矢量分析 • 矢量函数的极限和连续性 ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) lim (t) ( ) lim (t)lim ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a t b t a t b t a t b t a t b t a t b t a t b t u a t u a t a t a t i a t j a t k t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t x y z → → → → → → → → → → → → = = = = = + + 8
矢量分析 ·矢性函数的导数、微分、积分 a(t)=a,(t)i+a,(t)j+a.()k dal0_da,@i+da,①j+da@元 dt dt dt dt da(t)=da,(1)i+da,(1)j+da.(t)k ∫att=a,)ut+∫a,dr+∫a. - 导矢在该处的切线上，其方向为增大的方向， - 导矢在几何上为一切向矢量。 2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣编写 9
2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣 编写 矢量分析 • 矢性函数的导数、微分、积分 – 导矢在该处的切线上，其方向为t增大的方向， – 导矢在几何上为一切向矢量。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + = + + = + + = + + a t t a t t a t t a t t a t a t i a t j a t k k t a t j t a t i t a t t a t a t a t i a t j a t k x y z x y z x y z x y z d d d d d d d d d d d d d d d d 9
矢量分析 ·矢量函数的导数公式 dc=0,(为常矢到 db (① (6) d (axB)= d dt axb+ax d dt da±6) (2 da,db (7)若ā=a(u),而u=(t),则有 dada du dt dt dt du dt 如(5)的证明： d (a)=k da (k为常量) dt dt dla-B)=im △a.b dt 1→0 △t (4 d-(ua= du da a+u dt di (a+△a)6+△b)-a.b lim △1→0 △t (a.6)= da db dt dt dt a:△b+△a.b+△a:△b-db,d lim a .b 八130 △t dt dt 2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣编写 10
2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣 编写 矢量分析 • 矢量函数的导数公式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t a t a a t t a a u t u ua t k t a ka k t t t a a t c t c d db b d d b d d (5) d d d d d d (4) d d d d (3) d db d d b d d (2) 0, d d (1) = + = + = = + = 为常量 为常矢量 ( ) t u u a t a a a u u u t t a t a a t d d d d d d (7) ( ), ( ) d db b d d b d d (6) = = = = + 若 而 ，则有 ( ) ( ) ( ) ( ) b t b t b a t a b a b a b t a a b b a b t a b t a b t t t = + + + = + + − = = → → → d d d d lim lim lim d d (5) 0 0 0 如 的证明： 10