《高级微观经济学》第九章 一般均衡及其福利

第九章一般均衡及其福利 瓦尔拉定律说收支要平衡,因此这两个映射满足如下条件:对任何价格向量p,都有 pap=ps(p) 这就是瓦尔拉定律的数学形式。前面所述的均衡方程,现在可一般地叙述成 D=D(P) D(p=s(p) 供需均衡方程D(p)=S(p)的解,与超需求映射Z(p)=D(p)-S(p)的零点是一致的。注 意,价格的相对性使我们能够把价格向量的变化限制在价格空间的子集合Δ之中: △={p1,P2…,p):p1+pP2+…+p=l} 于是,瓦尔拉一般经济均衡的存在性可用下述定理表述 命题A.对于任何一个连续映射z:△→R,如果pZ(p)=0对一切p∈△都成立,则必存 在p∈Δ满足Z(p)≤0 这个命题称为瓦尔拉一般经济均衡存在性定理。它看上去似乎并不令人惊奇,然而实际 上它却与非常深刻的 Brouwer不动点定理等价 命题B( Brouwer).从Δ到Δ的任何连续映射∫:△→Δ都有不动点,即存在p∈Δ满足 p=f(p) 本节剩余部分就是来说明命题A和命题B的等价性 命题B→命题A: 我们可把命题A中的映射Z(p)=(Z1(p),Z2(p)…,Z1(p)看作“超需求映射”,并利用 Z(p)对价格体系p进行一次全面调整,调整方法如下 记1(p)=max{zn(p),0}(h=1,2,…,),x(p)=x1(p)+z2(p)+…+z1(p)。当商品h的 需求大于供给时,采取涨价措施:令f(p)=(pn+n(p)/(+(p)(h=12,…,C),并把 f(p)=(f(p),f(p),…,fA(p)作为调整后的价格体系。易见,对任何的p∈△,都有 ∫(p)∈Δ,并且这种调整结果关于原价格体系是连续的。命题B告诉我们,这种方式的调价, 必然对某种价格体系p不起作用,即调整前后的价格相同:p=f()。于是对这个价格体系p, 就有p=f()=(D+=(p)(+(p),从而p()=n(D)(h=12,…C) 在等式p(D)=二(D)两边同乘以Z(p),然后对h求和,可得到 x(D)∑p2(D)=∑=(D)zh(p 从瓦尔拉定律知,0=DZ(D)=∑=1pz(。于是,∑=1=h(D)z(=0。注意,左边 和式中的每一项b(p)Zh(D)都非负,因而只有(p)Zh(p)=0(h=1,2,…,C)。再注意,当 z(p)>0时,二()>0。因此,只有Z(p)≤0(h=1,2,…,),即Z()≤0。命题A得证 命题A→命题B: 从已给的映射f:△→△定义映射Z:△→R如下。对任何P∈△,令 ∑phf(p) a(p) ∑P2 Z,(P=f,(p)-i(p)P,(h=1, 2, 0) 则Z(p)=(1(p),Z2(p)…,Z(p)定义了从△到R的一个连续映射,并且满足命题A中的条

第九章 一般均衡及其福利 287 瓦尔拉定律说收支要平衡，因此这两个映射满足如下条件：对任何价格向量 p ，都有 pD( p) = pS( p) 这就是瓦尔拉定律的数学形式。前面所述的均衡方程，现在可一般地叙述成：      = = = ( ) ( ) ( ) ( ) D p S p S S p D D p 供需均衡方程 D( p) = S( p) 的解，与超需求映射 Z( p) = D( p) − S( p) 的零点是一致的。注 意，价格的相对性使我们能够把价格向量的变化限制在价格空间的子集合  之中：  = ( p1 , p2 ,  , p ): p1 + p2 ++ p =1 于是，瓦尔拉一般经济均衡的存在性可用下述定理表述： 命题 A. 对于任何一个连续映射  Z : → R ，如果 pZ( p) = 0 对一切 p 都成立，则必存 在 p 满足 Z( p)  0。 这个命题称为瓦尔拉一般经济均衡存在性定理。它看上去似乎并不令人惊奇，然而实际 上它却与非常深刻的 Brouwer 不动点定理等价。 命题 B(Brouwer). 从  到  的任何连续映射 f : →  都有不动点， 即存在 p 满足 p = f ( p) 。 本节剩余部分就是来说明命题 A 和命题 B 的等价性。 命题 B  命题 A： 我们可把命题 A 中的映射 ( ) ( ( ), ( ), , ( )) Z p = Z1 p Z2 p  Z p 看作“超需求映射”，并利用 Z( p) 对价格体系 p 进行一次全面调整，调整方法如下。 记 ( ) max ( ), 0( 1,2, , ), ( ) ( ) ( ) ( ) zh p = Zh p h =   z p = z1 p + z2 p ++ z p 。当商品 h 的 需求大于供给时，采取涨价措施：令 f ( p) = (p + z ( p)) (1+ z( p)) (h =1,2,  ,  ) h h h ，并把 ( ) ( ( ), ( ), , ( )) f p = f 1 p f 2 p  f  p 作为调整后的价格体系。易见，对任何的 p ，都有 f ( p) ，并且这种调整结果关于原价格体系是连续的。命题 B 告诉我们，这种方式的调价， 必然对某种价格体系 p 不起作用，即调整前后的价格相同： p = f ( p) 。于是对这个价格体系 p ， 就有 p f ( p) (p z ( p)) (1 z( p)) h = h = h + h + ，从而 p z( p) = z ( p) (h =1,2,  ,  ) h h 。 在等式 p z( p) z ( p) h = h 两边同乘以 Z ( p) h ，然后对 h 求和，可得到   = = =   1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) h h h h z p phZh p z p Z p 从瓦尔拉定律知， = =  =  1 0 ( ) ( ) pZ p h phZh p 。于是， ( ) ( ) 0  =1 =  h zh p Zh p 。注意，左边 和式中的每一项 z ( p)Z ( p) h h 都非负，因而只有 z ( p)Z ( p) = 0 (h =1,2,  ,  ) h h 。再注意，当 Zh ( p)  0 时， zh ( p)  0 。因此，只有 Z ( p)  0 (h =1,2,  ,  ) h ，即 Z( p)  0 。命题 A 得证。 命题 A  命题 B： 从已给的映射 f : →  定义映射  Z : → R 如下。对任何 p ，令 ( ) ( ) ( ) ( 1,2, , ) ( ) ( ) 1 2 1     = − = =   = = Z p f p p p h p p f p p h h h h h h h h   则 ( ) ( ( ), ( ), , ( )) Z p = Z1 p Z2 p  Z p 定义了从  到  R 的一个连续映射，并且满足命题 A 中的条

第九章一般均衡及其福利 件:(vp∈△(pZ(p)=0),从而存在p∈△满足Z(p)≤0 既然≥0,2()≤0(h=12…,O且∑h()=0,可见只有pzh()=0对一切 h=1,2…,C成立 对于每个p,不外乎p1>0或p=0。当p>0时,从pz(D)=0知Z()=0;而 当p=0时,从0≤f(D)=Z(p)≤0知z(D)=0。总之,对一切h=1,2,…,C都有z(p)=0 即f(=A(D)D(h=1,2,…,C),从而∑b=1f4(D)=∑b=1A(ph 注意,∑f(p=1且∑=1p=1因为f()∈△,p∈△),所以A(p)=1。由此可知 f(p)=p(h=1,2,…,),即f(p)=p,故p是f的不动点。命题B得证。 以上的讨论说明,即使一个最简单的一般经济均衡模型,其在数学上就已经相当不平凡, 可见一般经济均衡思想是多么地深刻与奥妙 第三节经济系统博弈 虽然瓦尔拉对一般经济均衡存在性给出的证明不能令人信服,但是这段证明却保持了半 个多世纪,直到二十世纪三十年代以后,人们才逐渐摸索出了新的论证方法。经过许多人的努 力,于1954年才由阿罗和德布罗共同重建了一般经济均衡的理论大厦,对一般经济均衡存在 性,给出了令人满意的严格数学证明,树起了经济学史上的一块新的里程碑 这段历史发展过程中,值得一提的是博弈论对经济均衡理论的贡献。1950年,纳什(.F. Nash)应用日本数学家角谷静夫(S. Kakutani)提出的集值映射不动点定理,证明了n人博弈纳 什均衡的存在性。纳什定理的重要意义之一,在于它的结论可以向经济系统推广,尤其是带附 加约束条件的纳什均衡存在性定理,是获得阿罗-德布罗均衡存在性定理的关键所在。本节就 来介绍纳什均衡向经济系统的推广,即应用博弈论来硏究一般经济均衡问题 经济系统的博弈描述 考虑经济系统E=(X1,≤1,日1,B9,Y)(mm,其中9,≥0,∑9=1,X和y都是非 空紧凸集(i=1,2,…,m,j=12,…,n)。E中的每个经济人都可看作是一个博弈的局中人。消费 者i的策略集合就是消费集合X,生产者j的策略集合就是生产集合y。由于市场价格体系 从背后对人们的经济行为进行调节,因而可把市场也看作是一个局中人,亦即是说,把亚当·斯 密的“看不见的手”从台后请到台前,把它看作参加博弈的一方,并称其为市场经济人,它的 策略集合取为P={P∈R(:(p20)∧(∑1P=1}。于是,这个博弈的局势集合S为: Xm×Y×…1n×P 博弈中,消费者i的收益由他的效用函数1确定:对任何s=(x1,…,xm,y,…,yn,p)∈S, l(s)=l1(x;)(=1,2,……,m) 生产者j的收益由他的利润(净收入)丌确定:对任何s=(x1,…,xm,y,…,yn,p)∈S, z(s)=Py(=12,…,n) 市场经济人的收益可看作全社会的超额支出f(s):对任何s=(x1,…,xm,y…,yn,p)∈S

第九章 一般均衡及其福利 288 件: (p)(pZ( p) = 0) ，从而存在 p 满足 Z( p)  0。 既然 p  0, Z ( p)  0 (h =1,2,  , ) h h 且 ( ) 0  =1 =  h phZh p ，可见只有 phZh ( p) = 0 对一切 h =1,2,  , 成立。 对于每个 ph ，不外乎 ph  0 或 ph = 0 。当 ph  0 时，从 phZh ( p) = 0 知 Zh ( p) = 0 ；而 当 ph = 0 时，从 0  f h ( p) = Zh ( p)  0 知 Zh ( p) = 0 。总之，对一切 h =1,2,  , 都有 Zh ( p) = 0 ， 即 f ( p) = ( p) p (h =1,2,  ,  ) h  h ，从而  =  = =   1 1 ( ) ( ) h h p h p ph f  。 注意， ( ) 1 1  = =  h f h p 且  = =  1 1 h ph (因为 f ( p) , p )，所以 ( p) =1 。由此可知 f ( p) = p (h =1,2,  ,  ) h h ，即 f ( p) = p ，故 p 是 f 的不动点。命题 B 得证。 以上的讨论说明，即使一个最简单的一般经济均衡模型，其在数学上就已经相当不平凡， 可见一般经济均衡思想是多么地深刻与奥妙。 第三节 经济系统博弈 虽然瓦尔拉对一般经济均衡存在性给出的证明不能令人信服，但是这段证明却保持了半 个多世纪，直到二十世纪三十年代以后，人们才逐渐摸索出了新的论证方法。经过许多人的努 力，于 1954 年才由阿罗和德布罗共同重建了一般经济均衡的理论大厦，对一般经济均衡存在 性，给出了令人满意的严格数学证明，树起了经济学史上的一块新的里程碑。 这段历史发展过程中，值得一提的是博弈论对经济均衡理论的贡献。1950 年，纳什(J.F. Nash)应用日本数学家角谷静夫(S. Kakutani)提出的集值映射不动点定理，证明了 n 人博弈纳 什均衡的存在性。纳什定理的重要意义之一，在于它的结论可以向经济系统推广，尤其是带附 加约束条件的纳什均衡存在性定理，是获得阿罗-德布罗均衡存在性定理的关键所在。本节就 来介绍纳什均衡向经济系统的推广，即应用博弈论来研究一般经济均衡问题。 一. 经济系统的博弈描述 考虑经济系统  ( , = X i )( , , ) , , , i ei i j Yj m n  ，其中 i j  0 ， = = m i 1i j 1， Xi 和 Yj 都是非 空紧凸集 (i =1,2,  ,m; j =1,2,  , n) 。 中的每个经济人都可看作是一个博弈的局中人。消费 者 i 的策略集合就是消费集合 Xi ，生产者 j 的策略集合就是生产集合 Yj 。由于市场价格体系 从背后对人们的经济行为进行调节，因而可把市场也看作是一个局中人，亦即是说，把亚当·斯 密的“看不见的手”从台后请到台前，把它看作参加博弈的一方，并称其为市场经济人，它的 策略集合取为 { :( 0) ( 1)} =     =1 =   P p R p h ph 。于是，这个博弈的局势集合 S 为： S = X1  X m Y1 Yn  P。 博弈中，消费者 i 的收益由他的效用函数 ui 确定：对任何 s = (x1 ,  , xm , y1 ,  , yn , p)S ， ui (s) = ui (xi ) (i =1,2,  ,m) 生产者 j 的收益由他的利润(净收入)  j 确定：对任何 s = (x1 ,  , xm , y1 ,  , yn , p)S ，  j (s) = pyj ( j =1,2,  ,n) 市场经济人的收益可看作全社会的超额支出 f (s) ：对任何 s = (x1 ,  , xm , y1 ,  , yn , p)S

第九章一般均衡及其福利 289 f(s)=ΣPx-∑Pe1-∑py 其含义是说,市场经济人的行为准则是要让超额需求的价值尽可能地大,而要让超额供给的价 值尽可能地小,以起到对市场的调节作用。注意,函数f(s)对价格p的偏导数为: f(s)=(s)=x-∑cm-∑y(h=12…,O 因此,只要商品h存在着超额需求,就有f(s)>0,此时市场经济人的目标就是提高商品h的 价格。而当商品h存在着超额供给时,f(s)<0,市场经济人的目标是降低商品h的价格。可 见,目标函数f(s)的定义与实际情况是相符合的。 消费者要在预算约束下使效用最大化,因此作为局中人看待的消费者i服从的约束条件 中2:S→X为:对任何s=(x1,…,xm,y…,yn,P)∈S, 里()=B:(y,…,yn,P)={x∈x,; pxs pei+9,py}(=12…,m) 生产者要使利润最大化,生产方案的选择范围始终是生产集合Y,,因而选择不受约束 这种情况下,约束条件可看作是策略集合Y,。同样,市场经济人的选择也没有附加约束条件 即约束条件可看作是策略集合P。这样一来,经济系统E可看成是带附加约東条件的博弈 G=(X1,l1,平;Y1,丌1;P,)m+n 显然,E的竞争均衡必然是G的纳什均衡。这是因为当s'=(x y,p)是 E的竞争均衡时,x必然是消费者i的收益函数u1(x1|s)在约束条件x;∈2(s)下的最大值 点,y也必然是生产者j的最大利润点,同时由于∑x=∑me+∑m1y,因而对任何 P∈P,都有f(p|s)=>m1px-∑me-∑m1y=0=f(),这说明p是市场经济人的最 优选择。这一切事实证实了s‘=(x,…,xm,y…,yp')是G的纳什均衡 进一步,在消费者偏好无满足的假定下,还可把竞争均衡放松成为有自由处置的均衡。 所谓(x,…,xm,y,…,yp)是经济E的有自由处置的均衡( equilibrium with free disposal), 简称自由处置均衡,是指(x,…,xm,y…,y,p')满足如下三个条件 (EFD1)x∈H是消费者i在价格p’∈P和收入r=pP'e1+∑=19,P'y下的均衡消费向量 (i=12 ) (EFD2)y∈Y是生产者j在价格p’∈P下的利润最大化净产出向量(j=12…,n) (EFD3)∑m1x≤∑me+∑1y 当每个消费者的偏好都是无满足的凸偏好时,从第三章的讨论可知消费者需求满足瓦尔 拉法则。这样,对于有自由处置的均衡s‘=(x,…xm,y,…,,p)来说,偏好的无满足性 和凸性保证了f(s)=mpx-∑mp-∑m1py=0:而∑mx≤∑me+∑my保证 了对任何P∈P,都有f(ps)=∑m1px-∑1Pe-∑1Py≤0,从而f(pls)sf(s) 就说明,当每个消费者的偏好关系都无满足的凸偏好时,经济￡的自由处置均衡必然是博 弈G的纳什均衡。 然而,偏好的无满足性在消费集合有界闭的情况下不能成立,因为第二章中曾经证明过: 任何连续偏好在R的非空有界闭集中都有满足。看来,需要对无满足性条件作修改。事实上, 只要注意需求的瓦尔拉法则在“需求向量不是消费集合中的满足向量”这一较弱的要求下就能 成立,那么把“无满足性”改换成为“任何可达消费向量在消费集合中都不是满足消费”,再

第九章 一般均衡及其福利 289 =  −  −  = = = n j j m i i m i f s pxi pe py 1 1 1 ( ) 其含义是说，市场经济人的行为准则是要让超额需求的价值尽可能地大，而要让超额供给的价 值尽可能地小，以起到对市场的调节作用。注意，函数 f (s) 对价格 ph 的偏导数为： ( 1,2, , ) ( ) ( ) 1 1 1 = − − =      =    = = = x e y h p f s f s n j j h m i i h m i i h h h 因此，只要商品 h 存在着超额需求，就有 f h (s)  0 ，此时市场经济人的目标就是提高商品 h 的 价格。而当商品 h 存在着超额供给时， f h (s)  0 ，市场经济人的目标是降低商品 h 的价格。可 见，目标函数 f (s) 的定义与实际情况是相符合的。 消费者要在预算约束下使效用最大化，因此作为局中人看待的消费者 i 服从的约束条件 i S  Xi : 为：对任何 s = (x1 ,  , xm , y1 ,  , yn , p)S ，        = =   +  = n j i s i y yn p x Xi p x p ei i j p y j 1 ( )  ( 1 ,, , ) :  (i =1,2,  ,m) 生产者要使利润最大化，生产方案的选择范围始终是生产集合 Yj ，因而选择不受约束。 这种情况下，约束条件可看作是策略集合 Yj 。同样，市场经济人的选择也没有附加约束条件， 即约束条件可看作是策略集合 P 。这样一来，经济系统  可看成是带附加约束条件的博弈 G = (Xi ,ui ,i ;Yj , j ; P, f )m+n+1。 显然，  的竞争均衡必然是 G 的纳什均衡。这是因为当 ( , , , , , , ) * * * 1 * * 1 * s = x  xm y  yn p 是  的竞争均衡时， * xi 必然是消费者 i 的收益函数 ( | ) * ui xi s 在约束条件 ( ) * xi i s 下的最大值 点， * y j 也必然是生产者 j 的最大利润点，同时由于  = =  = +  = n j j m i i m i xi e y1 * 1 1 * ，因而对任何 p P ，都有 ( | ) 0 ( ) * 1 * 1 1 * * f p s px e y f s n j j m i i m i =  = i −  = −  = = = ，这说明 * p 是市场经济人的最 优选择。这一切事实证实了 ( , , , , , , ) * * * 1 * * 1 * s = x  xm y  yn p 是 G 的纳什均衡。 进一步，在消费者偏好无满足的假定下，还可把竞争均衡放松成为有自由处置的均衡。 所谓 ( , , , , , , ) * * * 1 * * x1  xm y  yn p 是经济  的有自由处置的均衡(equilibrium with free disposal)， 简称自由处置均衡，是指 ( , , , , , , ) * * * 1 * * x1  xm y  yn p 满足如下三个条件： (EFD1) xi  Xi * 是消费者 i 在价格 p *  P 和收入 = +  = n j r p ei 1 i j p y j * *  * * 下的均衡消费向量 (i =1,2,  ,m) ； (EFD2) y j Yj * 是生产者 j 在价格 p *  P 下的利润最大化净产出向量 ( j =1,2,  ,n) ； (EFD3)  =   = +  = n j j m i i m i xi e y1 * 1 1 * 。 当每个消费者的偏好都是无满足的凸偏好时，从第三章的讨论可知消费者需求满足瓦尔 拉法则。这样，对于有自由处置的均衡 ( , , , , , , ) * * * 1 * * 1 * s = x  xm y  yn p 来说，偏好的无满足性 和凸性保证了 ( ) 0 1 * * 1 * 1 * * * =  = −  = −  = = n j j m i i m i f s p xi p e p y ；而  =   = +  = n j j m i i m i xi e y1 * 1 1 * 保证 了对任何 p P ，都有 ( | ) 0 1 * 1 1 * * =  = −  = −  =  n j j m i i m i f p s pxi pe py ，从而 ( | ) ( ) * * f p s  f s 。 这就说明，当每个消费者的偏好关系都无满足的凸偏好时，经济  的自由处置均衡必然是博 弈 G 的纳什均衡。 然而，偏好的无满足性在消费集合有界闭的情况下不能成立，因为第二章中曾经证明过： 任何连续偏好在  R 的非空有界闭集中都有满足。看来，需要对无满足性条件作修改。事实上， 只要注意需求的瓦尔拉法则在“需求向量不是消费集合中的满足向量”这一较弱的要求下就能 成立，那么把“无满足性”改换成为“任何可达消费向量在消费集合中都不是满足消费”，再

第九章一般均衡及其福利 290 加上偏好的凸性条件,方可保证上面的f(s)=∑mp'x-2mp'e-∑=py=0成立,从 而保证f(p|s')≤f(s')对一切p∈P成立。于是,如上的结论变为:如果每个消费者的偏好 关系都是凸的,并且任何可达消费方案都不是消费者的满足消费,那么经济E的自由处置均 衡必然是博弈G的纳什均衡 反过来,博弈G的纳什均衡能够成为经济￡的自由处置均衡吗?答案是肯定的。事实上, 当s=(x…,x,川,…,ν,p')∈S是博弈G的纳什均衡时,(x,…,xm,y,…,y,p')显然 满足条件(EFD)和(EFD2)。既然x服从预算约束p'x≤P'e+∑=19P'y(=12,…,m) 所以在条件∑m191=1下 f(s)=px-pe-∑9,p=∑px-∑p-p≤0 j=li=l 结合s’是G的纳什均衡这一事实,我们得到:对任何p∈P,f(p|s')≤f(s')≤0。从而 f(p|)=∑px-∑pe-∑py)≤0 对一切p∈P成立。这就保证了∑x-∑m1e1-∑=y≤0,即条件(EFD3)得到满足。可见 当∑m9=1时,博弈G的纳什均衡也必然是经济E的自由处置均衡。 把以上得出的两条结论结合在一起,我们便得到竞争均衡和纳什均衡之间的如下关系 命题1.设博弈G=(X,l,;Y,丌1;P,f)m+m是对经济E=(X1,=,e,91,Y)mn0 的博弈描述,其中,≥0且∑m身=1。 (1)博弈G的纳什均衡必然是经济￡的自由处置均衡 (2)当E中的诸消费者i都具有凸偏好关系≤;,并且任何可达消费方案x1∈X都不是消费者 i(在X中)的满足消费时,经济E的自由处置均衡也必然是博弈G的纳什均衡,从而对任 何s=(x,…,xn,y…,yp)∈S,s是经济E的自由处置均衡当且仅当s是博弈G的 纳什均衡 因此,经济均衡的存在性问题转化为带附加约束条件的纳什均衡存在性问题。第八章第 九节关于带约東条件的纳什均衡存在性定理,给出了该问题的答案 为了保证G满足第八章第九节中所述的带附加约束的纳什均衡存在性定理的条件,我们 对经济系统E提出如下要求 D)X与y都是R的紧凸子集(=12,…mj=12,…n) (D2)≤是连续的弱凸偏好关系(=1,2,…,m) (D3)存在m∈X满足O1<e(i=1,2,…,m (D4)0∈X(=12,…,n) D5)⑨,20且∑m9=1,即生产者都把利润全部分配给消费者 条件D1)保证了博弈G的各个局中人的策略集合都是欧氏空间的紧凸子集,条件①D2)保 证了各个局中人的收益函数都是关于局中人自己的策略变元的弱拟凹连续函数,条件(D3)和 (DA)(再加上条件(D1))保证了各个约束集映都是连续的,从而第九章第九节中的条件(G1) 和(G2)得到满足。 这里,对条件(D3)的意义作一点说明。可以把(D3)中的向量;∈M理解为消费者i的最 小需要向量,于是条件(①D3)说明消费者i拥有的资源都比他的最小需要为大,即消费者的最基 本的生活需要是能够得到满足的 既然带约束条件的均衡存在性条件得到满足,G的纳什均衡存在,从而经济E的自由处 置均衡存在,这就是德布罗得到的如下定理: 德布罗定理G. Debreu).设经济E=(X1,=,e1,9,Y)(m满足条件o1)、(D2)、D3)

第九章 一般均衡及其福利 290 加上偏好的凸性条件，方可保证上面的 ( ) 0 1 * * 1 * 1 * * * =  = −  = −  = = n j j m i i m i f s p xi p e p y 成立，从 而保证 ( | ) ( ) * * f p s  f s 对一切 p P 成立。于是，如上的结论变为：如果每个消费者的偏好 关系都是凸的，并且任何可达消费方案都不是消费者的满足消费，那么经济  的自由处置均 衡必然是博弈 G 的纳什均衡。 反过来，博弈 G 的纳什均衡能够成为经济  的自由处置均衡吗？答案是肯定的。事实上， 当 s = (x , , xm , y , , yn , p )S * * * 1 * * 1 *   是博弈 G 的纳什均衡时， ( , , , , , , ) * * * 1 * * x1  xm y  yn p 显然 满足条件(EFD1)和(EFD2)。既然 * xi 服从预算约束  +  = n j p xi p ei 1 i j p y j * * *  * * (i =1,2,  ,m) ， 所以在条件 1  =1 = m i  i j 下， ( ) 0 1 * * 1 * 1 * * 1 * * 1 1 * 1 * * * =  −  −  =  −  −   = = = = = = = n j j m i i m i i n j j m i i j m i i m i f s p xi p e  p y p x p e p y 结合 * s 是 G 的纳什均衡这一事实，我们得到：对任何 p P ， ( | ) ( ) 0 * * f p s  f s  。从而 ( | ) 0 1 * 1 1 * * =  −  −   = = = n j j m i i m i f p s pxi pe py 对一切 p P 成立。这就保证了 0 1 * 1 1 *  = −  = −  =  n j j m i i m i xi e y ，即条件(EFD3) 得到满足。可见， 当 1  =1 = m i  i j 时，博弈 G 的纳什均衡也必然是经济  的自由处置均衡。 把以上得出的两条结论结合在一起，我们便得到竞争均衡和纳什均衡之间的如下关系： 命题 1. 设博弈 G = (Xi ,ui ,i ;Yj , j ; P, f )m+n+1 是对经济  ( , = X i )( , , ) , , , i ei i j Yj m n  的博弈描述，其中 i j  0 且  = = m i 1i j 1。 (1)博弈 G 的纳什均衡必然是经济  的自由处置均衡； (2)当  中的诸消费者 i 都具有凸偏好关系 i ，并且任何可达消费方案 xi Xi  ˆ 都不是消费者 i (在 Xi 中)的满足消费时，经济  的自由处置均衡也必然是博弈 G 的纳什均衡，从而对任 何 s = (x , , xm , y , , yn , p )S * * * 1 * * 1 *   ， * s 是经济  的自由处置均衡当且仅当 * s 是博弈 G 的 纳什均衡。 因此，经济均衡的存在性问题转化为带附加约束条件的纳什均衡存在性问题。第八章第 九节关于带约束条件的纳什均衡存在性定理，给出了该问题的答案。 为了保证 G 满足第八章第九节中所述的带附加约束的纳什均衡存在性定理的条件，我们 对经济系统  提出如下要求： (D1) Xi 与 Yj 都是  R 的紧凸子集 (i =1,2,  ,m; j =1,2,  , n) ； (D2) i 是连续的弱凸偏好关系 (i =1,2,  ,m) ； (D3) 存在  i  Xi 满足  i  ei (i =1,2,  ,m) ； (D4) 0Yj ( j =1,2,  ,n) ； (D5) i j  0 且  = = m i 1i j 1，即生产者都把利润全部分配给消费者。 条件(D1)保证了博弈 G 的各个局中人的策略集合都是欧氏空间的紧凸子集，条件(D2)保 证了各个局中人的收益函数都是关于局中人自己的策略变元的弱拟凹连续函数，条件(D3)和 (D4)(再加上条件(D1))保证了各个约束集映 i 都是连续的，从而第九章第九节中的条件(G1) 和(G2)得到满足。 这里，对条件(D3)的意义作一点说明。可以把(D3)中的向量  i  Xi 理解为消费者 i 的最 小需要向量，于是条件(D3)说明消费者 i 拥有的资源都比他的最小需要为大，即消费者的最基 本的生活需要是能够得到满足的。 既然带约束条件的均衡存在性条件得到满足， G 的纳什均衡存在，从而经济  的自由处 置均衡存在，这就是德布罗得到的如下定理： 德布罗定理(G.Debreu). 设经济  ( , = X i )( , , ) , , , i ei i j Yj m n  满足条件(D1)、(D2)、(D3)

第九章一般均衡及其福利 291 (D4)和(5),则E有自由处置的均衡,即存在经济状态(x1…,xm,y…,mn,p)∈S满足条件 (EFD1)、(EFD2)和EF3)。进步,如果E还满足如下条件: (D6)各个消费者的偏好关系≤;是凸的,并且任何可达消费方案x1∈X1都不是消费者的满足 消费,即对任何x∈X,都存在相应的x∈X使得x1<;x。 则E的任何自由处置均衡(x…,xm,y,…,y,p')都服从瓦尔拉斯定律,即 Px-∑Pe1-∑Py=0 证明.只需说明自由处置均衡服从瓦尔拉定律。为此,设s'=(xi,…,xm,y,…,yp)为 E的任一有自由处置的均衡。条件(D6)保证了p'x=P'e+∑m19,p'y(=12,…,m)。 结合条件(5便知,∑1p'x-∑m1pe-∑1P'y=0。可见,s服从瓦尔拉定律 阿罗-德布罗均衡模型 上面提出的德布罗定理,给出了自由处置均衡存在的条件,但它不能令人满意。首先 它所蕴含的自由处置性没有得到明确的表述,应当给其以明确表达。其次,要求消费集合与生 产集合都是紧集,从而都是有界集合,是难以找到经济上的合理性的。尤其是生产集合的有界 性,把规模报酬不变这一标准情形都给排除在外。因此,需要对一般经济均衡存在性问题进行 进一步深入研究。现在的问题是如何给出既有经济意义,又能保证一般经济均衡存在的合理条 件。阿罗与德布罗经过一番周密细致的精巧分析,提出了一系列合理假设,给出了经济均衡存 在的下述定理,即经典的阿罗-德布罗定理。 阿罗-德布罗定理(1954,1959).设经济E=(X1,=,e,9,Y)(mn满足下述条件 对每个消费者来说 (AD)x是商品空间R的下有界闭凸子集(=12…,m); (AD2)≤;是连续的、无满足的凸偏好关系(=1,2,…,m (AD)存在a∈X满足a<<e(i=12,…,m); 对于生产者来说 (ADA)0∈Y(j=1,2,…,n) (AD5)总生产集合Y=Y1+Y2+…+V是R的闭凸子集 (AD6)y∩(-Y)=} R 对于利润分成比例来说, (AD8)9≥0(=1,2,…,mj=1,2,…,n)且∑m19=1 则经济E的竞争均衡存在,即存在经济状态(x…x,ⅵ,…,y,p)满足如下三个条件: (1)x是消费者i在价格p和收入r'=p'e+∑m19,P'y下的均衡向量(=1 (2)y’∈Y是生产者j在价格p'∈P下的均衡向量(=12…,m) (3)∑m1x=∑m1e1+∑=y 定理中的条件(AD6)是说生产过程不可逆:条件(AD7)是说企业对投入要素可以自由处 置,即企业可以采取只投入不产出的生产方案。这样就可保证产品不过剩,从而克服自由处置 均衡中的产品过剩现象。其它假设的经济意义在以前章节中已作过解释,这里不必重复 我们把满足条件(AD1)至(AD8)的经济￡,叫做阿罗-德布罗经济。在证明阿罗-德布罗定 理之前,对阿罗-德布罗经济的性质作一些探讨。 用c表示集合的闭包运算,co表示集合的凸包运算。即对任何A∈R,cA是包含A的 最小闭集,coA是包含A的最小凸集。这样,集合 alcoA和 coca的意义就是明显的了

第九章 一般均衡及其福利 291 (D4)和(D5)，则  有自由处置的均衡，即存在经济状态 (x , , xm , y , , yn , p )S * * * 1 * * 1   满足条件 (EFD1)、(EFD2)和(EFD3)。进一步，如果  还满足如下条件： (D6) 各个消费者的偏好关系 i 是凸的，并且任何可达消费方案 xi Xi  ˆ 都不是消费者 i 的满足 消费，即对任何 xi Xi  ˆ ，都存在相应的 xi  Xi  使得 xi i xi  。 则  的任何自由处置均衡 ( , , , , , , ) * * * 1 * * x1  xm y  yn p 都服从瓦尔拉斯定律，即 0 1 * * 1 * 1 * *  −  −  = = = = n j j m i i m i p xi p e p y 证明. 只需说明自由处置均衡服从瓦尔拉定律。为此，设 ( , , , , , , ) * * * 1 * * 1 * s = x  xm y  yn p 为  的任一有自由处置的均衡。条件（D6）保证了 = +  = n j p xi p ei 1 i j p y j * * *  * * (i =1,2,  ,m) 。 结合条件(D5)便知， 0 1 * * 1 * 1 * *  = −  = −  = = n j j m i i m i p xi p e p y 。可见， * s 服从瓦尔拉定律。 二. 阿罗-德布罗均衡模型 上面提出的德布罗定理，给出了自由处置均衡存在的条件，但它不能令人满意。首先， 它所蕴含的自由处置性没有得到明确的表述，应当给其以明确表达。其次，要求消费集合与生 产集合都是紧集，从而都是有界集合，是难以找到经济上的合理性的。尤其是生产集合的有界 性，把规模报酬不变这一标准情形都给排除在外。因此，需要对一般经济均衡存在性问题进行 进一步深入研究。现在的问题是如何给出既有经济意义，又能保证一般经济均衡存在的合理条 件。阿罗与德布罗经过一番周密细致的精巧分析，提出了一系列合理假设，给出了经济均衡存 在的下述定理，即经典的阿罗-德布罗定理。 阿罗-德布罗定理(1954,1959). 设经济  ( , = X i )( , , ) , , , i ei i j Yj m n  满足下述条件: 对每个消费者来说， (AD1) Xi 是商品空间  R 的下有界闭凸子集 (i =1,2,  ,m) ； (AD2) i 是连续的、无满足的凸偏好关系 (i =1,2,  ,m) ； (AD3) 存在  i  Xi 满足  i  ei (i =1,2,  ,m) ； 对于生产者来说, (AD4) 0Yj ( j =1,2,  ,n) ； (AD5) 总生产集合 Y =Y1 + Y2 ++ Yn 是  R 的闭凸子集； (AD6) Y  (−Y) = 0 ； (AD7) − R+  Y  ； 对于利润分成比例来说, (AD8) i j  0 (i =1,2,  ,m; j =1,2,  , n) 且  = = m i 1i j 1。 则经济  的竞争均衡存在，即存在经济状态 ( , , , , , , ) * * * 1 * * x1  xm y  yn p 满足如下三个条件： (1) * xi 是消费者 i 在价格 * p 和收入 = +  = n j r p ei 1 i j p y j * *  * * 下的均衡向量 (i =1,2,  ,m) ； (2) y j Yj * 是生产者 j 在价格 p *  P 下的均衡向量 ( j =1,2,  ,n) ； (3)  = =  = +  = n j j m i i m i xi e y1 * 1 1 * 。 定理中的条件(AD6)是说生产过程不可逆；条件(AD7)是说企业对投入要素可以自由处 置，即企业可以采取只投入不产出的生产方案。这样就可保证产品不过剩，从而克服自由处置 均衡中的产品过剩现象。其它假设的经济意义在以前章节中已作过解释，这里不必重复。 我们把满足条件(AD1)至(AD8)的经济  ，叫做阿罗-德布罗经济。在证明阿罗-德布罗定 理之前，对阿罗-德布罗经济的性质作一些探讨。 用 cl 表示集合的闭包运算， co 表示集合的凸包运算。即对任何  AR ，cl A 是包含 A 的 最小闭集， co A 是包含 A 的最小凸集。这样，集合 clcoA 和 cocl A 的意义就是明显的了