第五章不确定条件下的选择 第五章不确定条件下的选择 前面两章讨论了确定性环境中的消费选择问题,即涉及的价格、收入、消费量等变量都 具有确定性。然而实际消费选择并非总是在这种确定性环境中进行的,比如人们可以借款进 行超支消费,如借款购房或贷款进大学接受高等教育,这种超支消费同人们未来收入有关 然而未来是不确定的,一个人的未来收入可能提高,也可能降低,也可能失业而只能享受社 会救济。如果未来收益很低,那么当前的超支在未来就无能力偿付。因此,当前是否要超支 消费,这是一个不确定的消费选择问题。又如择业,是在国有企事业单位找一份工作,以求 得稳定的(较低)工资收入和安全的社会保障,还是在合资企业求得一个高薪职位但面临很 大风险呢?一个人是把他(她)的余款存入银行以求得安全的低利息收入,还是利用余款购买 股票进行投资,求得一个高收益但面临较大风险呢?这还是一个带不确定性的选择问题。本 章讨论这种不确定条件下的消费选择问题 第一节不确定性选择事例 通常的“不确定”一词,是说人们不能确定某种行为一定会发生某种结果。经济学家对 这个词的含义进行了严格界定,区分了两个不相同但相联系的概念:不肯定性与风险。 不肯定性( uncertainty)是指人们既不能确定某种经济行为一定会发生某种结果,又不能 确定其发生的可能性大小。出现不肯定性的原因可能是人们行为本身就具有不确定性因素, 或者是人们行为不完全独立,或者是人们缺乏必要的信息等等。 风险(risk)是指人们虽然不能确定某种经济行为一定会发生某种结果,但能够确定其发 生的可能性大小,或者说,经济行为产生某种结果的可能性大小是客观存在,由客观条件决 定。比如人们可以根据已有的经验,确定出某种经济行为的各种可能结果,并且确定出每种 结果发生的概率。这样一来,便可计算这种经济行为的期望值,并利用期望值进行分析。 下面来看不确定性条件下选择的几个事例。 例1.抽彩( lottery) 设有两种奖品通过抽彩才能获得。第一种抽彩方式(即第一种彩票)是:获得奖品1的概率 为p,获得奖品2的概率为1-p。第二种抽彩方式(即第二种彩票)是:获得奖品1的概率为q 获得奖品2的概率为1-q。抽彩人得到奖品1后,能获得U1个单位的效用;获得奖品2后 能获得U2个单位的效用。问抽彩人喜欢抽哪一种彩票? 要回答这个问题,需要计算这两种彩票的预期效用(即效用的期望值)。用EU1表示第 种彩票的预期效用,EU2表示第二种彩票的预期效用。根据概率论的有关知识可知, EU1=pU1+(1-p)U2 比较一下EU1和EU2的大小,如果EU1>EU2,说明第一种彩票的效用期望值更大,因此抽 彩人更喜欢第一种抽彩方式,选择第一种彩票。同理,当EU1<EU2时,抽彩人会选择第二 种彩票。当EU1=EU2时,两种彩票的效用期望相同,因而对抽彩人来说无差异。 这个例子同时也说明,一种彩票可以用抽彩的中奖概率分布来表示。比如说有一种彩票
第五章 不确定条件下的选择 86 第五章 不确定条件下的选择 前面两章讨论了确定性环境中的消费选择问题，即涉及的价格、收入、消费量等变量都 具有确定性。然而实际消费选择并非总是在这种确定性环境中进行的，比如人们可以借款进 行超支消费，如借款购房或贷款进大学接受高等教育，这种超支消费同人们未来收入有关， 然而未来是不确定的，一个人的未来收入可能提高，也可能降低，也可能失业而只能享受社 会救济。如果未来收益很低，那么当前的超支在未来就无能力偿付。因此，当前是否要超支 消费，这是一个不确定的消费选择问题。又如择业，是在国有企事业单位找一份工作，以求 得稳定的（较低）工资收入和安全的社会保障，还是在合资企业求得一个高薪职位但面临很 大风险呢？一个人是把他(她)的余款存入银行以求得安全的低利息收入，还是利用余款购买 股票进行投资，求得一个高收益但面临较大风险呢？这还是一个带不确定性的选择问题。本 章讨论这种不确定条件下的消费选择问题。 第一节 不确定性选择事例 通常的“不确定”一词，是说人们不能确定某种行为一定会发生某种结果。经济学家对 这个词的含义进行了严格界定，区分了两个不相同但相联系的概念：不肯定性与风险。 不肯定性(uncertainty)是指人们既不能确定某种经济行为一定会发生某种结果，又不能 确定其发生的可能性大小。出现不肯定性的原因可能是人们行为本身就具有不确定性因素， 或者是人们行为不完全独立，或者是人们缺乏必要的信息等等。 风险(risk)是指人们虽然不能确定某种经济行为一定会发生某种结果，但能够确定其发 生的可能性大小，或者说，经济行为产生某种结果的可能性大小是客观存在，由客观条件决 定。比如人们可以根据已有的经验，确定出某种经济行为的各种可能结果，并且确定出每种 结果发生的概率。这样一来，便可计算这种经济行为的期望值，并利用期望值进行分析。 下面来看不确定性条件下选择的几个事例。 例 1. 抽彩(lottery) 设有两种奖品通过抽彩才能获得。第一种抽彩方式(即第一种彩票)是：获得奖品 1 的概率 为 p ，获得奖品 2 的概率为 1− p 。第二种抽彩方式(即第二种彩票)是：获得奖品 1 的概率为 q ， 获得奖品 2 的概率为 1− q 。抽彩人得到奖品 1 后，能获得 U1 个单位的效用；获得奖品 2 后， 能获得 U2 个单位的效用。问抽彩人喜欢抽哪一种彩票？ 要回答这个问题，需要计算这两种彩票的预期效用（即效用的期望值）。用 EU1 表示第一 种彩票的预期效用， EU2 表示第二种彩票的预期效用。根据概率论的有关知识可知， 1 1 2 EU = pU + (1− p)U ， 2 1 2 EU = qU + (1− q)U 比较一下 EU1 和 EU2 的大小，如果 EU1 EU2 ，说明第一种彩票的效用期望值更大，因此抽 彩人更喜欢第一种抽彩方式，选择第一种彩票。同理，当 EU1 EU2 时，抽彩人会选择第二 种彩票。当 EU1 = EU2 时，两种彩票的效用期望相同，因而对抽彩人来说无差异。 这个例子同时也说明，一种彩票可以用抽彩的中奖概率分布来表示。比如说有一种彩票
第五章不确定条件下的选择 有n个等级的奖励:1等奖,2等奖 n-1等奖(末等奖),n等奖(无奖)。获得i等奖的 概率为p;(i=1,2,…,n),p1+p 这个彩票可用它的中奖概率分布 (p1,P2…,Pn)来表示。再设抽彩人获得i等奖时,可获得U1个单位的效用,则该彩票的预期 效用为EU=P1U1+P2U2+…+pnU 预期效用越大的彩票,抽彩人(消费者)就越偏好于这种彩票。总之,彩票抽彩可用下 表加以表示 表5-1彩票抽彩 奖励等级1等奖2等奖 n-1等奖n等奖 中奖概率|p 中奖效用U 预期效用 EU=p1U1+p2U2+…+pnU 例2.赌博( gamble) 赌博是典型的依靠随机因素来决定收入的现象,用它可来区别一个人是冒险者还是避险 者。比如甲、乙两个球迷在为“巴西一法国”足球比赛的胜负争执不休,甲认为巴西队赢, 乙认为法国队赢。于是,有人建议他们以50元赌金打赌。如果不赌,甲和乙谁都不会赢得50 元,当然也不会付出50元,双方收入50元不变。如果赌,赌赢者可得50元(收入变为100 元),赌不赢就要付出50元(收入变为0元)。那么他们俩人是否要进行这场赌博呢?我们作 下分析 甲和乙之所以争论不休,是因为各人有各人的信息,各人有各人的判断。甲说巴西队贏 球,是因为甲认为巴西队胜球的概率大于法国队。乙说法国队贏球,是因为乙认为法国队赢 球的概率大于巴西队。设甲认为巴西队赢球的概率为p,法国队贏球的概率为1-p;乙认为 巴西队赢球的概率为q,法国队赢球的概率为1-q。则p>1-p,q<1-q。 用u表示甲的货币收入效用函数,v表示乙的货币收入效用函数。甲根据自己的概率判断, 计算出赌博的预期效用为EU=p(100)+(1-p)l(O):乙也根据自己的概率判断,计算出赌 博的预期效用为EV=q(0)+(1-q)(100)。如果EU>l(50),那么甲参加赌博的预期效用大 于不赌的效用,甲会参加赌博。同样,如果EV>v(50),那么乙参加赌博的预期效用大于不 赌的效用,乙会参加赌博。只有当EU>l(50)且E>v(50)时,这场赌博才能开展起来。否 则,就有一方不愿意打赌。可见,一个人是否参加赌博,要看他打赌的预期效用是否大于不 赌的效用 赌博是一种增加人们收入的冒险行动。赌赢了,人们收入会得到较大幅度的增加,但却 冒着赌输使收入减少的风险。也正是这种风险,让不少赌徒倾家荡产。一个人是否喜欢赌博, 这要看他对待风险的态度。我们以赌博为例,来对人们对待风险的态度作一个分析。 设有一个赌博,赌输要输掉ν1元,赌则可得到ν2元的收获。某人现有货币收入W元 且W≥W1,因而具有参加赌博的资金条件。那么他是否喜欢赌博?这取决于他对待赌博的态 度。假定该人认为这场赌博输的概率为p,赢的概率为1-p,他的货币收入效用函数为U(r)。 如果不参加赌博,则收入W元不变,效用为U(W);如果参加赌博,则预期收入为 ER=p(W-W1)+(1-p)W+w2),预期效用为EU=pU(W-m1)+(1-p)(W+v2)。 当ER=W时,即当赌博的预期收入等于不赌的收入时,称这种赌博是公平赌博。一个人 是否喜欢冒险,要看他对待公平赌博的态度。在公平赌博面前,如果他认为赌博的预期效用 EU大于不赌的效用U(W4),即认为赌比不赌好,那么他就是一个喜欢冒险的人,称为冒险者 或者称为风险爱好者:如果他在公平赌博面前认为不赌比赌好(即U(W)>EU),那么他就是 一个不喜欢冒险的人,称为避险者或者称为风险规避者:如果他在公平赌博面前认为赌与不 赌是一样的(即EU=U(W),那么就称他是一个风险中立者 显然,一个人对待风险的态度,完全表现在他的效用函数U的性态上(如图5-1所示)
第五章 不确定条件下的选择 87 有 n 个等级的奖励：1 等奖，2 等奖，…， n −1 等奖(末等奖)， n 等奖(无奖)。获得 i 等奖的 概率为 i p （ i =1,2, ,n ) ， p1 + p2 ++ pn =1 。 这 个彩 票 可用 它的 中奖 概率 分 布 ( , , , ) p1 p2 pn 来表示。再设抽彩人获得 i 等奖时，可获得 U i 个单位的效用，则该彩票的预期 效用为 EU = p1U1 + p2U2 ++ pnUn 。 预期效用越大的彩票，抽彩人（消费者）就越偏好于这种彩票。总之，彩票抽彩可用下 表加以表示。 表 5-1 彩票抽彩 奖励等级 1 等奖 2 等奖 … n −1 等奖 n 等奖 中奖概率 1 p p2 … pn−1 pn 中奖效用 U1 U2 … U n−1 Un 预期效用 EU = p1U1 + p2U2 ++ pnUn 例 2. 赌博(gamble) 赌博是典型的依靠随机因素来决定收入的现象，用它可来区别一个人是冒险者还是避险 者。比如甲、乙两个球迷在为“巴西—法国”足球比赛的胜负争执不休，甲认为巴西队赢， 乙认为法国队赢。于是，有人建议他们以 50 元赌金打赌。如果不赌，甲和乙谁都不会赢得 50 元，当然也不会付出 50 元，双方收入 50 元不变。如果赌，赌赢者可得 50 元（收入变为 100 元），赌不赢就要付出 50 元(收入变为 0 元)。那么他们俩人是否要进行这场赌博呢？我们作 一下分析。 甲和乙之所以争论不休，是因为各人有各人的信息，各人有各人的判断。甲说巴西队赢 球，是因为甲认为巴西队胜球的概率大于法国队。乙说法国队赢球，是因为乙认为法国队赢 球的概率大于巴西队。设甲认为巴西队赢球的概率为 p ，法国队赢球的概率为 1− p ；乙认为 巴西队赢球的概率为 q ，法国队赢球的概率为 1− q 。则 p 1− p ，q 1− q 。 用 u 表示甲的货币收入效用函数， v 表示乙的货币收入效用函数。甲根据自己的概率判断， 计算出赌博的预期效用为 EU = pu(100) + (1− p)u(0) ；乙也根据自己的概率判断，计算出赌 博的预期效用为 EV = qv(0) + (1− q)v(100) 。如果 EU u(50) ，那么甲参加赌博的预期效用大 于不赌的效用，甲会参加赌博。同样，如果 EV v(50) ，那么乙参加赌博的预期效用大于不 赌的效用，乙会参加赌博。只有当 EU u(50) 且 EV v(50) 时，这场赌博才能开展起来。否 则，就有一方不愿意打赌。可见，一个人是否参加赌博，要看他打赌的预期效用是否大于不 赌的效用。 赌博是一种增加人们收入的冒险行动。赌赢了，人们收入会得到较大幅度的增加，但却 冒着赌输使收入减少的风险。也正是这种风险，让不少赌徒倾家荡产。一个人是否喜欢赌博， 这要看他对待风险的态度。我们以赌博为例，来对人们对待风险的态度作一个分析。 设有一个赌博，赌输要输掉 w1 元，赌赢则可得到 w2 元的收获。某人现有货币收入 W 元 且 W w1 ，因而具有参加赌博的资金条件。那么他是否喜欢赌博？这取决于他对待赌博的态 度。假定该人认为这场赌博输的概率为 p ，赢的概率为 1− p ，他的货币收入效用函数为 U(r) 。 如果不参加赌博，则收入 W 元不变，效用为 U(W) ；如果参加赌博，则预期收入为 ( ) (1 )( ) ER = p W − w1 + − p W + w2 ，预期效用为 ( ) (1 ) ( ) EU = pU W − w1 + − p U W + w2 。 当 ER = W 时，即当赌博的预期收入等于不赌的收入时，称这种赌博是公平赌博。一个人 是否喜欢冒险，要看他对待公平赌博的态度。在公平赌博面前，如果他认为赌博的预期效用 EU 大于不赌的效用 U(W) ，即认为赌比不赌好，那么他就是一个喜欢冒险的人，称为冒险者 或者称为风险爱好者；如果他在公平赌博面前认为不赌比赌好(即 U(W) EU )，那么他就是 一个不喜欢冒险的人，称为避险者或者称为风险规避者；如果他在公平赌博面前认为赌与不 赌是一样的(即 EU =U(W) )，那么就称他是一个风险中立者。 显然，一个人对待风险的态度，完全表现在他的效用函数 U 的性态上(如图 5-1 所示)：
第五章不确定条件下的选择 (1)风险爱好者的效用函数U是凸函数,即对任何两种收入W1和W2,及任何实数p∈(,1) 都有U(pW1+(1-p2)<pU(W1)+(1-p)U(W2) (2)风险规避者的效用函数U是凹函数,即对任何两种收入W和W2,及任何实数p∈(O,1) 都有U(pW1+(1-p)W2)>pU(W1)+(1-p)U(W2)。 (3)风险中立者的效用函数U是线性的,即对任何两种收入W和2,及任何实数p∈(O,1) 都有U(pW1+(1-p)W2)=pU(W1)+(1-p)U(W2) 应该说,我们大多数人都是不好冒险的,是避险者,谁能在不肯定的赌博收入等于肯定 的不赌收入的情况下选择赌博呢?因此,边际效用递减规律(即效用函数为凹函数)对于大多 数人来说都是适用的。 EU U(ER) EU L-U(ER)- W, ER n W, ER W ER (a)风险爱好者 (b)风险规避者 (c)风险中立者 图5-1对待风险的态度与效用函数性态 我们再来看一下在不公平赌博面前,风险爱好者、风险规避者和风险中立者的不同态度 不公平赌博有两种:一种是预期收入大于不赌的收入,称为盈赌;另一种是预期收入小于不 赌的收入,称为亏赌。假定效用函数U是严格递增的(即收入越多,效用越大)。 对于亏赌来说,ER<W。根据U的严格递增性,U(ER)<U(W)。风险规避者及风险中 立者认为EUsU(ER),故EU<U(W),因此他们肯定不参加赌博;但风险爱好者认为 EU>U(ER),因此,EU与U(W)哪个更大不得肯定。这就是说,风险爱好者甚至连亏赌都 有可能参加(因为有可能EU>U(W)) 对于盈赌来说,ER>W,因此U(ER)>U(W)。风险爱好者和中立者认为EU≥U(ER) 因而EU>U(W),他们肯定要赌;但风险规避者认为EU<U(ER),于是EU与U(W)哪个 更大不得而知,这就是说,风险规避者甚至连盈赌都不一定参加(因为有可能EU<U(W)) 以上对于赌博的分析,可用下表加以总结。 表5-2赌博与对待风险的态度 对待风险的态度效用函数的性态公平赌博 盈赌 亏赌 风险爱好者 凸函数 赌者 赌者 不一定不赌 线性函数可赌、也可不赌 风险规避者 凹函数 例3.择业 设某人面临两种工作,需要从中选择出一种。第一种工作是在私营公司里搞推销,薪金 较高,但是收入是不确定的。如果干得好,每月可挣得2000元:干得一般,每月就只能挣得 1000元。假定他挣得2000元和挣得1000元的概率各为1/2。第二种工作是在国营商店当售 货员,每月工资1510元。但在国营商店营业状况极差的情况下,每月就只能得到510元的基 本工资收入。不过,一般情况下国营商店营业状况不会极差,出现营业状况极差情况的可能 性只有1%,因此第二种工作获得月收入1510元的可能性为99%
第五章 不确定条件下的选择 88 (1) 风险爱好者的效用函数 U 是凸函数，即对任何两种收入 W1 和 W2 ，及任何实数 p(0,1) ， 都有 ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) U pW1 + − p W2 pU W1 + − p U W2 。 (2) 风险规避者的效用函数 U 是凹函数，即对任何两种收入 W1 和 W2 ，及任何实数 p(0,1) ， 都有 ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) U pW1 + − p W2 pU W1 + − p U W2 。 (3) 风险中立者的效用函数 U 是线性的，即对任何两种收入 W1 和 W2 ，及任何实数 p(0,1) ， 都有 ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) U pW1 + − p W2 = pU W1 + − p U W2 。 应该说，我们大多数人都是不好冒险的，是避险者，谁能在不肯定的赌博收入等于肯定 的不赌收入的情况下选择赌博呢？因此，边际效用递减规律(即效用函数为凹函数)对于大多 数人来说都是适用的。 我们再来看一下在不公平赌博面前，风险爱好者、风险规避者和风险中立者的不同态度。 不公平赌博有两种：一种是预期收入大于不赌的收入，称为盈赌；另一种是预期收入小于不 赌的收入，称为亏赌。假定效用函数 U 是严格递增的（即收入越多，效用越大）。 对于亏赌来说， ER W 。根据 U 的严格递增性， U(ER) U(W) 。风险规避者及风险中 立者认为 EU U(ER) ，故 EU U(W) ，因此他们肯定不参加赌博；但风险爱好者认为 EU U(ER) ，因此， EU 与 U(W) 哪个更大不得肯定。这就是说，风险爱好者甚至连亏赌都 有可能参加（因为有可能 EU U(W) ）。 对于盈赌来说， ER W ，因此 U(ER) U(W) 。风险爱好者和中立者认为 EU U(ER) ， 因而 EU U(W) ，他们肯定要赌；但风险规避者认为 EU U(ER) ，于是 EU 与 U(W) 哪个 更大不得而知，这就是说，风险规避者甚至连盈赌都不一定参加（因为有可能 EU U(W) ）。 以上对于赌博的分析，可用下表加以总结。 表 5-2 赌博与对待风险的态度 对待风险的态度 效用函数的性态 公平赌博 盈赌 亏赌 风险爱好者 凸函数 赌 赌 不一定不赌 风险中立者 线性函数 可赌、也可不赌 赌 不赌 风险规避者 凹函数 不赌 不一定赌 不赌 例 3. 择业 设某人面临两种工作，需要从中选择出一种。第一种工作是在私营公司里搞推销，薪金 较高，但是收入是不确定的。如果干得好，每月可挣得 2000 元；干得一般，每月就只能挣得 1000 元。假定他挣得 2000 元和挣得 1000 元的概率各为 1/2。第二种工作是在国营商店当售 货员，每月工资 1510 元。但在国营商店营业状况极差的情况下，每月就只能得到 510 元的基 本工资收入。不过，一般情况下国营商店营业状况不会极差，出现营业状况极差情况的可能 性只有 1％，因此第二种工作获得月收入 1510 元的可能性为 99％。 U U U EU EU U(ER) EU U(ER) U(ER) W W W W1 ER W2 W1 ER W2 W1 ER W2 (a) 风险爱好者 (b) 风险规避者 (c) 风险中立者 图 5-1 对待风险的态度与效用函数性态
第五章不确定条件下的选择 计算一下这两种工作的预期月收入ER,和ER ER1=0.5×2000+0.5×1000=1500(元) ER,=099×1510+0.01×510=1500(元) 可见,月收入的期望值都为1500元。 再计算一下这两种工作月收入的方差a2和a a12=05×(20001500)2+0.5×(1000-15002=25000 a2=099×(1510-15002+0.01×(510-1500)2=9900 所以,两种工作的标准差分别为σ1=500,σ2=30√11。a1>σ2说明,第一种工作虽然收 入可高达2000元,但风险大(即方差大);第二种工作虽然收入最高只有1510元,但风险小 (即方差小)。 这个人会选择哪一种工作呢?如果他不喜好冒险,他会选择第二种工作,因为两种工作 的预期收入相同,但第二种工作的风险小。如果他喜欢冒险,认为不冒险就发不了财,他就 会选择第二种工作 如果两种工作的预期收入不同,比如说第一种工作在“干得好”和“干得一般”两种情 况下的月收入都比上面所述的收入要增加100元,第二种工作的收入情况还是如上,则 R1=0.5×2100+0.5×1100=1600(元 ER2=0.99×1510+001×510=1500(元) a2=0.5×(2100-16002+0.5×(1100-16002=25000 a2=0.99×(1510-1500)2+001×(510-15002=990 第一种工作虽然能向他提供比第二种工作更大的预期收入,但同时第一种工作比第二种 工作风险大。敢作敢为、富有挑战精神的人可能会选择高预期收入、高风险的第一种工作, 比较保守的人可能会选择第二种工作。在这种预期收入不同、风险不同的(工作)选择面前, 人们究竞如何选择呢?要回答这个问题,需要对风险行为进行深入研究 第二节预期效用 本节讨论消费者在不确定环境中进行选择所依据的行为准则和目标。上节所述的几个事 例说明了这样一个问题:在不确定的环境中或者具有风险的情况下,人们是根据预期效用进 行决策的。这就是说,如果消费者对各种风险消费选择有一个评价(即有一个偏好关系)的话, 那么这种评价(偏好)肯定是根据某种预期效用作出的。我们不禁要问:事实真是如此吗?对 风险行为的评价背后是否有预期效用作为支持?答案可以说是肯定的。下面就来建立预期效 用理论,回答这个问题 风险选择集合 回到上节例1中,彩票可以用各种可能的获奖结果和获得各种奖的概率分布加以描述 设共有n个等级的奖励:1等奖,2等奖,…,n等奖。一种彩票代表了获得各等级奖励的 种概率分布(P1P2…Pn),不同彩票的获奖概率分布不同(这里考虑的不同彩票,仅仅是指 购买这些彩票获得各等奖励的概率分布不同,而所有彩票的奖励类型都是相同的)。这样一来 每一种彩票都可用购买它的获奖概率分布(p1,P2…,Pn)来表示。当概率分布变为 (q1,q2,…,qn)时,(q13q2,…,qn)便代表了另一种彩票 抽彩人可以在各种彩票中选择购买,于是,抽彩人的选择范围可以用各种可能的概率分
第五章 不确定条件下的选择 89 计算一下这两种工作的预期月收入 ER1 和 ER2： ER1 = 0.5 2000 + 0.51000 =1500 （元） ER2 = 0.99 1510 + 0.01 510 =1500 （元） 可见，月收入的期望值都为 1500 元。 再计算一下这两种工作月收入的方差 2 1 和 2 2 ： 0.5 (2000 1500) 0.5 (1000 1500) 250000 2 2 2 1 = − + − = 0.99 (1510 1500) 0.01 (510 1500) 9900 2 2 2 2 = − + − = 所以，两种工作的标准差分别为 1 = 500 ， 2 = 30 11 。 1 2 说明，第一种工作虽然收 入可高达 2000 元，但风险大（即方差大）；第二种工作虽然收入最高只有 1510 元，但风险小 （即方差小）。 这个人会选择哪一种工作呢？如果他不喜好冒险，他会选择第二种工作，因为两种工作 的预期收入相同，但第二种工作的风险小。如果他喜欢冒险，认为不冒险就发不了财，他就 会选择第二种工作。 如果两种工作的预期收入不同，比如说第一种工作在“干得好”和“干得一般”两种情 况下的月收入都比上面所述的收入要增加 100 元，第二种工作的收入情况还是如上，则 ER1 = 0.5 2100 + 0.51100 =1600 （元） ER2 = 0.99 1510 + 0.01 510 =1500 （元） 0.5 (2100 1600) 0.5 (1100 1600) 250000 2 2 2 1 = − + − = 0.99 (1510 1500) 0.01 (510 1500) 9900 2 2 2 2 = − + − = 第一种工作虽然能向他提供比第二种工作更大的预期收入，但同时第一种工作比第二种 工作风险大。敢作敢为、富有挑战精神的人可能会选择高预期收入、高风险的第一种工作， 比较保守的人可能会选择第二种工作。在这种预期收入不同、风险不同的(工作)选择面前， 人们究竟如何选择呢？要回答这个问题，需要对风险行为进行深入研究。 第二节 预期效用 本节讨论消费者在不确定环境中进行选择所依据的行为准则和目标。上节所述的几个事 例说明了这样一个问题：在不确定的环境中或者具有风险的情况下，人们是根据预期效用进 行决策的。这就是说，如果消费者对各种风险消费选择有一个评价(即有一个偏好关系)的话， 那么这种评价(偏好)肯定是根据某种预期效用作出的。我们不禁要问：事实真是如此吗？对 风险行为的评价背后是否有预期效用作为支持？答案可以说是肯定的。下面就来建立预期效 用理论，回答这个问题。 一、风险选择集合 回到上节例 1 中，彩票可以用各种可能的获奖结果和获得各种奖的概率分布加以描述。 设共有 n 个等级的奖励：1 等奖, 2 等奖, …, n 等奖。一种彩票代表了获得各等级奖励的一 种概率分布 ( , , , ) p1 p2 pn ，不同彩票的获奖概率分布不同（这里考虑的不同彩票，仅仅是指 购买这些彩票获得各等奖励的概率分布不同，而所有彩票的奖励类型都是相同的）。这样一来， 每一种彩票都可 用购买它的获 奖概率分布 ( , , , ) p1 p2 pn 来表示。当 概率分布变为 ( , , , ) q1 q2 qn 时， ( , , , ) q1 q2 qn 便代表了另一种彩票。 抽彩人可以在各种彩票中选择购买，于是，抽彩人的选择范围可以用各种可能的概率分
第五章不确定条件下的选择 布的集合X={(P1P2…,Pn)∈[0,:p+P2+…+pn=1}来表示。称此集合X为抽彩的 选择集合。注意,X是欧氏空间R"的有界闭凸子集。 对于任何两种彩票p=(P,P2…,pn)∈X和q=(q1,q2,…,qn)∈X,当a为某随机事件 A发生的概率时,ap+(1-a)q代表了一种以概率a获得彩票p,以概率1-a获得彩票q的 新彩票,该彩票等同于获奖概率分布为(ap1+(1-a)q1,ap2+(1-a)q2…,apn+(1-a)qn)的 彩票。称ap+(1-a)q为彩票p和q的复合彩票,或者称为复合抽彩。这就是选择集合X的 凸性的意义所在 抽彩行为的这种描述方式还可以一般化。设共有C种商品可供人们选择,确定性商品空 间为R,确定性的选择集合(消费集合)为ScR。 在不确定的环境中,人们的选择依赖于某些自然状态(或事件)的是否出现,而这些自然 状态出现与否是随机的或者不确定的。比如,如果天下雨,消费者购买雨伞;如果不下雨 就购买太阳镜。而天是否下雨,则不确定,但我们能根据气象台的天气预报说出下雨的概率。 用Ω表示影响人们选择的自然状态的全体,随机事件可用Ω的子集表示。假定每个人都能根 据自己掌握的知识和获悉的信息,判断出随机事件发生的可能性大小。这就是说,假定每个 人都有自己的概率空间(g2,3,P),其中3为事件域(即3为Ω2上的一个σ-域),P为3上的概 率(测度)函数。从这个概率空间出发,一种风险选择就是一种随机行为,表现为Ω上的 个随机向量。(即。是从Ω到S的一个映射)。这就是说,如果Ω中的状态出现,就选择 向量ξ(ω)。由于ω出现与否不得肯定,因而不能肯定究竟选择S中的哪一个向量。然而,选 择S中各个商品向量的概率分布是可以确定或估计的。这么一来,在带有不确定性的情况下 Ω上的C维随机向量:9→S的全体便代表了这个人所有可能的风险选择行为。用X或 X(S)表示来表示这个集合,即 X=X(S)={2::g→S为随机向量 并称该集合X=X(S)为经济活动者的风险选择集合 对于=(1,52,…,)∈X,的数学期望向量E]=(E[1]E[52]…,E[称作 的预期向量或预期值。 风险选择集合X扩充了确定性选择集合S,即每一种确定性的选择x∈S都可看作是一种 特殊的随机选择x:(ω)=X(对任何ω∈Ω)。更一般地,如果随机向量ξ的取值几乎处 处相等,即几乎处处等于某个x∈S(也即P{(ω)=x}=1),则可把这个随机向量看成是确 定性的向量x,也就是说,可认为5=<x。易见,E<x]=x。作了这个解释后,我们可认为 SCX=X(S) 当考虑风险行为的预期值时,必然涉及确定性行为之间的加权平均运算,而且还要涉及 到这些运算结果序列的极限(比如连续型随机向量预期值的定义中既涉及加权平均运算,又 涉及积分,而积分本身就是一种极限)。因此,一般情况下都要假定确定性选择集合S是空间 R的凸闭子集。本章的分析中,哪里需要S的凸闭性,哪里就假定S是凸闭集,而不再赘述 从概率论知道,研究随机向量时,只要知道了随机向量的取值范围和概率分布,就满足 了我们的要求。因此,分布相同的随机向量可以看作相同的随机向量。所谓∫是C维随机向 量∈X的分布函数,是指f是一个C元实值函数,且对于任何x=(x1,x2…,x)∈R, f(x)=P{()<<x}=P{1(o)<x1,2(a)<x2,…,kl(m)<x}。分布函数f的密度函数,是 一个实值函数(x)使得对任何x=(x1,x2,…,x)∈R,都有 (1)o(x)=q(x1,x2,…,x)≥0 2)…J(,42…t)dhdh2…dh=1 ()(x,x2…x)=二∫o,42…1)dtd2…dt 由于X中的随机向量ξ取值于集合S之中,因此可以认为的分布密度函数(x)在集合
第五章 不确定条件下的选择 90 布的集合 {( , , , ) [0,1] : 1} = 1 2 1 + 2 + + n = n X p p pn p p p 来表示。称此集合 X 为抽彩的 选择集合。注意， X 是欧氏空间 n R 的有界闭凸子集。 对于任何两种彩票 p = ( p1 , p2 , , pn ) X 和 q = (q1 , q2 , , qn ) X ，当 a 为某随机事件 A 发生的概率时， a p + (1− a)q 代表了一种以概率 a 获得彩票 p ，以概率 1 − a 获得彩票 q 的 新彩票，该彩票等同于获奖概率分布为 ( (1 ) , (1 ) , , (1 ) ) a p1 + − a q1 a p2 + − a q2 a pn + − a qn 的 彩票。称 a p + (1− a)q 为彩票 p 和 q 的复合彩票，或者称为复合抽彩。这就是选择集合 X 的 凸性的意义所在。 抽彩行为的这种描述方式还可以一般化。设共有 种商品可供人们选择，确定性商品空 间为 R ，确定性的选择集合（消费集合）为 S R 。 在不确定的环境中，人们的选择依赖于某些自然状态(或事件)的是否出现，而这些自然 状态出现与否是随机的或者不确定的。比如，如果天下雨，消费者购买雨伞；如果不下雨， 就购买太阳镜。而天是否下雨，则不确定，但我们能根据气象台的天气预报说出下雨的概率。 用 表示影响人们选择的自然状态的全体，随机事件可用 的子集表示。假定每个人都能根 据自己掌握的知识和获悉的信息，判断出随机事件发生的可能性大小。这就是说，假定每个 人都有自己的概率空间 (,,P) ,其中 为事件域(即 为 上的一个 σ −域）， P 为 上的概 率（测度）函数。从这个概率空间出发，一种风险选择就是一种随机行为，表现为 上的一 个随机向量 (即 是从 到 S 的一个映射）。这就是说，如果 中的状态 出现，就选择 向量 () 。由于 出现与否不得肯定，因而不能肯定究竟选择 S 中的哪一个向量。然而，选 择 S 中各个商品向量的概率分布是可以确定或估计的。这么一来，在带有不确定性的情况下， 上的 维随机向量 : → S 的全体便代表了这个人所有可能的风险选择行为。用 X 或 X(S) 表示来表示这个集合，即 X = X(S) ={ ： :→S为随机向量 } 并称该集合 X = X(S) 为经济活动者的风险选择集合。 对于 = ( 1 , 2 , , ) X ， 的数学期望向量 [ ] ( [ ], [ ], , [ ]) E = E 1 E 2 E 称作 的预期向量或预期值。 风险选择集合 X 扩充了确定性选择集合 S ，即每一种确定性的选择 x S 都可看作是一种 特殊的随机选择 x ： x x () = （对任何 ）。更一般地，如果随机向量 的取值几乎处 处相等，即几乎处处等于某个 x S （也即 P{ () = x}=1 ），则可把这个随机向量看成是确 定性的向量 x ，也就是说，可认为 = x 。易见， E x [ x ] = 。作了这个解释后，我们可认为 S X = X(S)。 当考虑风险行为的预期值时，必然涉及确定性行为之间的加权平均运算，而且还要涉及 到这些运算结果序列的极限（比如连续型随机向量预期值的定义中既涉及加权平均运算，又 涉及积分，而积分本身就是一种极限）。因此，一般情况下都要假定确定性选择集合 S 是空间 R 的凸闭子集。本章的分析中，哪里需要 S 的凸闭性，哪里就假定 S 是凸闭集，而不再赘述。 从概率论知道，研究随机向量时，只要知道了随机向量的取值范围和概率分布，就满足 了我们的要求。因此，分布相同的随机向量可以看作相同的随机向量。所谓 f 是 维随机向 量 X 的分布函数，是指 f 是一个 元实值函数，且对于任何 x = (x1 , x2 , , x )R ， ( ) { ( ) } { ( ) , ( ) , , ( ) } 1 1 2 2 f x = P x = P x x x 。分布函数 f 的密度函数，是 一个实值函数 (x) 使得对任何 x = (x1 , x2 , , x )R ，都有： (1) (x) =(x1 , x2 , , x ) 0 (2) ( 1 , 2 , , ) 1 2 =1 − − t t t dt dt dt (3) f x x x t t t dt dt dt x x 1 2 1 2 1 2 1 ( , , , ) ( , , , ) − − = 由于 X 中的随机向量 取值于集合 S 之中，因此可以认为 的分布密度函数 (x) 在集合