《固体物理学》课程授课教案（讲义）第四章 晶格振动

故e-iN2ag=1 所以，N2ag2山(h为整数) 9=Gh63-9y 由于-2aq华π2a【《3.3-8)试] 所以-N2<hsN2(3.3-10) (3.3一10)式表明h共有N个不同取值，所以g有N个取值。每一g对应2个格波，共有 2N个不同格波@(q)和@(q)。即一维双原子链中总共可以存在与自由度相同的格波数（注： 这是一个一般结论)。 注：q的个数就等于原胞的个数。 三、声学波(Q.)和光学波(@+ 1、长声学波(q0,@0) 对小q,展开3.3-6)式可得， oadym+M 2B (3.3-11) 证明：对于小q,sin(ag(ag2 由展开公式(1-x)2=1+∫(0)x+.。 则， (m+(ag) 1- 4mM =1-14m 2(mm(a) oi-Bm+M 4mM mM (mm sin(ag) 1-1 2B 0.=q\m+M 2B (华，习题) 2a 它与连续介质的色散关系(o=加)一致。这是@.支被称为声学波的原因

11 故 e iN aq  2 1 所以， N2aq=2h (h 为整数)  h (3.3  9) Na q  由于 －/2a<q/2a [(3.3-8)式] 所以 －N/2<hN/2（3.3－10） （3.3－10）式表明 h 共有 N 个不同取值，所以 q 有 N 个取值。每一 q 对应 2 个格波，共有 2N 个不同格波+(q)和-(q)。即一维双原子链中总共可以存在与自由度相同的格波数（注： 这是一个一般结论）。 注：q 的个数就等于原胞的个数。 三、声学波（-）和光学波（+） 1、长声学波（q0，-0） 对小 q，展开(3.3－6)式可得， (3.3 11) 2     m M aq   证明：对于小 q，sin2 (aq)=(aq) 2 , 由展开公式 (1- x) 1/2 =1+ f (0)x  则， 2 2 2 1 2 2 ( ) ( ) 4 2 1 sin ( ) 1 ( ) 4 1 aq m m mM aq m m mM            m M aq aq m M aq m m mM mM m M                                  2 ( ) 2 sin ( ) ( ) 4 1 1 2 2 1 2 2 2 （毕，习题） -可化为 qv Y q a m M a q         2 它与连续介质的色散关系（＝kv）一致。这是-支被称为声学波的原因

由(3.3-7)，对g0,(有0→0) (13-1 表明，在长波限，两种原子振幅相同：又相邻原子的位相差g0,故长波限声学波与连续 机械波类似。这是@支被称为声学波的又一原因。 2、长光学波(q→0) 对小9，展开3.3-6)式可得， 0→ 2B mM →Cons. 9→0： m+M (3.3-13) A 上式表明：相邻原子（不同种）的位相相反（有位相差π）→反向运动：而同种原子的位 相相同→同向运动。 物理意义：离子品体中的长光学模具有重要的意义。不同离子间的相向运动产生一定的电偶 极矩振动，从而可以与电磁波（光）发生作用，产生共振吸收。 共振频率0，→2 -→10104s mM m+M 当电磁波的频率=，时就发生共振吸收。=105~10S的电磁波是红外光。所以离子品 体对红外光具有吸收作用（前面讲离子晶体时曾说到这点）。这是®支被称为光学波的原因

12 由（3.3－7），对 q0，（有0）  1 (3.3 12)      A  B 表明，在长波限，两种原子振幅相同；又相邻原子的位相差 aq0，故长波限声学波与连续 机械波类似。这是-支被称为声学波的又一原因。 2、长光学波（q0） 对小 q，展开(3.3－6)式可得， (3.3 13) 1 . 2 0:                           M m A B Cons m M mM q   上式表明：相邻原子（不同种）的位相相反（有位相差e i）反向运动；而同种原子的位 相相同同向运动。 物理意义：离子晶体中的长光学模具有重要的意义。不同离子间的相向运动产生一定的电偶 极矩振动，从而可以与电磁波（光）发生作用，产生共振吸收。 共振频率     m M mM   2 1013～1014/S 当电磁波的频率＝+时就发生共振吸收。＝1013～1014/S 的电磁波是红外光。所以离子晶 体对红外光具有吸收作用（前面讲离子晶体时曾说到这点）。这是+支被称为光学波的原因

S4、4三维晶格的振动 一、格波解 一维双原子复式品格的格波解， 4(q）-Aeaw-2mgl (q)=Befot-(2 4n(q）=Ae-gi 可合写为， llan =A ellet-ka) 其中， a=0.1. Ra=(2n+a)a. 仿照一维双原子情况可以得到三维复式品格中的格波解可写为， 因-Ae0时 (3.4-1) (第1个原胞中第k个原子的运动方程一一一相对平衡点的偏离) 其中， =l,a,+re 二、周期性边条件 先利用倒基矢b,b2,b将波矢q写成 g=x+xb+xb (3.4-2) 三维玻恐一一卡曼条件应为 u(R,+Na )=u(R) (R+N42)=u(R) (3.4-3) u(R,+Na)=u(R) 其中N是沿a方向晶体包含的原胞数：晶体包含的总原胞数为N=N,从，N3: 由(3.4-1)，(3.4-2)，(3.4-3)得： 13

13 §4、4 三维晶格的振动 一、格波解 一维双原子复式晶格的格波解，                ( ) [ (2 1) ] 2 1 ( 2 ) 2 ( ) ( ) ( ) i t naq n i t n aq n i t naq n u q Ae u q Be u q Ae    可合写为， , ( ) , i t R , q n n u A e       其中， (2 ) . 0, 1, Rn, n  a      仿照一维双原子情况可以得到三维复式晶格中的格波解可写为，  (3.4 1)                     R q u A k l i t k e k l  （第 l 个原胞中第 k 个原子的运动方程－－－相对平衡点的偏离）。 其中， i i k l k l R  a  r         二、周期性边条件 先利用倒基矢 b1, b2, b3将波矢 q 写成 (3.4 2) q  x1 b1  x2 b2  x3 b3  三维玻恩－－卡曼条件应为 (3.4 3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 1 1             l l l l l l N N N u R a u R u R a u R u R a u R 其中 Ni是沿 ai方向晶体包含的原胞数；晶体包含的总原胞数为 N＝N1 N2 N3。 由（3.4－1），（3.4－2），（3.4－3）得：