2用法拉第电骏感应定律6一曾计算· 例1如图11一1所示，无限长直 D 导线载有【的电流旁边有一矩形线圈 ABCD. (1)若线圈以速度v向右运动， 求线圈中的感应电动势。 (2)若线圈ABCD动长直导线中 A 的电流按I=I。sinot的规律变化，求线 图11一1 圈中的感应电动势。 解(1)解法一：矩形线框在运动过程中，四段导线都在运 动，但只有AD、BC切割磁力线，则： 5=Go-6oc Bdliy-Bliy=4o (y 2πaa+l2 解法二：选ABCD为回路正方向，则面正法线方向垂直纸面 向里，B方向为垂直纸面向里。 d地=B.ds=ol,dh 即 D=∫d0="21d=44ha+h+u 2π a+vt =e￥nr 1 E>0,说明沿ABCD方向。 (2)设ABCD为回路正方向，则： 8-小g装h 2π 176
176 2. 用法拉第电磁感应定律 dt dΦ = − 计算。 例 1 如图 11—1 所示，无限长直 导线载有 I 的电流旁边有一矩形线圈 ABCD。 （1）若线圈以速度 v 向右运动， 求线圈中的感应电动势。 （2）若线圈 ABCD 动长直导线中 的电流按 I I sint = 0 的规律变化，求线 圈中的感应电动势。 解 （1）解法一：矩形线框在运动过程中，四段导线都在运 动，但只有 AD、BC 切割磁力线，则： l v a a l I B l v B l v DA BC 1 2 0 1 1 2 1 ) 1 1 ( 2 + = − = − = − 解法二：选 ABCD 为回路正方向，则面正法线方向垂直纸面 向里， B 方向为垂直纸面向里。 l dr r I dΦ d 1 0 2 = B S = 即 a v t Il a l v t l dr r I Φ dΦ a l v t a v t + + + = = = + + + 0 1 2 1 0 ln 2 2 2 ∴ l v a vt a l vt I dt dΦ 1 2 0 ) 1 1 ( 2 + + − + = − = 取 t=0 l v a a l I 1 2 0 ) 1 1 ( 2 + = − 0 ，说明沿 ABCD 方向。 （2）设 ABCD 为回路正方向，则： a Il a l dr r Il Φ d a l a 0 1 0 1 2 ln 2 2 2 + = = = + B S A D B C 1 l 2 l a I 图 11—1 v
g曾尝h出兴nca 2元 上式中，ε<0说明感应电动势方向与所选定方向相反，为逆时针 方向，反之亦然。 例2如图11一2所示，在纸面所在 B⑧ 的平面内有一载有电流I的无限长直导 线，其旁另有一边长为1的等边三角形 线圈ACD,该线圈的AC边与长直导线 距离最近且相互平行。今使线圈ACD 在纸面内以匀速v远离长直导线运动， 且v与长直导线相垂直。求当线圈AC 边与长直导线相距为a时，线圈ACD 图11-2 内的动生电动势。 解设线圈回路以A→C→D→A的绕向为动生电动势ε的正 向，与直导线平行的AC边产生的动生电动势 s vlB=vluoI/(2na) 其他两边产生的动生电动势大小相等且绕向相同。如图所示，在 CD边上选一线元dl,则其上的动生电动势 de2=(v×B)dl=-vBcos60°dl =-vcos60°_，1dl 2π(a+x) dlcos30°=d ∴d62=-4lcos60°k 2πcos30°a+x c=V31/2 177
177 I t a l a l dt dI a l a l dt dΦ ln cos 2 ln 2 0 0 1 2 0 1 2 + = − + = − = − 上式中， 0 说明感应电动势方向与所选定方向相反，为逆时针 方向，反之亦然。 例 2 如图 11—2 所示，在纸面所在 的平面内有一载有电流 I 的无限长直导 线，其旁另有一边长为 l 的等边三角形 线圈 ACD，该线圈的 AC 边与长直导线 距离最近且相互平行。今使线圈 ACD 在纸面内以匀速 v 远离长直导线运动， 且 v 与长直导线相垂直。求当线圈 AC 边与长直导线相距为 a 时，线圈 ACD 内的动生电动势。 解 设线圈回路以 A→C→D→A 的绕向为动生电动势 的正 向，与直导线平行的 AC 边产生的动生电动势 /(2 ) 1 = vlB = vl 0 I a 其他两边产生的动生电动势大小相等且绕向相同。如图所示，在 CD 边上选一线元 dl，则其上的动生电动势 d = (v B) dl 2 vB dl = − cos60 2 ( ) cos60 0 a x Idl v + = − dl = dx cos30 a x v I dx d + = − cos30 cos60 2 0 2 c = 3l / 2 C D A I a v B dl dx x o 图 11—2
,=-4l.2-54,na+c 2π3/2ba+x1 2π 8=6,+26,="-2y5n0+91 27 a 3 例3如图11一3所示，长直导线和矩形线圈共面，AB边与 导线平行，且a=1cm,b=8cm,1=30cm。若导线中的电流i在 1s内均匀地从10A降到零，则线圈ABCD中的感应电动势的大 小和方向如何？ 解(1)距i为x处取一宽为dx 的窄条，其面积为dS=ldx,dS上的磁 感应强度 B=4i/(2a) do=BdS=oil 28 图11一3 =兴=是名 2π a sd04o2m0=1.25×10-5V 2π a'dt 的方向为A→B→C→D→A 例4在半径为R的圆柱形空间充 满磁感应强度为B的均匀磁场。B的方 向垂直纸面向外，磁感应强度随时间增 加的速率B为已知求涡旋电场(>R) 的大小和方向。 解选以半径为r的圆周为闭合回 图11一4 路，逆时针方向为正，则圆面的法线方 向垂直纸面向外。 17
178 + = − c a x v I dx 0 0 2 3 / 2 1/ 2 2 a Iv a + c = − ln 2 3 0 1 2 = + 2 ln ] 3 2 3 [ 2 0 a a c a Iv l + = − 例 3 如图 11—3 所示，长直导线和矩形线圈共面，AB 边与 导线平行，且 a=1cm，b=8cm，l=30cm。若导线中的电流 i 在 1s 内均匀地从 10A 降到零，则线圈 ABCD 中的感应电动势的大 小和方向如何? 解 （1）距 i 为 x 处取一宽为 dx 的窄条，其面积为 dS=ldx , dS 上的磁 感应强度 /(2 ) 0 B = i x d = BdS x il 2 0 = dx x b il a = 2 0 a il b ln 2 0 = dt d = − dt di a l b (ln ) 2 0 = − 1.25 10 V −5 = 的方向为A→B →C →D→ A 例 4 在半径为 R 的圆柱形空间充 满磁感应强度为 B 的均匀磁场。 B 的方 向垂直纸面向外，磁感应强度随时间增 加的速率 dt dB 为已知。求涡旋电场（r>R） 的大小和方向。 解 选以半径为 r 的圆周为闭合回 路，逆时针方向为正，则圆面的法线方 向垂直纸面向外。 R E涡 r 图 11—4 4—7 A D B C l b a i dx 图 11—3