1.2 Hotelling's T2统计量 ·现在考虑p维向量0是否为p维总体均值4的一个合理值， 即 H0:μ=0+H1:μ≠40 。假设样本X1,,Xn为来自均值向量为4，协方差矩阵为 的某个多元总体，x和S分别为样本均值向量和样本协方差矩 阵 ·对该检验问题，直观上可将一元场合时的距离推广到p元场合 T=-y(层S) (仅-o) ·则当T2的值过大时候，我们拒绝零假设Ho,即拒绝域有形式 T2≥c,这里c为待定常数 Previous Next First Last Back Forward 5
1.2 Hotelling’s T 2 统计量 • 现在考虑 p 维向量 µ0 是否为 p 维总体均值 µ 的一个合理值, 即 H0 : µ = µ0 ↔ H1 : µ ̸= µ0 • 假设样本 X1, . . . , Xn 为来自均值向量为 µ, 协方差矩阵为 Σ 的某个多元总体, x¯ 和 S 分别为样本均值向量和样本协方差矩 阵 • 对该检验问题, 直观上可将一元场合时的距离推广到 p 元场合 T 2 = (x¯ − µ0) ′ ( 1 n S )−1 (x¯ − µ0) • 则当 T 2 的值过大时候, 我们拒绝零假设 H0, 即拒绝域有形式 T 2 ≥ c, 这里 c 为待定常数 Previous Next First Last Back Forward 5
·由于在零假设下，当n→∞时候T2→X,因此当取c= X(a)时我们得到一个渐近水平α检验： T2之X2(a)时候拒绝Ho 该假设无需假定总体分布为多元正态分布. ·当总体分布为多元正态分布N(4,)时候，我们可以得到T2 的精确分布.因此可以得到一个精确的水平α检验.注意到可 以找到正交变换使得 V元（仅-四=am,(n-1)S=∑44 i=1 其中z1,,zm相互独立且同分布于N(0,),因此当Ho成 立时候 () =1 Previous Next First Last Back Forward 6
• 由于在零假设下, 当 n → ∞ 时候 T 2 → χ 2 p, 因此当取 c = χ 2 p(α) 时我们得到一个渐近水平 α 检验: T 2 ≥ χ 2 p(α)时候拒绝H0 该假设无需假定总体分布为多元正态分布. • 当总体分布为多元正态分布 Np(µ, Σ) 时候, 我们可以得到 T 2 的精确分布. 因此可以得到一个精确的水平 α 检验. 注意到可 以找到正交变换使得 √ n(x¯ − µ) = zn, (n − 1)S = n∑−1 i=1 ziz ′ i 其中 z1, . . . , zn 相互独立且同分布于 Np(0, Σ), 因此当 H0 成 立时候 T 2 d= z ′ n ( 1 n − 1 n∑−1 i=1 ziz ′ i )−1 zn Previous Next First Last Back Forward 6
定理1.设样本X1,,Xni.i.d~Nn(o),则 r产=nl依-oyS-1x-o)~-二12Rn-p n-p 其中又和S分别表示样本均值和样本协方差矩阵. 证明.由前面知 T2兰(m-1)( ∑)=-Bn 其中a1,,nii.d~Nn(0,).不难看出，∑可以不妨设为Ip取 正交矩阵Q,其第一行为/川z‖，其他行任意.则Q为一随机矩阵。 由正交矩阵的性质易知 Qzn=(zn,0,...,0)' 注意到B-1m=(Qzny(∑(Qa(Qza）(Qzn),若记Y= Previous Next First Last Back Forward
定理 1. 设样本 X1, . . . , Xni.i.d ∼ Np(µ0, Σ), 则 T 2 = n(x¯ − µ0) ′ S −1 (x¯ − µ0) ∼ (n − 1)p n − p Fp,n−p 其中 x¯ 和 S 分别表示样本均值和样本协方差矩阵. 证明. 由前面知 T 2 d= (n − 1)z ′ n ( n∑−1 i=1 ziz ′ i )−1 zn := (n − 1)z ′ nB −1 zn 其中 z1, . . . , zni.i.d ∼ Np(0, Σ). 不难看出, Σ 可以不妨设为 Ip. 取 正交矩阵 Q, 其第一行为 z ′ n/∥zn∥, 其他行任意. 则 Q 为一随机矩阵. 由正交矩阵的性质易知 Qzn = (∥zn∥, 0, . . . , 0)′ 注意到 z ′ nB −1 zn = (Qzn) ′ (∑n−1 i=1 (Qzi)(Qzi) ′ )−1 (Qzn), 若记 Yi = Previous Next First Last Back Forward 7
Qz,i=1,…,n,以及0=∑(Q2)(Qz)'则有 T/(n-1)4 YU-Iy Yll2=ll 112 其中1/U11=山11.2=u11-u12U221. 由于给定Q时候，Yn和U条件独立，而lY2=lQzm2~x2 与Q无关.于是只需证明u112~X员-p,则可得Yn和112相互独 立，最后由F分布定义立得T2的分布. 事实上，记[Q1,,Qzm-1]=(2,Z)/,24表示第一行。 则 -空=(8）eoa-(2a0 z*aZ(2) ZZe 从而 u11.2兰z*a(1n-1-Z(2(Z*2)Z*(2)厂Z*2)z（u) Previous Next First Last Back Forward 8
Qzi, i = 1, . . . , n, 以及 U = ∑n−1 i=1 (Qzi)(Qzi) ′ 则有 T 2 /(n − 1) d= Y ′ nU −1 Yn = ∥Yn∥ 2U 11 = ∥Yn∥ 2 u11·2 其中 1/U 11 = u11·2 = u11 − u ′ 12U −1 22 u21. 由于给定 Q 时候, Yn 和 U 条件独立, 而 ∥Yn∥ 2 = ∥Qzn∥ 2 ∼ χ 2 p 与 Q 无关. 于是只需证明 u11·2 ∼ χ 2 n−p, 则可得 Yn 和 u11·2 相互独 立, 最后由 F 分布定义立得 T 2 的分布. 事实上, 记 [Qz1, . . . , Qzn−1] = (z ∗ (1), Z∗ (2)) ′ , z ∗′ (1) 表示第一行. 则 U = n∑−1 i=1 z ∗ i z ∗′ i = ( z ∗′ (1) Z ∗′ (2) ) (z ∗ (1), Z∗ (2)) = ( z ∗′ (1)z ∗ (1) z ∗′ (1)Z ∗ (2) Z ∗′ (2)z ∗ (1) Z ∗′ (2)Z ∗ (2) ) 从而 u11·2 d= z ∗′ (1)(In−1 − Z ∗ (2)(Z ∗′ (2)Z ∗ (2)) −1Z ∗′ (2))z ∗ (1) Previous Next First Last Back Forward 8
在给定Q时候，注意到1n-1-Z2(Z*2Z*e)-1Z2,为幂 等阵，其秩为n一p.而的分量为i.i.d标准正态随机变量，因此 给定Z2时候u11.2兰X品-p其分布与Z2和Q无关. 综上即得 m-p)T2_lml2/卫 (n-1)pu11.2/(n-p) 心fp,n-p 0 一般地，有下述结论 定理2.设A~W(n,∑p)与Z~Nn(0,p)相互独立，n>p,则 Tr2=nZA1z~n吧 n-p+n-p+ 证明.证明类似上面的证明过程，略. ▣ Previous Next First Last Back Forward 9
在给定 Q 时候, 注意到 In−1 − Z ∗ (2)(Z ∗′ (2)Z ∗ (2)) −1Z ∗′ (2) 为幂 等阵, 其秩为 n − p. 而 z ∗ (1) 的分量为 i.i.d 标准正态随机变量, 因此 给定 Z ∗ (2) 时候 u11·2 d= χ 2 n−p 其分布与 Z ∗ (2) 和 Q 无关. 综上即得 (n − p)T 2 (n − 1)p = ∥zn∥ 2 /p u11·2/(n − p) ∼ Fp,n−p. 一般地, 有下述结论 定理 2. 设 A ∼ Wp(n, Σp) 与 Z ∼ Np(0, Σp) 相互独立, n > p, 则 T 2 = nZ′A −1Z ∼ np n − p + 1 Fp,n−p+1 证明. 证明类似上面的证明过程, 略. Previous Next First Last Back Forward 9