简介 1.1 多元随机变量... 1 1.2 多元正态分布密度及其性质。.. 4 1.3条件分布.· 18 1.4二次型的独立性... 25 1.5矩阵正态分布*..」 28 Previous Next First Last Back Forward 1
简介 1.1 多元随机变量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 多元正态分布密度及其性质 . . . . . . . . . . 4 1.3 条件分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4 二次型的独立性 . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.5 矩阵正态分布 * . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Previous Next First Last Back Forward 1
1.1 多元随机变量 设X1,X2,,Xp为p个随机变量，它们组成的向量X=(X1,X2,,X) 称为随机向量 ·联合分布函数Gjcd) F(x1,,xp)=P(X1≤x1,,Xp≤xp) 或者记x=(x1,,xp)/,此时 F(x)=P(X≤x) 。联合概率密度函数(Gdf)如果存在非负函数f(r1,·,xp),使 得对任意x1,,xp有 F）=…, 则f(x1,,xp)称为X的联合概率密度函数. Previous Next First Last Back Forward 1
1.1 多元随机变量 设 X1, X2, . . . , Xp 为 p 个随机变量, 它们组成的向量 X = (X1, X2, . . . , Xp) ′ 称为随机向量. • 联合分布函数(jcdf) F(x1, . . . , xp) = P(X1 ≤ x1, . . . , Xp ≤ xp) 或者记 x = (x1, . . . , xp) ′ , 此时 F(x) = P(X ≤ x) • 联合概率密度函数(jpdf) 如果存在非负函数 f(x1, . . . , xp), 使 得对任意 x1, . . . , xp 有 F(x1, . . . , xp) = ∫ x1 −∞ · · · ∫ xp −∞ f(x1, . . . , xp)dx1 · · · dxp 则 f(x1, . . . , xp) 称为 X 的联合概率密度函数. Previous Next First Last Back Forward 1
·X的q个(g<p)分量X)=(X1,,Xg/的分布称为边际 分布： P(X)≤u)=P(X1≤u1,,Xg≤ug）=F(u1,,ug,+oo,,+∞) 边际概率密度函数 g(u)=f(u,y)dy RP-g ·若X=(X4y,x②有概率密度函数fx1,x2),X②有密 度函数g(u),则X)在给定X②=2条件下的条件密度为 f(xx2)=f(x1.x2) 9(x2) ·X1,X2,,Xp相互独立当且仅当(B为X:的分布函数) F(1,,p)=F(),(r1,,p}∈RP i=1 Previous Next First Last Back Forward 2
• X 的 q 个 (q < p) 分量 X (1) = (X1, . . . , Xq) ′ 的分布称为边际 分布: P(X (1) ≤ u) = P(X1 ≤ u1, . . . , Xq ≤ uq) = F(u1, . . . , uq, +∞, . . . , +∞) 边际概率密度函数 g(u) = ∫ Rp−q f(u, y)dy • 若 X = (X(1)′ , X(2)′ ) ′ 有概率密度函数 f(x1, x2), X(2) 有密 度函数 g(u), 则 X(1) 在给定 X(2) = x2 条件下的条件密度为 f(x1|x2) = f(x1, x2) g(x2) • X1, X2, . . . , Xp相互独立当且仅当 (Fi 为 Xi 的分布函数) F(x1, . . . , xp) = ∏p i=1 Fi(xi), ∀(x1, . . . , xp) ′ ∈ R p Previous Next First Last Back Forward 2
·(特征函数)，设p元随机向量X~F(x),则其特征函数定义为 fe)=Eet'x,t∈R肥，i=VT 矩： ·期望EX=(EX1,,EXp) ·协方差cou(X)=(E(X:-EX)(X,-EX)) ·若Xpx1,Ygx1为随机向量，则它们的协方差cou(X,Y)=(E(X: EX)(y-Ey)】 Etr(AXB)=tr(A(EX)B);cov(AX)=Acov(X)A' ·E(X'AX)='Aμ+tr(A),其中∑=cou(X) cov(AX,BY)=Acou(X,Y)B' Previous Next First Last Back Forward 3
• (特征函数), 设 p 元随机向量 X ∼ F(x), 则其特征函数定义为 f(t) = Eeit ′X, t ∈ R p , i = √ −1 矩: • 期望 EX = (EX1, . . . , EXp) ′ • 协方差 cov(X) = ( (E(Xi − EXi)(Xj − EXj ))ij) • 若 Xp×1, Yq×1 为随机向量, 则它们的协方差 cov(X, Y ) = ( (E(Xi− EXi)(Yj − EYj ))ij) • Etr(AXB) = tr(A(EX)B), cov(AX) = Acov(X)A ′ • E(X ′AX) = µ ′Aµ + tr(AΣ), 其中 Σ = cov(X) • cov(AX, BY ) = Acov(X, Y )B ′ Previous Next First Last Back Forward 3
1.2 多元正态分布密度及其性质 多元正态分布重要性： ·许多多元统计技术基于多元正态的假设 ·正态分布数学上易于处理，可以得到许多“漂亮”的结果 ·在实际某些问题里总体分布是正态分布的 ·即便总体分布不是正态分布，许多统计量的分布渐近为正态分 布 Previous Next First Last Back Forward
1.2 多元正态分布密度及其性质 多元正态分布重要性: • 许多多元统计技术基于多元正态的假设 • 正态分布数学上易于处理, 可以得到许多 “漂亮” 的结果 • 在实际某些问题里总体分布是正态分布的 • 即便总体分布不是正态分布, 许多统计量的分布渐近为正态分 布 Previous Next First Last Back Forward 4