简介 1.1一元均值推断回顾 1 1.2 Hotelling'sT2统计量 5 1.3 T2和似然比检验..·. 12 1.3.1似然比检验方法回顾 12 1.3. 2多元正态均值检验的似然比检验方法·14 1.3.3协方差已知时均值检验..··. 16 1.4置信域 18 1.4.1同时置信区间.. 20 1.4.2大样本置信区间.... 27 1.5样本存在缺失值时参数的估计.··.····· 29 Previous Next First Last Back Forward 1
简介 1.1 一元均值推断回顾 . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Hotelling’s T 2 统计量 . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 T 2 和似然比检验 . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1 似然比检验方法回顾 . . . . . . . . . . 12 1.3.2 多元正态均值检验的似然比检验方法 . 14 1.3.3 协方差已知时均值检验 . . . . . . . . . 16 1.4 置信域 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.1 同时置信区间 . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.2 大样本置信区间 . . . . . . . . . . . . . 27 1.5 样本存在缺失值时参数的估计 . . . . . . . . . 29 Previous Next First Last Back Forward 1
从本讲开始，我们开始介绍一些多元推断技术.多元分析中的主 要特点是需要对？个变量同时进行分析.首先我们看有关于多元均值 的一些假设假设问题。 1.1一元均值推断回顾 假设X1,.,Xm为来自一元总体的简单随机样本，4为该总体 的均值，我们常常感兴趣此总体均值是否等于某个已知的常数0，即 为下述假设检验问题 H0:4=0+H1:μ≠o 距离方法对此问题，我们首先找到μ的一个相合估计，然后构造 其于0之间偏差的某个距离，当零假设成立时候，该距离应该很小 反之，则应该比较大.据此可以给出一个检验方法 Previous Next First Last Back Forward 1
从本讲开始, 我们开始介绍一些多元推断技术. 多元分析中的主 要特点是需要对 p 个变量同时进行分析. 首先我们看有关于多元均值 的一些假设假设问题. 1.1 一元均值推断回顾 假设 X1, . . . , Xn 为来自一元总体的简单随机样本, µ 为该总体 的均值, 我们常常感兴趣此总体均值是否等于某个已知的常数 µ0, 即 为下述假设检验问题 H0 : µ = µ0 ↔ H1 : µ ̸= µ0 距离方法 对此问题, 我们首先找到 µ 的一个相合估计, 然后构造 其于 µ0 之间偏差的某个距离, 当零假设成立时候, 该距离应该很小; 反之, 则应该比较大. 据此可以给出一个检验方法. Previous Next First Last Back Forward 1
·当样本来自正态总体分布N(4,σ)时候，则样本均值元和样 本标准差S分别为4和σ的相合估计 ·从而一个合适的检验统计量为 T=: -40 S/n ·当T值较小时候，了和0比较靠近，因此不能拒绝零假设.此 即为一样本t检验方法。 。当Ho成立时，检验统计量T的分布为自由度n-1的t分布， 从而水平a检验的拒绝域为T1之tn-1(a/2): 这个检验统计量是合理的，其可以由似然比检验方法导出.由于似然 比 nao0oE的=(+n是r） LR=maxa>oL(Ho,2,s2) Previous Next First Last Back Forward 2
• 当样本来自正态总体分布 N(µ, σ2 ) 时候, 则样本均值 X¯ 和样 本标准差 S 分别为 µ 和 σ 的相合估计 • 从而一个合适的检验统计量为 T = X¯ − µ0 S/ √ n • 当 T 值较小时候, X¯ 和 µ0 比较靠近, 因此不能拒绝零假设. 此 即为一样本 t 检验方法. • 当 H0 成立时, 检验统计量 T 的分布为自由度 n − 1 的 t 分布, 从而水平 α 检验的拒绝域为 |T| ≥ tn−1(α/2). 这个检验统计量是合理的, 其可以由似然比检验方法导出. 由于似然 比 LR = maxσ>0 L(µ0, σ2 |x, s ¯ 2 ) maxµ∈R,σ>0 L(µ, σ2|x, s ¯ 2) = ( 1 + 1 n − 1 T 2 )−n/2 Previous Next First Last Back Forward 2
·当Ho成立时，LR的值应靠近1；而当H1成立时候，LR的值 应该远小于1 ·从而似然比检验方法得到的拒绝域有形式LR≤c,其中c为 常数 ·显然，似然比检验的拒绝域等价于T川≥co,在水平α下， co=tn-1(a/2): 因此，T是一个合理的检验统计量.另一方面， ·注意T较大时拒绝Ho等价于统计距离 2=)=n(-mo)()--m) S2/n 太大时拒绝Ho,即拒绝域为T2≥t员-1(a/2)=F,n-1(a) ·当不能拒绝Ho时候，我们得出0距离下较近（在下的标准 差单位下)，因此0是μ的一个合理可能值 Previous Next First Last Back Forward 3
• 当 H0 成立时, LR 的值应靠近 1; 而当 H1 成立时候, LR 的值 应该远小于 1 • 从而似然比检验方法得到的拒绝域有形式 LR ≤ c, 其中 c 为 常数 • 显然, 似然比检验的拒绝域等价于 |T| ≥ c0, 在水平 α 下, c0 = tn−1(α/2). 因此, T 是一个合理的检验统计量. 另一方面, • 注意 |T| 较大时拒绝 H0 等价于统计距离 T 2 = (X¯ − µ0) 2 S2/n = n(X¯ − µ0) ′ (S 2 ) −1 (X¯ − µ0) 太大时拒绝 H0, 即拒绝域为 T 2 ≥ t 2 n−1(α/2) = F1,n−1(α). • 当不能拒绝 H0 时候, 我们得出 µ0 距离 X¯ 较近 (在 X¯ 的标准 差单位下), 因此 µ0 是 µ 的一个合理可能值. Previous Next First Last Back Forward 3
·μ的合理可能值集包含在μ的100(1一a)%置信区间中： X-n-o/2m,爱≤m≤x+n-a/2四， ·这个置信区间包含了零假设H0:4=o的所有在水平α下不 能被拒绝的可能点μ0 ·在样本数据被收集前，此区间为随机区间，其包含的概率为 1-a ,当带入具体样本数据后，此区间为一固定区间，其要么包含4， 要么不包含4 当方差σ2已知时候，类似可知检验统计量为 T2=-o2 n(-uo)'(2)-(uo)xi σ2/n Previous Next First Last Back Forward 4
• µ 的合理可能值集包含在 µ 的 100(1 − α)% 置信区间中: X¯ − tn−1(α/2) S √ n ≤ µ0 ≤ X¯ + tn−1(α/2) S √ n • 这个置信区间包含了零假设 H0 : µ = µ0 的所有在水平 α 下不 能被拒绝的可能点 µ0 • 在样本数据被收集前, 此区间为随机区间, 其包含 µ 的概率为 1 − α • 当带入具体样本数据后, 此区间为一固定区间, 其要么包含 µ, 要么不包含 µ 当方差 σ 2 已知时候, 类似可知检验统计量为 T 2 = (X¯ − µ0) 2 σ2/n = n(X¯ − µ0) ′ (σ 2 ) −1 (X¯ − µ0) H0∼ χ 2 1 Previous Next First Last Back Forward 4