第4章直角坐标系中的场与波 电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB /958 分离变量法 （教材4-1节) 在直角坐标系下，标量Helmholtz方程可写为 ∂2b, +8 2ψ 0x2 +k2少=0 z2 令中=X(z)Y(Z(z)代入上式整理得 182X,1∂2Y,102Z +z∂2 +k2=0 X∂x2Y∂2 等号左边第1项仅是x的函数，第2项仅是的函数，第3项 仅是的函数，且方程对任意x,y,均应成立，故只能每项 均为常数。 6
6 电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB 6 分离变量法 在直角坐标系下，标量Helmholtz方程可写为 222 2 222 k 0 xyz yyy y ¶¶¶ + + += ¶¶¶ 令 代入上式整理得 y = X xY yZ z ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 22 1 11 0 XY Z k Xx Yy Zz ¶ ¶¶ + + += ¶¶¶ 等号左边第 1项仅是 x的函数，第 2项仅是y的函数，第 3 项 仅是 z的函数，且方程对任意 x, y, z均应成立，故只能每项 均为常数。 （教材4-1节） 第4章 直角坐标系中的场与波
4 电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB /956 即 1∂X 1∂Y =-k2, 102Z X O22 =-k2 Y∂y Z Ox' =-k,2 从而得到三个方向的波动方程（谐方程) ∂2X +k2X=0 解为X=e±，x或sin(kc)或cos(kc) 0x2 ∂2Y +飞，Y=0Y,Z的解类似可得 ∂y 8'Z 0z2 +kZ=0 k2+k2+2=k2（色散关系) 7
7 电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB 7 即 从而得到三个方向的波动方程（谐方程 ） 2 2 2 1 , x X k X x ¶ = - ¶ 2 2 2 y 0 Y k Y y ¶ + = ¶ 2 2 2 z 0 Z k Z z ¶ + = ¶ 2 2 2 0 x X k X x ¶ + = ¶ 2 2 22 xyz kkkk ++= （色散关系） x jk x X e = sin( ) x k x cos( ) x 解为 或 或 k x Y，Z的解类似可得 2 2 2 1 , y Y k Y y ¶ = - ¶ 2 2 2 1 z Z k Z z ¶ = - ¶
电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB /85a 谐函数（掌握表4-1内容，特别注意k的不同取值对应的物理解释） sin(k),cos(k) 于是，波动方程的解为 =hk)h(,)h() 称为基本波函数。基本波函数的线性组合仍然是波动方程的 解， b=∑∑B=∑∑Bhk,xhk,hk,习 8
8 电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB 8 谐函数 ( )( )( ) xyz kkk x y z y = hkxhkyhkz ( ) , , x x jk x jk x x hkx e e - µ sin( ), x k x cos( ) x k x 于是，波动方程的解为 称为基本波函数。基本波函数的线性组合仍然是波动方程的 解， ( )( )( ) xy xyz xy xy xy kk kkk kk x y z kk kk y y = = åå åå B B hkxhkyhkz （掌握表4-1内容，特别注意 k的不同取值对应的物理解释）
4 9 电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB /956 或者 0=∫∫f(k,k)4dd =f人fk,k)hkkh&2,dk 9
9 电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB 9 或者 ( ) ( ) , , ( )( )( ) xyz x y x y x y kkk x y k k xy x y z xy k k f k k dk dk f k k h k x h k y h k z dk dk y y = = ò ò ò ò
4 10 电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB Lab /956 4.2平面波（略) 10
10 电子科技大学计算电磁学及其应用团队，CEMLAB 10 4.2 平面波（略）