1、普通最小二乘估计 ·普通最小二乘估计 随杋抽取被解释变量和解释变量的n组样本观测值: 0,,2,…k 如果模型的参数估计值已经得到,则有: =B+B1X1+B2X2+…+BX=1,2,,n 23.3)
1、普通最小二乘估计 • 普通最小二乘估计 随机抽取被解释变量和解释变量的 n 组样本观测值： Y X i n j k ( i , j i), = 1,2,, , = 0,1,2, 如果模型的参数估计值已经得到，则有： Yi X i X i ki X Ki ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = 0 + 1 1 + 2 2 ++ i=1,2,…,n (2.3.3)
根据最小二乘原理,参数估计值应该是下列方程组的解: Q=0 Q=0 oB Q=0 (234) o B Q=0 其中 Q=∑e2=∑( ∑(x1-(B+BY1+B22+…+Bn) 235)
根据最小二乘原理，参数估计值应该是下列方程组的解： 0 1 2 0 0 0 0 Q Q Q Q k = = = = (2.3.4) 其中 2 1 1 2 ) ˆ ( = = = = − n i i i n i Q ei Y Y 2 1 0 1 1 2 2 )) ˆ ˆ ˆ ˆ ( ( = = − + + + + n i Yi Y i Y i k Yki (2.3.5)
于是,得到关于待估参数估计值的正规方程组: ∑(B+B1X1+B2X21+…+BkX)=2Y Σ(B+B1X1+B2X21+…+BkX)1=∑YX1 Σ(Bo+B1X1+B2X21+…+Bkxk)X21=2HX2 (23.6 Σ(B+B1X1+B2X21+…+BkXk)Xh=∑YX 解该(k+1)个方程组成的线性代数方程组,即可得到 (k+1)个待估参数的估计值月,j=012…,k
于是，得到关于待估参数估计值的正规方程组： + + + + = + + + + = + + + + = + + + + = i i k ki ki i ki i i i k ki i i i i i k ki i i i i i k ki i X X X X Y X X X X X Y X X X X X Y X X X X Y ) ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ( 0 1 1 2 2 0 1 1 2 2 2 2 0 1 1 2 2 1 1 0 1 1 2 2 (2.3.6) 解该（k+1）个方程组成的线性代数方程组，即可得到 (k+1)个待估参数的估计值 , , , , , j j = 0 1 2 k
236)的矩阵形式如下: X X ki ∑X∑H X,Ⅹ 141ki X,,Ⅹ, ∑X∑XX ∑X人B k1 k2 即: XXB=XY (2.3.7) 由于ⅹx满秩,故有 B=(XXXY 2.3.8)
（2.3.6）的矩阵形式如下： = k k k n n n k i k i i k i k i i i k i i k i Y Y Y X X X X X X X X X X X X X X n X X 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 0 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ 即： XXˆ = XY （2.3.7） 由于XX满秩，故有 = ( ) − X X X Y 1 （2.3.8）
估计过程的矩阵表示: 对于模型(23.3)式有: Y= XB 被解释变量的观测值与估计值之差的平方和为: e'e=(r- XB)'(r-XB) 其中
• 估计过程的矩阵表示： 对于模型(2.3.3)式有： Y X = 被解释变量的观测值与估计值之差的平方和为： Q e y y i i n i i i n = = − = = 2 1 1 2 ( ) = e e = (Y − X )(Y − X ) 其中 e = e e en 1 2