高中各种函数图像及其性质 一次函数 (一)函数 1、确定函数定义域的方法 (1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数 (2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零; (3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零; (4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零; (5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义 (二)一次函数 1、一次函数的定义 一般地,形如y=和+b(k,b是常数,且k≠0)的函数,叫做一次函数,其中x是 自变量。当b=0时,一次函数y=k,又叫做正比例函数 (1)一次函数的解析式的形式是y=+b,要判断一个函数是否是一次函数,就是判断 是否能化成以上形式 (2)当b=0,k≠0时,y=仍是一次函数 (3)当b=0,k=0时,它不是一次函数 (4)正比例函数是一次函数的特例,一次函数包括正比例函数 2、正比例函数及性质 般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数 注:正比例函数一般形式y=kx(k不为零)①k不为零②x指数为1③b取零 当k>0时,直线y=kx经过三、一象限,从左向右上升,即随x的增大y也增大:当k<0 时,直线y=kx经过二、四象限,从左向右下降,即随x增大y反而减小 (1)解析式:y=kx(k是常数,k≠0) 2)必过点:(0,0)、(1,k) (3)走向:k>0时,图像经过一、三象限;k<O时,图像经过二、四象限 (4)增减性:k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x增大而减小 (5)倾斜度:|k越大,越接近y轴:|k|越小,越接近x轴 3、一次函数及性质 般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0),那么y叫做x的一次函数.当b=0时,y=kx +b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数
高中各种函数图像及其性质 一次函数 （一）函数 1、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 （二）一次函数 1、一次函数的定义 一般地，形如 y kx b = + （ k ，b 是常数，且 k 0 ）的函数，叫做一次函数，其中 x 是 自变量。当 b = 0 时，一次函数 y kx = ，又叫做正比例函数。 ⑴一次函数的解析式的形式是 y kx b = + ，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断 是否能化成以上形式． ⑵当 b = 0， k 0 时， y kx = 仍是一次函数． ⑶当 b = 0， k = 0 时，它不是一次函数． ⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 2、正比例函数及性质 一般地，形如 y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为 1 ③ b 取零 当 k>0 时，直线 y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随 x 的增大 y 也增大；当 k<0 时， 直线 y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随 x 增大 y 反而减小． (1) 解析式：y=kx（k 是常数，k≠0） (2) 必过点：（0，0）、（1，k） (3) 走向：k>0 时，图像经过一、三象限；k<0 时， 图像经过二、四象限 (4) 增减性：k>0，y 随 x 的增大而增大；k<0，y 随 x 增大而减小 (5) 倾斜度：|k|越大，越接近 y 轴；|k|越小，越接近 x 轴 3、一次函数及性质 一般地，形如 y=kx＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么 y 叫做 x 的一次函数.当 b=0 时，y=kx ＋b 即 y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数
注:一次函数一般形式y=kx+b(k不为零)①k不为零②x指数为1③b取任意实 数 b 一次函数y=kx+b的图象是经过(0,b)和(--,0)两点的一条直线,我们称它为直 线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b个单位长度得到(当b>0时,向上平移:当b<0 时,向下平移) (1)解析式:y=kx+b(k、b是常数,k≠0) (2)必过点:(0,b)和( b (3)走向:k>0,图象经过第一、三象限;k<O,图象经过第二、四象限 b>0,图象经过第一、二象限;b<O,图象经过第三、四象限 >0 1>0直线经过第一、二、三象限 ∫k>0 b<OS直线经过第一、三、四象限 k<0 b>0~直线经过第一、 四象限 b<0直线经过第二、三、四象限 (4)增减性:k>0,y随x的增大而增大;k<O,y随ⅹ增大而减小 (5)倾斜度:|k越大,图象越接近于y轴:|k|越小,图象越接近于x轴 (6)图像的平移:当b>0时,将直线y=kx的图象向上平移b个单位 当b<0时,将直线y=kx的图象向下平移b个单位 次 函数 k=kx+b(k≠0) k<0 k, b 符号 b>0 b<0 b=0 b>0 b<0 b=0 图象 性质 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 4、一次函数y=kx+b的图象的画法
注：一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零) ① k 不为零 ②x 指数为 1 ③ b 取任意实 数 一次函数 y=kx+b 的图象是经过（0，b）和（- k b ，0）两点的一条直线，我们称它为直 线 y=kx+b,它可以看作由直线 y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当 b>0 时，向上平移；当 b<0 时，向下平移） （1）解析式：y=kx+b(k、b 是常数，k 0) （2）必过点：（0，b）和（- k b ，0） （3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限 b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限 0 0 b k 直线经过第一、二、三象限 0 0 b k 直线经过第一、三、四象限 0 0 b k 直线经过第一、二、四象限 0 0 b k 直线经过第二、三、四象限 （4）增减性： k>0，y 随 x 的增大而增大；k<0，y 随 x 增大而减小. （5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于 y 轴；|k|越小，图象越接近于 x 轴. （6）图像的平移： 当 b>0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位； 当 b<0 时，将直线 y=kx 的图象向下平移 b 个单位. 一次 函数 k kx b k = + ( 0) k ，b 符号 k 0 k 0 b 0 b 0 b = 0 b 0 b 0 b = 0 图象 O x y y O x O x y y O x O x y y O x 性质 y 随 x 的增大而增大 y 随 x 的增大而减小 4、一次函数 y=kx＋b 的图象的画法
根据几何知识:经过两点能画出一条直线,并且只能画出一条直线,即两点确定一条直 线,所以画一次函数的图象时,只要先描出两点,再连成直线即可.一般情况下:是先选取 b 它与两坐标轴的交点:(0,b),(k)即横坐标或纵坐标为0的点 b>0 b<0 b=0 经过第一、三、三象限经过第一、三、四象限」经过第一、三象限 k>0 图象从左到右上升,y随x的增大而增大 经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限 k<0 图象从左到右下降,y随x的增大而减小 5、正比例函数与一次函数之间的关系 次函数y=kx+b的图象是一条直线,它可以看作是由直线y=kx平移|b个单位长度而 得到(当b>0时,向上平移:当b<0时,向下平移) 6、正比例函数和一次函数及性质 T正比例函数 次函数 般地,形如y=kx(k是常数,一般地,形如y=kx+b(,b是常数,k≠0),那 k≠0)的函数叫做正比例函数,其么y叫做x的一次函数当b=0时,是y=-k 中k叫做比例系数 所以说正比例函数是一种特殊的一次函数 自变量X为全体实数 图象 条直线 必过点(0,0)、(1,k) (0,b)和 ’0)
根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直 线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取 它与两坐标轴的交点：（0，b）， .即横坐标或纵坐标为 0 的点. b>0 b<0 b=0 k>0 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大 k<0 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 图象从左到右下降，y 随 x 的增大而减小 5、正比例函数与一次函数之间的关系 一次函数 y=kx＋b 的图象是一条直线，它可以看作是由直线 y=kx 平移|b|个单位长度而 得到（当 b>0 时，向上平移；当 b<0 时，向下平移） 6、正比例函数和一次函数及性质 正比例函数 一次函数 概 念 一般地，形如 y=kx(k 是常数， k≠0)的函数叫做正比例函数，其 中 k 叫做比例系数 一般地，形如 y=kx＋b(k,b 是常数，k≠0)，那 么 y 叫做 x 的一次函数.当 b=0 时，是 y=kx， 所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 自变量 范 围 X 为全体实数 图 象 一条直线 必过点 （0，0）、（1，k） （0，b）和（- k b ，0）
走向k>0时,直线经过一、三象限:k>0,b>0,直线经过第一、二、三象限 k<O时,直线经过二、四象限k>0,b<0直线经过第一、三、四象限 k<0,b>0直线经过第一、二、四象限 k<0,b<0直线经过第二、 增减性|k>0,y随x的增大而增大;(从左向右上升) k<0,y随x的增大而减小。(从左向右下降) 倾斜度k越大,越接近y轴:|k越小,越接近x轴 图像的 平移 b>0时,将直线y=kx的图象向上平移个单位 b<0时,将直线y=-kx的图象向下平移个单位 象 k>0 k<0 正比例函数 y=kr b>0 b<0 b>0 次函数 y=kx+b 6、直线y=k1x+b1(k1≠0)与y=k2x+b2(k2≠0)的位置关系 (1)两直线平行分k1=k2且b1≠b2 (2)两直线相交分→k1≠k2 (3)两直线重合分→k1=k2且b1=b2 (4)两直线垂直分kk2=-1 7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤 (1)根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式 (2)将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数 为未知数的方程 (3)解方程得出未知系数的值 (4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式 8、一元一次方程与一次函数的关系 任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一 次方程可以转化为:当某个一次函数的值为0时,求相应的自变量的值.从图象上看,相当 于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值
走 向 k>0 时，直线经过一、三象限； k<0 时，直线经过二、四象限 k＞0，b＞0,直线经过第一、二、三象限 k＞0，b＜0 直线经过第一、三、四象限 k＜0，b＞0 直线经过第一、二、四象限 k＜0，b＜0 直线经过第二、三、四象限 增减性 k>0，y 随 x 的增大而增大；（从左向右上升） k<0，y 随 x 的增大而减小。（从左向右下降） 倾斜度 |k|越大，越接近 y 轴；|k|越小，越接近 x 轴 图像的 平 移 b>0时，将直线y=kx的图象向上平移 b 个单位； b<0时，将直线y=kx的图象向下平移 b 个单位. 6、直线 1 b1 y = k x + （ k1 0 ）与 2 b2 y = k x + （ k2 0 ）的位置关系 （1）两直线平行 1 2 k = k 且 b1 b2 （2）两直线相交 1 2 k k （3）两直线重合 1 2 k = k 且 b1 = b2 （4）两直线垂直 k1 k2 = −1 7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤： （1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式； （2）将 x、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数 为未知数的方程； （3）解方程得出未知系数的值； （4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式. 8、一元一次方程与一次函数的关系 任何一元一次方程到可以转化为 ax+b=0（a，b 为常数，a≠0）的形式，所以解一元一 次方程可以转化为：当某个一次函数的值为 0 时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当 于已知直线 y=ax+b 确定它与 x 轴的交点的横坐标的值
9、一次函数与一元一次不等式的关系 任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0(a,b为常数,a≠0)的形 式,所以解一元一次不等式可以看作:当一次函数值大(小)于0时,求自变量的取值范围 10、一次函数与二元一次方程组 (1)以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=-x+的 图象相同 2)二元一次方程组 a x+b,y=C 的解可以看作是两个一次函数y= 和 a,x+b,y= y=-22x+C的图象交点 二次函数 、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做 二次函数 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数a≠0,而b,c可 以为零.二次函数的定义域是全体实数 2.二次函数y=ax2+bx+c的结构特征: (1)等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2. (2)a,b,c是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项 、二次函数的基本形式 ①一般式:f(x)=ax2+bx+C(a≠0) ②顶点式:f(x)=a(x+m)+n(a≠0) 零点式:f(x)=a(x-x)(x-x2)(a≠0)
9、一次函数与一元一次不等式的关系 任何一个一元一次不等式都可以转化为 ax+b>0 或 ax+b<0（a，b 为常数，a≠0）的形 式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于 0 时，求自变量的取值范围. 10、一次函数与二元一次方程组 （1）以二元一次方程 ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数 y= b c x b a − + 的 图象相同. （2）二元一次方程组 + = + = 2 2 2 1 1 1 a x b y c a x b y c 的解可以看作是两个一次函数 y= 1 1 1 1 b c x b a − + 和 y= 2 2 2 2 b c x b a − + 的图象交点. 二次函数 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如 2 y ax bx c = + + （ abc ， ， 是常数， a 0 ）的函数，叫做 二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0 ，而 b c ， 可 以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数 2 y ax bx c = + + 的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是 2． ⑵ abc ， ， 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 ① 一般式： ( ) ( ) 2 f x ax bx c a = + + 0 ② 顶点式： ( ) ( ) ( ) 2 f x a x m n a = + + 0 ③ 零点式： f x a x x x x a ( ) = − − ( 1 2 )( )( 0)