天体运动知识点归类解析 【问题一】行星运动简史 1、两种学说 (1)地心说:地球是宇宙的中心,而且是静止不动的,太阳、月亮以及其他行星都绕地球运 动。支持者托勒密。 (2).日心说:太阳是宇宙的中心,而且是静止不动的,地球和其他行星都绕太阳运动 (3).两种学说的局限性 都把天体的运动看的很神圣,认为天体的运动必然是最完美,最和谐的圆周运动,而和丹麦 天文学家第谷的观测数据不符 2、开普勒三大定律 开普勒1596年出版《宇宙的神秘》一书受到第谷的赏识,应邀到布拉格附近的天文台 做研究工作。1600年,到布拉格成为第谷的助手。次年第谷去世,开普勒成为第谷事业的 继承人 第谷去世后开普勒用很长时间对第谷遗留下来的观测资料进行了整理与分析他在分析 火星的公转时发现,无论用哥白尼还是托勒密或是第谷的计算方法得到的结果都与第谷的观 测数据不吻合。他坚信观测的结果,于是他想到火星可能不是按照人们认为的匀速圆周运动 他改用不同现状的几何曲线来表示火星的运动轨迹,终于发现了火星绕太阳沿椭圆轨道运行 的事实。并将老师第谷的数据结果归纳出三条著名定律 第一定律:所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上 第二定律:对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等 如图某行星沿椭圆轨道运行,远日点离太阳的距离为a,近日 点离太阳的距离为b,过远日点时行星的速率为vn,过近日点时 的速率为v 2222 由开普勒第二定律,太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相 等的面积,取足够短的时间Mt,则有: n△t=bM① 所以"=2② b ②式得出一个推论:行星运动的速率与它距离成反比,也就是我们熟知的近日点快远 日点慢的结论。②式也当之无愧的作为第二定律的数学表达式 第三定律:所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期平方的比值都相等
1 天体运动知识点归类解析 【问题一】行星运动简史 1、两种学说 （1）地心说:地球是宇宙的中心，而且是静止不动的，太阳、月亮以及其他行星都绕地球运 动。支持者托勒密。 （2）.日心说：太阳是宇宙的中心，而且是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动。 （3）.两种学说的局限性 都把天体的运动看的很神圣，认为天体的运动必然是最完美，最和谐的圆周运动，而和丹麦 天文学家第谷的观测数据不符。 2、开普勒三大定律 开普勒 1596 年出版《宇宙的神秘》一书受到第谷的赏识，应邀到布拉格附近的天文台 做研究工作。1600 年，到布拉格成为第谷的助手。次年第谷去世，开普勒成为第谷事业的 继承人。 第谷去世后开普勒用很长时间对第谷遗留下来的观测资料进行了整理与分析他在分析 火星的公转时发现，无论用哥白尼还是托勒密或是第谷的计算方法得到的结果都与第谷的观 测数据不吻合。他坚信观测的结果，于是他想到火星可能不是按照人们认为的匀速圆周运动 他改用不同现状的几何曲线来表示火星的运动轨迹，终于发现了火星绕太阳沿椭圆轨道运行 的事实。并将老师第谷的数据结果归纳出三条著名定律。 第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等。 如图某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为 a ，近日 点离太阳的距离为 b ，过远日点时行星的速率为 a v ，过近日点时 的速率为 b v 由开普勒第二定律，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相 等的面积，取足够短的时间 t ，则有： av t bv t a = b 2 1 2 1 ① 所以 b a v v a b = ② ②式得出一个推论：行星运动的速率与它距离成反比，也就是我们熟知的近日点快远 日点慢的结论。②式也当之无愧的作为第二定律的数学表达式。 第三定律：所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期平方的比值都相等
用a表示半长轴,T表示周期,第三定律的数学表达式为二=k,k与中心天体的质量有 关即k是中心天体质量的函数,=k(M①。不同中心天体k不同。今天我们可以由万有 Mm=m42r得2=72②即k(1)GM可见k正比与中心天体 GM 引力定律证明: 的质量M。 ①式 a3=(M)是普遍意义下的开普勒第三定律多用于求解椭圆轨道问题 ②式:GM ∥是站在圆轨道角度下得出多用于解决圆轨道问题。为了方便记忆与区分我 们不妨把①式称为官方版开三,②式成为家庭版开 【问题二】:天体的自转模型 1、重力与万有引力的区别 地球对物体的引力是物体具有重力的根本原因,但重力又不完全等于引力。这是因为地 球在不停的自转,地球上所有物体都随地球自转而绕地轴做匀速圆周运动,这就需要向心力 这个向心力的方向垂直指向地轴大小为F=mO2r,式中r是物体与地轴的距离,是地 球自转角速度。这个向心力来源于物体受到的万有引力,它是引力的一个分力,另一个分力 才是物体的重力 不同纬度的地方,物体做匀速圆周运动的角速度O相同,而做圆周运动的半径r不同, 该半径在赤道最大在两极最小(为0)纬度为θ处的物体随地球自转所需的向心力 F=mO2r=mo2 Rcos e(R为地球半径)由此可见随纬度的升高,向心力减小,在两极 处 Rose=0、F=0万有引力等于重力,作为引力的另一个分力重力则随纬度升高而增大 (1)、在赤道上:万有引力、重力、向心力均指向地心则有 Mm mg, t mo (2)、在两极上:向心力为0、重力等于万有引力即 Mm
2 用 a 表示半长轴， T 表示周期，第三定律的数学表达式为 k T a = 2 3 ，k 与中心天体的质量有 关即 k 是中心天体质量的函数 ( ) 2 3 k M T a = ①。不同中心天体 k 不同。今天我们可以由万有 引力定律证明： r T m r Mm G 2 2 3 4 = 得 2 2 3 4 GM T r = ②即 2 4 ( ) GM k M = 可见 k 正比与中心天体 的质量 M 。 ①式 ( ) 2 3 k M T a = 是普遍意义下的开普勒第三定律多用于求解椭圆轨道问题。 ②式 2 2 3 4 GM T r = 是站在圆轨道角度下得出多用于解决圆轨道问题。为了方便记忆与区分我 们不妨把①式称为官方版开三，②式成为家庭版开三。 【问题二】：天体的自转模型 1、重力与万有引力的区别 地球对物体的引力是物体具有重力的根本原因，但重力又不完全等于引力。这是因为地 球在不停的自转，地球上所有物体都随地球自转而绕地轴做匀速圆周运动，这就需要向心力。 这个向心力的方向垂直指向地轴大小为 F m r 2 = ，式中 r 是物体与地轴的距离， 是地 球自转角速度。这个向心力来源于物体受到的万有引力，它是引力的一个分力，另一个分力 才是物体的重力。 不同纬度的地方，物体做匀速圆周运动的角速度 相同，而做圆周运动的半径 r 不同， 该半径在赤道最大在两极最小（为 0）纬度为 处的物体随地球自转所需的向心力 cos 2 2 F = m r = m R （R 为地球半径）由此可见随纬度的升高，向心力减小，在两极 处 Rcos = 0、F = 0 万有引力等于重力，作为引力的另一个分力重力则随纬度升高而增大。 （1）、在赤道上：万有引力、重力、向心力均指向地心则有 mg m R R Mm G 2 2 = 1 + （2）、在两极上：向心力为 0、重力等于万有引力即 2 mg2 R Mm G =
(3)、在一般位置:万有引加G入等于重力mg与向心力的矢量和,如图。越靠近南 北两极g值越大,由于物体随地球自转所需的向心力较小,常认为万有引力近似等于重力 Mn 即G =mg o 2、自转天体不瓦解的条件 所谓天体的不瓦解是指,存在自转的情况下,天体表面的物体不会脱离天体表面。天体 自转时,天体表面的各部分随天体做匀速圆周运动,由于赤道部分所需向心力最大,如果赤 道上的物体不脱离地面那么其他地方一定不会脱离地面。则要使天体不瓦解则要满足: GMm ≥mo32R①又 2 ①②③得:p≥ 将T=24h带入④得p≥18.9kg/m3而地球的密度为p=5523kg/m3足以保证地球处于 稳定状态 【问题二】:近地问题+绕行问题 1、在中心天体表面或附近,万有引力近似等于重力G Mm mg,即GM=gR2 2、利用天体表面的重力加速度g和天体半径Rg、R法) 由于GMm R2-mg,故天体质量 M=82,天体密度 4πGR 3、在距天体表面高度为h处的重力加速度 在距天体表面高度为h处,万有引力引起的重力加速度g',由牛顿第二定律得 Mm 即g'=GM R g 即重力加速度随高度增加而减小 4、通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T,轨道半径rT、r法) GMm n 4i 42r3 (1)由万有引力等于向心力,即 p2="27,得出中心天体质量M=m (2)若已知天体的半径R,则天体的密度
3 （3）、在一般位置：万有引力 2 R Mm G 等于重力 mg 与向心力 F向 的矢量和，如图。越靠近南 北两极 g 值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力， 即 mg R Mm G = 2 。 2、自转天体不瓦解的条件 所谓天体的不瓦解是指，存在自转的情况下，天体表面的物体不会脱离天体表面。天体 自转时，天体表面的各部分随天体做匀速圆周运动，由于赤道部分所需向心力最大，如果赤 道上的物体不脱离地面那么其他地方一定不会脱离地面。则要使天体不瓦解则要满足： m R R GMm 2 2 ① 又 T 2 = ② 3 3 4 M = R ③ ①②③得： 2 3 GT ④ 将 T = 24h 带入④得 3 18.9kg / m 而地球的密度为 3 = 5523kg / m 足以保证地球处于 稳定状态。 【问题二】：近地问题+绕行问题 1、在中心天体表面或附近，万有引力近似等于重力 mg R Mm G = 2 ，即 2 GM = gR 2、利用天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R(g、R 法) 由于 mg R Mm G = 2 ，故天体质量 M＝ gR2 G ，天体密度 ρ＝ M V ＝ M 4 3 πR 3 ＝ 3g 4πGR。 3、在距天体表面高度为 h 处的重力加速度 在距天体表面高度为 h 处，万有引力引起的重力加速度 g ，由牛顿第二定律得 2 (R h) Mm mg G + = 即 g R h R R h M g G 2 2 2 ( ) ( + ) = + = 即重力加速度随高度增加而减小。 4、通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期 T，轨道半径 r(T、r 法) (1)由万有引力等于向心力，即 G Mm r 2 ＝m 4π2 T 2 r，得出中心天体质量 M＝ 4π2 r 3 GT2 ； (2)若已知天体的半径 R，则天体的密度
MM 3T/ 3P3O7 (3)若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动,可认为其轨道半径r等于天体半径R 则天体密度p=G° 可见,只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T,就可估测出中心天 体的密度 问题四:人造卫星问题 1.分析人造卫星运动的两条思路 (1)万有引力提供向心力即=m。 GMm (2)天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力,即p2=mg或gR2=GMR、g分别 是天体的半径、表面重力加速度),公式gR2=GM应用广泛,被称为“黄金代换”。 2.人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系 4 VGM GM 1 GM man→a 由此可以得出结论:一定(r)四定:越远越慢。 3.同步卫星的六个“一定” ①轨道平面一定:轨道平面和赤道平面重合 ②周期一定:与地球自转周期相同, 即T=24h=86400ss. ③角速度一定:与地球自转的角速度相同 GM MT ④高度一定:根据开普勒第三定律一=得 =424×104km又因为 4 GMT r=R+h所以h= -R≈6R
4 ρ＝ M V ＝ M 4 3 πR 3 ＝ 3πr 3 GT2R 3； (3)若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径 r 等于天体半径 R， 则天体密度 ρ＝ 3π GT2。可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期 T，就可估测出中心天 体的密度。 问题四：人造卫星问题 1．分析人造卫星运动的两条思路 (1)万有引力提供向心力即 G Mm r 2 ＝ma。 (2)天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即GMm R 2 ＝mg 或 gR2＝GM(R、g 分别 是天体的半径、表面重力加速度)，公式 gR2＝GM 应用广泛，被称为“黄金代换”。 2．人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系 = = = = = 2 3 2 3 2 2 2 2 1 2 4 1 r GM ma a r r GM m r r GM r T T m r r GM v r v m r Mm G n n 由此可以得出结论：一定（ r ）四定；越远越慢。 3．同步卫星的六个“一定” ①轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合． ②周期一定：与地球自转周期相同， 即 T = 24h = 86400s s. ③角速度一定：与地球自转的角速度相同． ④高度一定：根据开普勒第三定律 2 2 3 4 GM T r = 得： km GMT r 4 2 2 3 4.24 10 4 = = 又因为 r = R + h 所以 R R GMT h 6 4 2 2 3 = −
⑤速率一定:运动速度y=2m308km/5(为恒量). ⑥绕行方向一定:与地球自转的方向一致 4、赤道上的物体与近地卫星、同步卫星的比较 比较内容 赤道表面的物体 近地卫星 同步卫星 向心力来源万有引力的分力 万有引力 向心力方向 指向地心 重力与万有引重力略小于万有 力的关系 引力 重力等于万有引力 GM GM V1=O,R 线速度 "2=VR VR+h v1<v3<v2(V2为第一字宙速度) 03=0自 m2=气 GM 角速度 R3 (R+h) 01=03<02 (R+h) a1=01R GM 向心加速度 3R=R2 (R+h)2 问题五:卫星变轨模型 【模型构建】将同步卫星发射至近地圆轨道1(如图所示),然后再次点火,将卫星送入同 步轨道3.轨道1、2相切于O点,2、3相切于P点,则当卫星分别在1、2、3轨道上正常 运行时 1、阐述卫星发射与回收过程的基本原理? 答:发射卫星时,可以先将卫星发送到近地轨道1,使其绕地球做匀速圆周运动,速率 为v1;变轨时在Q点点火加速,短时间内将速率由v增加到v,使卫星进入椭圆形的转移 轨2;卫星运行到远地点P时的速率为v3;此时进行第二次点火加速,在短时间内将速率 由3增加到v4,使卫星进入同步轨道3,绕地球做匀速圆周运动
5 ⑤速率一定：运动速度 km s T r v 3.08 / 2 = (为恒量)． ⑥绕行方向一定：与地球自转的方向一致． 4、赤道上的物体与近地卫星、同步卫星的比较 比较内容 赤道表面的物体 近地卫星 同步卫星 向心力来源 万有引力的分力 万有引力 向心力方向 指向地心 重力与万有引 力的关系 重力略小于万有 引力 重力等于万有引力 线速度 v1 =1R R GM v2 = R h GM v + 3 = 1 3 2 v v v ( 2 v 为第一宇宙速度) 角速度 ω1＝ω 自 ω2＝ GM R 3 ω3＝ω 自＝ GM (R＋h) 3 ω1＝ω3＜ω2 向心加速度 a1＝ω 2 1R a2＝ω 2 2R＝ GM R 2 a3＝ω 2 3(R＋h) ＝ GM (R＋h) 2 a1＜a3＜a2 问题五：卫星变轨模型 【模型构建】将同步卫星发射至近地圆轨道 1（如图所示），然后再次点火，将卫星送入同 步轨道 3．轨道 1、2 相切于 Q 点，2、3 相切于 P 点，则当卫星分别在 1、2、3 轨道上正常 运行时 1、阐述卫星发射与回收过程的基本原理？ 答：发射卫星时，可以先将卫星发送到近地轨道 1，使其绕地球做匀速圆周运动，速率 为 1 v ；变轨时在 Q 点点火加速，短时间内将速率由 1 v 增加到 2 v ，使卫星进入椭圆形的转移 轨 2；卫星运行到远地点 P 时的速率为 3 v ；此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率 由 3 v 增加到 4 v ，使卫星进入同步轨道 3，绕地球做匀速圆周运动